Permutations and Combinations MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Permutations and Combinations - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చిన సమాచారం:

5, 6, 7, 8, 9 అంకెలు 3 అంకెల సంఖ్యను తయారుచేయడానికి ఇచ్చిన అంకెలు 

లెక్కింపు:

3 అంకెలు సంఖ్యను  H T U(వందలు, పదులు, యూనిట్ అంకె)గా వరసగా తీసుకుందాం 

3 అంకెల సంఖ్యను బేసి సంఖ్యగా చెయ్యాలంటే 

5, 7, 9 అంకెలు మాత్రమే యూనిట్ అంకె చోట వాడటానికి అవుతాయి 

వందలు మరియు పదుల చోటులో మొత్తం అయిదు అంకెలు వాడడం అవుతాయి 

యూనిట్ అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 3

పదుల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

వందల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

3 అంకెల బేసి అంకెకు మార్గాలు = 3 × 5 × 5 = 75 

∴ 75 మూడు అంకెల బేసి సంఖ్యలను 5, 6, 7, 8, 9 అంకెలను పునరావృత్తం చేస్తూ తయారుచెయ్యవచ్చు.

వివరణ:

పునరావృతం లేకుండా 0, 2, 4, 6, 8 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పడే 3-అంకెల సంఖ్యల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి, అంకెల స్థానాలు (వందలు, పదులు మరియు యూనిట్లు) మరియు చెల్లుబాటు అయ్యే నియమాలను పరిశీలిద్దాం. 3-అంకెల సంఖ్య.

వందల స్థలం: వందల స్థానంలో 0 కాకూడదు (ఇది తప్పనిసరిగా 3-అంకెల సంఖ్య అయి ఉండాలి), కాబట్టి మనకు 4 ఎంపికలు ఉన్నాయి (2, 4, 6, 8).
పదుల స్థలం: వందల స్థానానికి ఒక అంకెను ఎంచుకున్న తర్వాత, మనకు 4 అంకెలు మిగిలి ఉన్నాయి.
యూనిట్ల స్థలం: వందలు మరియు పదుల స్థానాల కోసం అంకెలను ఎంచుకున్న తర్వాత, మనకు 3 అంకెలు మిగిలి ఉన్నాయి.

వందవ అంకెను 0 ⇒ మినహా ఏ అంకెతోనైనా పూరించవచ్చు. వందవ స్థానంలో అంకె = 4

పదవ స్థానంలో అంకెలను పూరించడానికి మార్గాల సంఖ్య = 4

యూనిట్ స్థానంలో అంకెను పూరించడానికి మార్గాల సంఖ్య = 3

భావన:

n విభిన్న వస్తువులను k సార్లు తీసుకునే సంయోగాల సంఖ్య:

${}^n{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ఇక్కడ 0 ≤ k ≤ n

గణన:

'TIGER' అనే పదంలో 2 అచ్చులు I మరియు E మరియు 3 హల్లులు T, G, R ఉన్నాయి.

అచ్చులు సరి సంఖ్య స్థానాలను ఆక్రమించకూడదు అంటే సరి స్థానాలను హల్లులు మాత్రమే ఆక్రమించాలి.

సరి స్థానాలను హల్లులతో నింపడానికి, 3 లో నుండి ఏవైనా 2 హల్లులను ఎంచుకొని అమర్చండి.

3 లో నుండి ఏవైనా 2 హల్లులను ఎంచుకోవడం = ³C₂

ఈ రెండు హల్లులను అమర్చడం 2!

సరి స్థానాలను నింపడానికి మార్గాల సంఖ్య = 3C2 x 2! = 6

ఇప్పుడు, మిగిలిన హల్లులు మరియు అచ్చులతో 3 బేసి స్థానాలను నింపండి.

బేసి స్థానాలను నింపడానికి మార్గాల సంఖ్య = 3! = 6

మొత్తం మార్గాల సంఖ్య = 3C2 x 2! x 3! = 6 x 6 = 36

∴ అవసరమైన క్రమచర్యల సంఖ్య = 36.

భావన:

ఒక క్రమచర్యం అనేది వస్తువులను ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమర్చడం.

${\displaystyle {}^n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}}$,

ఇక్కడ,

ⁿP_r = క్రమచర్యం

n = మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య

గణన:

300 మరియు 400 ల మధ్య సంఖ్యలు వందల స్థానంలోని అంకె 3తో మూడు అంకెలను కలిగి ఉంటాయి.

పునరావృతం అనుమతించబడదు మరియు బేసి సంఖ్యలు మాత్రమే ఉండాలి కాబట్టి, ఒక’ల స్థానాలను 1,5,7 మరియు 9 అంకెలను ఉపయోగించి ⁴P₁ మార్గాల్లో నింపవచ్చు.

ఇప్పుడు పదుల స్థానాన్ని ఒకటి మరియు వందల స్థానంలోని అంకెలను మినహాయించి ఏదైనా అంకెలను ఉపయోగించి ⁸P₁ మార్గాల్లో నింపవచ్చు.

కాబట్టి, అవసరమైన సంఖ్యల సంఖ్య = 4P1 x 8P1 = 4 x 8 = 32.

∴ ఏ అంకెను పునరావృతం చేయకుండా 300 మరియు 400 ల మధ్య ఉన్న మొత్తం బేసి సంఖ్యలు 32.

భావన:

n విషయాల నుండి r విషయాలను ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్య ⁿCr ద్వారా ఇవ్వబడింది

${}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{n}-\mathrm{r})!\times (\mathrm{r})!}=\frac{\mathrm{n}\times (\mathrm{n}-1)\times ....(\mathrm{n}-\mathrm{r}+1)}{\mathrm{r}!}$

సాధన:

కరచాలనాల కోసం 76 మందిలో ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎంచుకోవాలి.

  కరచాలనాల సంఖ్య =${}^{76}{\mathrm{C}}_2=\frac{76\times 75}{2\times 1}$

= 38 × 75

= 2850

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

• ${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
• ⁿ C _n = 1
• ⁿ C _r = ⁿ C _nr

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి,

ఇందులో 5 మంది పురుషులు, 3 మంది మహిళలు ఉన్నారు.

కనీసం 1 మంది మహిళలతో కూడిన కమిటీ ఫారమ్‌లో ఉన్న మార్గాల సంఖ్య

3 పురుషులు & 1 మహిళలు + 2 పురుషులు & 2 మహిళలు + 1 పురుషులు & 3 మహిళలు

= ⁵ సి ₃ × ³ సి ₁ + ⁵ సి ₂ × ³ సి ₂ + ⁵ సి ₁ × ³ సి ₃

= 2× 5 C 3 × 3 C 1 + 5 C 1 × 3 C 3 (∵ n C r = n C nr )

= $2\times \frac{5!}{3!\times (5-3)!}\times 3+5\times 1$ (∵ n C n = 1)

= $2\times \frac{5\times 4\times 3\times 2!}{3!\times (2)!}\times 3+5$

= 60 + 5

= 65

ఉపయోగించిన భావన:-

వస్తువులు లేదా వస్తువుల అమరిక, వాటిలో వస్తువులను ఎలా ఎంచుకోవాలో పట్టింపు లేదు, దానిని కలయిక అంటారు.

n వస్తువుల సమితి నుండి r వస్తువులను ఎంచుకోగల మొత్తం కలయికల సంఖ్యను ఇలా ఇవ్వవచ్చు,

${}^n{C}_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!(r!)}}$

వివరణ:-

ఈ సమస్యలో ఇవ్వబడిన పదం “MATHEMATICS”.

ఈ పదంలో మొత్తం 11 అక్షరాలు ఉన్నాయి, దీనిలో మనకు

2 M'లు, 2T'లు, 2 A'లు, 1 H, 1 E, 1 I, 1 C, 1 S

కాబట్టి, మనకు 8 ప్రత్యేకమైన అక్షరాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 3 రెండుసార్లు పునరావృతమవుతాయి. ఇప్పుడు, 4 అక్షరాలను ఈ పదం ద్వారా అమర్చాలి. దీనికి 3 సందర్భాలు ఉన్నాయి.

దశ 1:-

అన్ని 4 అక్షరాలు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు, ఎంపిక సంఖ్య,

$$\begin{gathered} \Rightarrow N_1={}^8{C}_4 \\ \Rightarrow N_1=\frac{8!}{(8-4)!(4)!} \\ \Rightarrow N_1=\frac{8!}{4!4!} \\ \Rightarrow N_1=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times 4!}{4\times 3\times 2\times 1\times 4!} \\ \Rightarrow N_1=70 \end{gathered}$$

దశ 2:-

రెండు అక్షరాలు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు మరియు మిగిలిన రెండు అక్షరాలు కూడా ఒకేలా ఉన్నప్పుడు.

ఇక్కడ మనకు మొత్తం 3 జతల పునరావృత అక్షరాలు ఉన్నాయి. ఇప్పుడు, 2 అక్షరాలను ³ C ₂ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

$$\begin{gathered} \Rightarrow N_2={}^3{C}_2 \\ \Rightarrow N_2=\frac{3!}{(3-2)!2!} \\ \Rightarrow N_2=\frac{3\times 2!}{(1)!2!} \\ \Rightarrow N_2=3 \end{gathered}$$

దశ 3:-

రెండు అక్షరాలు భిన్నంగా ఉండి, 2 ఒకేలా ఉన్నప్పుడు.

ఇక్కడ, ఒకే అక్షరం యొక్క 1 జతను మొత్తం ³C₁ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు, అయితే మిగిలిన 2 వేర్వేరు అక్షరాలను మొత్తం ⁷C₂ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు. కాబట్టి, మొత్తం మార్గాలు,

$$\begin{gathered} \Rightarrow N_2={}^3{C}_1\times {}^7{C}_2 \\ \Rightarrow N_2=\frac{3!}{(3-2)!2!}\times \frac{7!}{(7-2)!2!} \\ \Rightarrow N_2=\frac{3\times 2!}{(1)!2!}\times \frac{7\times 6\times 5!}{(5)!\times 2\times 1} \\ \Rightarrow N_2=3\times 21 \\ \Rightarrow N_2=63 \end{gathered}$$

మూడింటినీ కలిపితే, మనకు లభిస్తుంది,

⇒ మొత్తం మార్గాలు = 70 + 3 + 63

⇒ మొత్తం మార్గాలు = 136

కాబట్టి, ఇచ్చిన పదం “MATHEMATICS” నుండి తీసుకోబడిన నాలుగు అక్షరాల నుండి మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య 136.

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 4.

ఇవ్వబడింది:

మొత్తం పురుషుల సంఖ్య = 7

మొత్తం స్త్రీల సంఖ్య = 6

ఎంచుకోవలసిన మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య = 5

చివరి బృందంలో ఉండే మొత్తం పురుషుల సంఖ్య = 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

n వస్తువుల నుండి r వస్తువులను ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్య = ⁿC_r

అలాగే, nCr = $\frac{n!}{r!\times (n-r)!}$

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం, మనకు (3 మంది పురుషులు మరియు 2 మంది స్త్రీలు) లేదా (4 మంది పురుషులు మరియు 1 మంది స్త్రీ) లేదా (5 మంది పురుషులు మాత్రమే) ఉండవచ్చు

3 మంది పురుషులు మరియు 2 మంది స్త్రీలను ఎంచుకోవడానికి కావలసిన మార్గాల సంఖ్య = ⁷C₃ x ⁶C₂

⇒ $\frac{7!}{3!\times (7-3)!}\times \frac{6!}{2!\times (6-2)!}$

⇒ $\frac{(7\times 6\times 5)}{(3\times 2\times 1)}$x$\frac{(6\times 5)}{(2\times 1)}$

⇒ 35 x 15

⇒ 525

4 మంది పురుషులు మరియు 1 మంది స్త్రీని ఎంచుకోవడానికి కావలసిన మార్గాల సంఖ్య = 7C4 x 6C1

⇒ $\frac{7!}{4!\times (7-4)!}\times \frac{6!}{1!\times (6-1)!}$

⇒ $\frac{(7\times 6\times 5)}{(3\times 2\times 1)}$x 6

⇒ 35 x 6

⇒ 210

5 మంది పురుషులను మాత్రమే ఎంచుకోవడానికి కావలసిన మార్గాల సంఖ్య = 7C5

⇒ $\frac{7!}{5!\times (7-5)!}$

⇒ (7 x 6)/(2 x 1) = 21

∴ మొత్తం మార్గాల సంఖ్య = 525 + 210 + 21 = 756

∴​ మొత్తం 756 విధాలుగా ప్రజలను ఎంచుకోవచ్చు.

ఇవ్వబడింది:

బ్యాచ్‌లో 4 ఎరుపు మరియు 7 ఆకుపచ్చ యూనిఫాం బాలురు ఉన్నారు.

బృందం 5 బాలురది.

భవన:

(i) భాగానికి - ఇది (1 ఎరుపు మరియు 4 ఆకుపచ్చ లేదా 2 ఎరుపు మరియు 3 ఆకుపచ్చ లేదా 3 ఎరుపు మరియు 2 ఆకుపచ్చ లేదా 4 ఎరుపు మరియు 1 ఆకుపచ్చ) ఎంచుకోవడం ద్వారా చేయవచ్చు

(ii) భాగానికి - ఇది (3 ఎరుపు మరియు 2 ఆకుపచ్చ లేదా 4 ఎరుపు మరియు 1 ఆకుపచ్చ) ఎంచుకోవడం ద్వారా చేయవచ్చు

వివరణ:

భాగం (i) :

1 ఎరుపు మరియు 4 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_1{\times }^7{C}_4$ = 140 మార్గాలు

2 ఎరుపు మరియు 3 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_2{\times }^7{C}_3$ = 210 మార్గాలు

3 ఎరుపు మరియు 2 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_3{\times }^7{C}_2$ = 84 మార్గాలు

4 ఎరుపు మరియు 1 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_4{\times }^7{C}_1$ = 7 మార్గాలు

∴ మొత్తం మార్గాలు = 140 + 210 + 84 + 7

= 441 మార్గాలు

భాగం (ii) :

3 ఎరుపు మరియు 2 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_3{\times }^7{C}_2$ = 84 మార్గాలు

4 ఎరుపు మరియు 1 ఆకుపచ్చ = ${}^4{C}_4{\times }^7{C}_1$ = 7 మార్గాలు

∴ మొత్తం మార్గాలు = 84 + 7

= 91 మార్గాలు

ఇచ్చిన సమాచారం:

5, 6, 7, 8, 9 అంకెలు 3 అంకెల సంఖ్యను తయారుచేయడానికి ఇచ్చిన అంకెలు 

లెక్కింపు:

3 అంకెలు సంఖ్యను  H T U(వందలు, పదులు, యూనిట్ అంకె)గా వరసగా తీసుకుందాం 

3 అంకెల సంఖ్యను బేసి సంఖ్యగా చెయ్యాలంటే 

5, 7, 9 అంకెలు మాత్రమే యూనిట్ అంకె చోట వాడటానికి అవుతాయి 

వందలు మరియు పదుల చోటులో మొత్తం అయిదు అంకెలు వాడడం అవుతాయి 

యూనిట్ అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 3

పదుల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

వందల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

3 అంకెల బేసి అంకెకు మార్గాలు = 3 × 5 × 5 = 75 

∴ 75 మూడు అంకెల బేసి సంఖ్యలను 5, 6, 7, 8, 9 అంకెలను పునరావృత్తం చేస్తూ తయారుచెయ్యవచ్చు.