Integral Calculus MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Integral Calculus - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

$\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}$

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\mathrm{c}$

गणना:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

$\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}+2}$

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

$2\mathrm{x}+3=\mathrm{A}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)+\mathrm{B}({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})+\mathrm{C}({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})$

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=0$ .........(1)

$\mathrm{A}+2\mathrm{B}-\mathrm{C}=2$ ...........(2) आणि

$-2\mathrm{A}=3$

$⟹\mathrm{A}=\frac{-3}{2}$

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

$2\mathrm{A}+3\mathrm{B}=2$

A चे मूल्य ठेवू

$2\times \frac{-3}{2}+3\mathrm{B}=2$

$⟹\mathrm{B}=\frac{5}{3}$

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

$\mathrm{C}=\frac{-1}{6}$

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{-3}{2}.\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{5}{3}.\frac{1}{\mathrm{x}-1}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{-1}{6}.\frac{1}{\mathrm{x}+2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

$=\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

गणना:

दिलेले आहे, L = ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}{\int }_4^{f(x)}\frac{3t^4}{x-3}dt}$

= ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}\frac{{\int }_4^{f(x)}3t^{4}dt}{x-3}}$ [$\frac{0}{0}$ स्वरूप]

= ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}\frac{3[f(x){]}^4{f}^{\prime }(x)}{1}}$

= 3[f(3)]⁴f '(3)

= 3 x 4⁴ x $\frac{1}{24}$

= 32

∴ लिमिटचे मूल्य 32 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

स्पष्टीकरण:

$I={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{{\cos }^{3}x\sqrt{2\sin 2x}}}}$

$\Rightarrow I={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\sec }^{3}x}{2\sqrt{\sin x\cos x}}}dx}$

$I$ च्या अंश आणि छेदाला $\sec x$ ने गुणल्यास, आपल्याकडे

$I={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\sec }^{4}x}{2\sqrt{\tan x}}}dx}$

आता, $\tan x=t^2\Rightarrow {\sec }^{2}xdx=2tdt$ असे गृहीत धरल्यास, आपल्याकडे

$I={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+t^4}{2t}}(2t)dt}$

$\Rightarrow I={\displaystyle \int (1+t^4)dt}$

$\Rightarrow I=t+{\displaystyle \frac{t^5}{5}}+K$

$t=\sqrt{\tan x}$ पुन्हा प्रतिस्थापित केल्यास, आपल्याकडे

$I=\sqrt{\tan x}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\sqrt{\tan x}}^5+K$

दिलेल्या समीकरणाशी तुलना केल्यास

$I=\sqrt{\tan x}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\sqrt{\tan x}}^5+K=(\tan x{)}^A+C(\tan x{)}^B+K$

$\Rightarrow A={\displaystyle \frac{1}{2}},B={\displaystyle \frac{5}{2}},C={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$A+B+C={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{16}{5}}$

$I={\int }_0^{a}f(x)g(x)dx$

$I={\int }_0^{a}f(a-x)g(a-x)dx$

$I={\int }_0^{a}f(x)(4-g(x))dx$

$I=4{\int }_0^{a}f(x)dx-I$

$\Rightarrow I=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

${\displaystyle {\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\displaystyle \frac{x^2\cos x}{1+e^x}}dx={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}({\displaystyle \frac{x^2\cos x}{1+e^x}}+{\displaystyle \frac{x^2\cos x}{1+e^{-x}}})dx}}$

(जसे अंश सम फल आहे, परंतु छेद विषम फल आहे)

$={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{x^2\cos x+e^x(x^2\cos x)}{1+e^x}}dx}$

$={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{x}^2\cos xdx}$

$(x^2\sin x{)}_0^{\pi /2}-{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}2x\sin xdx}$

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

$={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2[(-x\cos x{)}_0^{\pi /2}-{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}-\cos xdx]}$

(एकत्रीकरणाचा uv नियम)

$={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2[0+(\sin xdx{)}_0^{\pi /2}]$

$={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2$

हे आवश्यक निरसन आहे.

स्पष्टीकरण:

वर्तुळाचे समीकरण x² + y² = a² याद्वारे दर्शविले आहे

समजा पट्टी y-दिशेने घेतली आणि ती 0 ते 'a' मध्ये एकात्मित केली तर यामुळे चौकोनाच्या पहिल्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ मिळेल आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी 4 ने गुणाकार करावा.

$y=\sqrt{x^2-a^2}$

चौकोनाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ = $\underset{0}{\overset{a}{\int }}ydx$ = $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = 4 × $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

संकल्पना:

एकीकरणाद्वारे वक्र अंतर्गत क्षेत्र:

क्षैतिज बेरीज करून या वक्राखालील क्षेत्रफळ शोधा.

या प्रकरणात, क्षेत्रफळ आयताची बेरीज आहे, उंची y = f(x) आणि रुंदी dx आहे.

आपल्याला डावीकडून उजवीकडे बेरीज करणे आवश्यक आहे.

∴ क्षेत्रफळ = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

येथे, आपल्याला वक्र y = x 2 , x-अक्ष आणि अंक x = -1 आणि x = 2 यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल.

तर, दिलेल्या वक्रांनी बंद केलेले क्षेत्रफळ ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ दिले आहे.

आपल्याला माहित आहे की, $\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

क्षेत्रफळ = ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_{-1}^2$

= $[\frac{8}{3}-\frac{-1}{3}]=\frac{9}{3}=3$

क्षेत्रफळ = 3 चौरस. एकक.

संकल्पना :

आंशिक अपूर्णांक :

गणना :

येथे आपल्याला $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ चे मूल्य शोधायचे आहे.

चला $\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

आपल्याला माहित आहे की $\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$ जेथे C हा स्थिरांक आहे

$\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ जेथे C हा स्थिरांक आहे

गणना:

अन्वस्ताचे समीकरण: y² = 4kx ------(1)

समजा, O हा अन्वस्ताचा शिरोबिंदू, S हा नाभिबिंदू आणि LL' ही नाभीय रेषा आहे.

नाभीय रेषेचे समीकरण: x = k 

येथे अन्वस्त x-अक्षाभोवती सममित आहे.

आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2(OSL चे क्षेत्रफळ)

⇒ आवश्यक क्षेत्रफळ, A = 2 ${\displaystyle {\int }_0^{k}ydx}$

⇒ A = 2 ${\displaystyle {\int }_0^{k}2\surd k\surd xdx}$

⇒ A = 2.2√k ${\displaystyle {\int }_0^k{x}^{\frac{1}{2}}dx}$

⇒ A = 4√k ${\displaystyle {\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^k}$

⇒ A = ${\displaystyle \frac{8}{3}\sqrt{k}[k^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}]}$

⇒ A = ${\displaystyle \frac{8}{3}{k}^2}$

दिलेल्या अन्वस्ताचे क्षेत्रफळ 24 आहे.

⇒ 24 = ${\displaystyle \frac{8}{3}{k}^2}$

⇒ k = ± 3

जसे k > 0 मूल्य आहे, म्हणून, k = 3.

∴ k चे मूल्य 3 आहे.

संकल्पना:

x = a आणि x = b मधील वक्र y = f(x ) अंतर्गत क्षेत्रफळ (A) दिलेले आहे,

A = ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

गणना:

येथे, वक्र x = f(y) आणि रेषा y = a आणि y = b

∴क्षेत्रफळ = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}\cdots (\text{function is f(y)})$

= ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}}$

(∵ f(y) = x)

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

संकल्पना:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x-अक्षाचे समीकरण y = 0 द्वारे दिले जाते

जर y = a ≠ 0 आणि a > 0 असेल, तर y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या वर असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

y = a ≠ 0 आणि a < 0 असल्यास, y = a हे x-अक्षाच्या समांतर आणि x-अक्षाच्या खाली असलेल्या रेषेचे समीकरण दर्शवते.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: |x| < 5, y = 0 आणि y = 8

खालील आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे वरील समीकरणे प्लॉट करून आणि समीकरण समतल समतलात:

छायांकित भाग दिलेल्या समीकरणांनी आणि समीकरणाने बांधलेला प्रदेश दर्शवतो.

जसे आपण पाहू शकतो की बद्ध प्रदेश हा लांबी l = 10 एकके आणि रुंदी b = 8 एकके असलेला आयत आहे.

⇒ बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ = l × b = 10 × 8 = 80 चौरस. एकके

दिलेले आहे:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

$\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}$

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\mathrm{c}$

गणना:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

$\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}+2}$

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

$2\mathrm{x}+3=\mathrm{A}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)+\mathrm{B}({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})+\mathrm{C}({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})$

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=0$ .........(1)

$\mathrm{A}+2\mathrm{B}-\mathrm{C}=2$ ...........(2) आणि

$-2\mathrm{A}=3$

$⟹\mathrm{A}=\frac{-3}{2}$

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

$2\mathrm{A}+3\mathrm{B}=2$

A चे मूल्य ठेवू

$2\times \frac{-3}{2}+3\mathrm{B}=2$

$⟹\mathrm{B}=\frac{5}{3}$

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

$\mathrm{C}=\frac{-1}{6}$

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{-3}{2}.\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{5}{3}.\frac{1}{\mathrm{x}-1}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{-1}{6}.\frac{1}{\mathrm{x}+2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

$=\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

संकल्पना:

भागानुसार समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकलन:

जर ∫ f(x) dx = g(x) + C असेल, तर ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=[\mathrm{g}(\mathrm{x}){]}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}$ = g(b) - g(a).

गणना:

समजा I = ∫ (1)(log x) dx.

log x ला पहिला फलन आणि 1 ला दुसरा फलन मानून, आपल्याला मिळते:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [$\frac{1}{\mathrm{x}}$ ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

= x (log x - 1) + C

संकल्पना :

महत्तम पूर्णांक फल : (तळाचे फल)

फल f(x) = [x] याला सर्वात मोठे पूर्णांक फल म्हटले जाते आणि याचा अर्थ x पेक्षा कमी किंवा समान म्हणजे [x] ≤ x.

[x] चे डोमेन R आहे आणि श्रेणी I आहे.

गणना :

दिलेल्याप्रमाणे: $f\left(x\right)=\left[\frac{1}{x}\right]$

दिलेल्या पूर्णांकासाठी ${\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx$ , x दरम्यान आहे 1 / 3 आणि 1 / 2 म्हणजे $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2<\frac{1}{x}<3$

तर, वरील असमानतेनुसार: $f\left(x\right)=\left[\frac{1}{x}\right]=2$

संकल्पना:

फंक्शन f(x) हे विषम फंक्शन आहे जर f(x) = - f(-x) आणि सम फंक्शन आहे जरf(x) = f(-x).

• जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असेल तेव्हा ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$
• जेव्हा f(x) विषम फंक्शन असेल तेव्हा ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

दिले आहे: ${\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

समजा f(x) = cos x

जसे की आपण आपण पाहू शकतो, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

तर, cos xहे सम फंक्शन आहे.

आपल्याला माहित आहे की, जेव्हा f(x) हे सम फंक्शन असते तेव्हा${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0)=0$

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.