Integral Calculus MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Integral Calculus - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கருத்து:

ஒருங்கிணைந்த சொத்து:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு: பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தயாரிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் ஒரு முறையாகும். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

இங்கே u என்பது u(x) சார்பு மற்றும் v என்பது v(x)

ILATE விதி பொதுவாக, இந்த விதியின் விருப்ப வரிசையானது தலைகீழ், மடக்கை, இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் மற்றும் அடுக்கு போன்ற சில செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

கணக்கீடு:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x-{x^2\over4} +c\)

கருத்து:

f(x) சார்பு f(x) = - f(-x) என்றால் ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் f(x) = f(-x) எனில்  சமச்  சார்பு.

• f(x) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
• f(x) ஒற்றைப்படைச் சார்பாக இருக்கும்போது\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

கொடுக்கப்பட்டவை: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

பின்வருமாறு f(x) = cos x

நாம் காண்பது, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

எனவே, cos x என்பது ஒரு சமமான சார்பு.

நாம் அறிந்தது, f(x) இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது

 \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

எனவே, சரியான விருப்பம் 1 ஆகும்.

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =\(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) =\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

கருத்து:

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் ஒரு வளைவின் கீழ் பகுதி:

இந்த வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை கிடைமட்டமாக கூட்டுவதன் மூலம் கண்டறியவும்.

இந்த வழக்கில், பகுதி என்பது செவ்வகங்களின் கூட்டுத்தொகை, உயரங்கள் y = f(x) மற்றும் அகலம் dx.

இடமிருந்து வலமாகத் தொகுக்க வேண்டும்.

∴ பகுதி = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

கணக்கீடு:

இங்கே, y = x 2 , x-axis மற்றும் ஆர்டினேட்டுகள் x = -1 மற்றும் x = 2 வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளால் மூடப்பட்ட பகுதி \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) மூலம் வழங்கப்படுகிறது

எங்களுக்குத் தெரியும், \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

பரப்பளவு = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

பரப்பளவு = 3 சதுர அலகுகள் .

கருத்து:

x = a & x = b க்கு இடையில் உள்ள வளைவு y = f(x) கீழ் பரப்பளவு (A) வழங்கப்படுகிறது,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

கணக்கீடு:

இங்கே, வளைவு x = f(y) மற்றும் கோடுகள் y = a மற்றும் y = b

∴Area = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =\(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) =\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

கருத்து:

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் ஒரு வளைவின் கீழ் பகுதி:

இந்த வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை கிடைமட்டமாக கூட்டுவதன் மூலம் கண்டறியவும்.

இந்த வழக்கில், பகுதி என்பது செவ்வகங்களின் கூட்டுத்தொகை, உயரங்கள் y = f(x) மற்றும் அகலம் dx.

இடமிருந்து வலமாகத் தொகுக்க வேண்டும்.

∴ பகுதி = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

கணக்கீடு:

இங்கே, y = x 2 , x-axis மற்றும் ஆர்டினேட்டுகள் x = -1 மற்றும் x = 2 வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளால் மூடப்பட்ட பகுதி \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) மூலம் வழங்கப்படுகிறது

எங்களுக்குத் தெரியும், \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

பரப்பளவு = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

பரப்பளவு = 3 சதுர அலகுகள் .

கருத்து :

பகுதி பின்னம் :

கணக்கீடு :

இங்கே நாம் \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்

\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = 0 ஐ வைப்பதன் மூலம் A = 1/2 கிடைக்கும்

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = - 2 ஐ வைப்பதன் மூலம் B = - 1/2 கிடைக்கும்

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) என்பது நமக்குத் தெரியும், இதில் C என்பது மாறிலி

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) இதில் C என்பது மாறிலி

கருத்து:

x = a & x = b க்கு இடையில் உள்ள வளைவு y = f(x) கீழ் பரப்பளவு (A) வழங்கப்படுகிறது,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

கணக்கீடு:

இங்கே, வளைவு x = f(y) மற்றும் கோடுகள் y = a மற்றும் y = b

∴Area = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

கருத்து:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x அச்சின் சமன்பாடு: y = 0

y = a ≠ 0 மற்றும் a > 0 எனில், y = a என்பது x அச்சுக்கு இணையான மற்றும் x அச்சுக்கு மேலே உள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

y = a ≠ 0 மற்றும் a <0 எனில், y = a என்பது x அச்சுக்கு இணையான மற்றும் x அச்சுக்குக் கீழே உள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது: |x| < 5, y = 0 மற்றும் y = 8

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, மேற்கூறிய சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில்:

ஷேடட் பகுதியானது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் குறிக்கிறது.

நாம் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதி நீளம் l = 10 அலகுகள் மற்றும் அகலம் b = 8 அலகுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வகம் என்று பார்க்க முடியும்.

⇒ எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு = l × b = 10 × 8 = 80 சதுர அலகுகள்

கருத்து :

சிறந்த முழு எண் செயல்பாடு : (தரை செயல்பாடு)

f (x) = [x] சார்பு மிகப்பெரிய முழு எண் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது x ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான பெரிய முழு எண் அதாவது [x] ≤ x.

[x] இன் டொமைன் R மற்றும் வரம்பு I.

கணக்கீடு :

கொடுக்கப்பட்டவை: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right]\)

கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} f\left( x \right)\;dx\) , x இடையே உள்ளது 1 / 3 மற்றும் 1 / 2 அதாவது \(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2 < \frac{1}{x} < 3\)

எனவே, மேலே உள்ள சமத்துவமின்மையின்படி: \(f\left( x \right) = \left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2\)

கருத்து:

f(x) சார்பு f(x) = - f(-x) என்றால் ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் f(x) = f(-x) எனில்  சமச்  சார்பு.

• f(x) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
• f(x) ஒற்றைப்படைச் சார்பாக இருக்கும்போது\(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

கொடுக்கப்பட்டவை: \(\rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx\)

பின்வருமாறு f(x) = cos x

நாம் காண்பது, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

எனவே, cos x என்பது ஒரு சமமான சார்பு.

நாம் அறிந்தது, f(x) இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது

 \(\rm \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \rm \int_{-\pi }^{\pi }cosx \ dx=2\int_{0 }^{\pi }cosx \ dx=2(sin\pi-sin0)=0\)

எனவே, சரியான விருப்பம் 1 ஆகும்.

கருத்து:

ஒருங்கிணைந்த சொத்து:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு: பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தயாரிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் ஒரு முறையாகும். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

இங்கே u என்பது u(x) சார்பு மற்றும் v என்பது v(x)

ILATE விதி பொதுவாக, இந்த விதியின் விருப்ப வரிசையானது தலைகீழ், மடக்கை, இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் மற்றும் அடுக்கு போன்ற சில செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

கணக்கீடு:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x-{x^2\over4} +c\)

கருத்து:

Y அச்சில் பரவளைய சமன்பாடு: (x – h)2 = ±4a (y - k),

இங்கே, புள்ளி (h, k) என்பது பரவளையத்தின் உச்சி, 4a = குவிய அகலத்தின் நீளம் மற்றும் குவியம் (0, ±a)

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம்:  x2 = 20y

x2 = 4ay ⇒ a = 5 மற்றும் கோணஉச்சி = (0, 0)

∴ குவியம் = (0, 5)

x² = 20(5) = 100                

⇒ x = ± 10

AB = 10 + 10 = 20

OM = 5

∴ OAB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = ½ × அடிப்பகுதி × உயரம்

= 1/2 × (20) × (5)

= 50 சதுர அலகுகள்

 Hence, option (4) is correct. 

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =\(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) =\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×\(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)