Integral Calculus MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Integral Calculus - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கருத்து:

ஒருங்கிணைந்த சொத்து:

• ∫ xn dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$+ C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு: பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தயாரிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் ஒரு முறையாகும். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

⇒ $\int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$ + C

இங்கே u என்பது u(x) சார்பு மற்றும் v என்பது v(x)

ILATE விதி பொதுவாக, இந்த விதியின் விருப்ப வரிசையானது தலைகீழ், மடக்கை, இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் மற்றும் அடுக்கு போன்ற சில செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

கணக்கீடு:

I = $\int \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\ln \mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\log \mathrm{x})\times \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int (\frac{1}{\mathrm{x}}\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{2})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{c}$

கருத்து:

f(x) சார்பு f(x) = - f(-x) என்றால் ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் f(x) = f(-x) எனில்  சமச்  சார்பு.

• f(x) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$
• f(x) ஒற்றைப்படைச் சார்பாக இருக்கும்போது${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

கொடுக்கப்பட்டவை: ${\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

பின்வருமாறு f(x) = cos x

நாம் காண்பது, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

எனவே, cos x என்பது ஒரு சமமான சார்பு.

நாம் அறிந்தது, f(x) இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது

 ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0)=0$

எனவே, சரியான விருப்பம் 1 ஆகும்.

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

$y=\sqrt{x^2-a^2}$

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}ydx$ =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

கருத்து:

x = a & x = b க்கு இடையில் உள்ள வளைவு y = f(x) கீழ் பரப்பளவு (A) வழங்கப்படுகிறது,

A = ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

கணக்கீடு:

இங்கே, வளைவு x = f(y) மற்றும் கோடுகள் y = a மற்றும் y = b

∴Area = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}\cdots (\text{function is f(y)})$

= ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}}$

(∵ f(y) = x)

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

கருத்து :

பகுதி பின்னம் :

கணக்கீடு :

இங்கே நாம் $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்

$\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = 0 ஐ வைப்பதன் மூலம் A = 1/2 கிடைக்கும்

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = - 2 ஐ வைப்பதன் மூலம் B = - 1/2 கிடைக்கும்

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$ என்பது நமக்குத் தெரியும், இதில் C என்பது மாறிலி

$\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ இதில் C என்பது மாறிலி

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

$y=\sqrt{x^2-a^2}$

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}ydx$ =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

கருத்து:

ஒருங்கிணைப்பு மூலம் ஒரு வளைவின் கீழ் பகுதி:

இந்த வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை கிடைமட்டமாக கூட்டுவதன் மூலம் கண்டறியவும்.

இந்த வழக்கில், பகுதி என்பது செவ்வகங்களின் கூட்டுத்தொகை, உயரங்கள் y = f(x) மற்றும் அகலம் dx.

இடமிருந்து வலமாகத் தொகுக்க வேண்டும்.

∴ பகுதி = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

கணக்கீடு:

இங்கே, y = x 2 , x-axis மற்றும் ஆர்டினேட்டுகள் x = -1 மற்றும் x = 2 வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளால் மூடப்பட்ட பகுதி ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ மூலம் வழங்கப்படுகிறது

எங்களுக்குத் தெரியும், $\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

பரப்பளவு = ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_{-1}^2$

= $[\frac{8}{3}-\frac{-1}{3}]=\frac{9}{3}=3$

பரப்பளவு = 3 சதுர அலகுகள் .

கருத்து :

பகுதி பின்னம் :

கணக்கீடு :

இங்கே நாம் $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்

$\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = 0 ஐ வைப்பதன் மூலம் A = 1/2 கிடைக்கும்

(1) இன் இரு பக்கங்களிலும் x = - 2 ஐ வைப்பதன் மூலம் B = - 1/2 கிடைக்கும்

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$ என்பது நமக்குத் தெரியும், இதில் C என்பது மாறிலி

$\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ இதில் C என்பது மாறிலி

கருத்து:

x = a & x = b க்கு இடையில் உள்ள வளைவு y = f(x) கீழ் பரப்பளவு (A) வழங்கப்படுகிறது,

A = ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

கணக்கீடு:

இங்கே, வளைவு x = f(y) மற்றும் கோடுகள் y = a மற்றும் y = b

∴Area = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}\cdots (\text{function is f(y)})$

= ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}}$

(∵ f(y) = x)

எனவே, விருப்பம் (3) சரியானது.

கருத்து:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x அச்சின் சமன்பாடு: y = 0

y = a ≠ 0 மற்றும் a > 0 எனில், y = a என்பது x அச்சுக்கு இணையான மற்றும் x அச்சுக்கு மேலே உள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

y = a ≠ 0 மற்றும் a <0 எனில், y = a என்பது x அச்சுக்கு இணையான மற்றும் x அச்சுக்குக் கீழே உள்ள கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது: |x| < 5, y = 0 மற்றும் y = 8

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, மேற்கூறிய சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில்:

ஷேடட் பகுதியானது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் குறிக்கிறது.

நாம் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதி நீளம் l = 10 அலகுகள் மற்றும் அகலம் b = 8 அலகுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வகம் என்று பார்க்க முடியும்.

⇒ எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு = l × b = 10 × 8 = 80 சதுர அலகுகள்

கருத்து :

சிறந்த முழு எண் செயல்பாடு : (தரை செயல்பாடு)

f (x) = [x] சார்பு மிகப்பெரிய முழு எண் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது x ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான பெரிய முழு எண் அதாவது [x] ≤ x.

[x] இன் டொமைன் R மற்றும் வரம்பு I.

கணக்கீடு :

கொடுக்கப்பட்டவை: $f\left(x\right)=\left[\frac{1}{x}\right]$

கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ${\int }_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx$ , x இடையே உள்ளது 1 / 3 மற்றும் 1 / 2 அதாவது $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2<\frac{1}{x}<3$

எனவே, மேலே உள்ள சமத்துவமின்மையின்படி: $f\left(x\right)=\left[\frac{1}{x}\right]=2$

கருத்து:

f(x) சார்பு f(x) = - f(-x) என்றால் ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் f(x) = f(-x) எனில்  சமச்  சார்பு.

• f(x) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$
• f(x) ஒற்றைப்படைச் சார்பாக இருக்கும்போது${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

கொடுக்கப்பட்டவை: ${\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

பின்வருமாறு f(x) = cos x

நாம் காண்பது, f(- x) = cos (- x) = cos x = f(x).

எனவே, cos x என்பது ஒரு சமமான சார்பு.

நாம் அறிந்தது, f(x) இரட்டைப்படைச் சார்பாக இருக்கும் போது

 ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0)=0$

எனவே, சரியான விருப்பம் 1 ஆகும்.

கருத்து:

ஒருங்கிணைந்த சொத்து:

• ∫ xn dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$+ C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு: பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தயாரிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் ஒரு முறையாகும். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

⇒ $\int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$ + C

இங்கே u என்பது u(x) சார்பு மற்றும் v என்பது v(x)

ILATE விதி பொதுவாக, இந்த விதியின் விருப்ப வரிசையானது தலைகீழ், மடக்கை, இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் மற்றும் அடுக்கு போன்ற சில செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

கணக்கீடு:

I = $\int \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\ln \mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\log \mathrm{x})\times \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int (\frac{1}{\mathrm{x}}\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{2})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{c}$

கருத்து:

Y அச்சில் பரவளைய சமன்பாடு: (x – h)2 = ±4a (y - k),

இங்கே, புள்ளி (h, k) என்பது பரவளையத்தின் உச்சி, 4a = குவிய அகலத்தின் நீளம் மற்றும் குவியம் (0, ±a)

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம்:  x2 = 20y

x2 = 4ay ⇒ a = 5 மற்றும் கோணஉச்சி = (0, 0)

∴ குவியம் = (0, 5)

x² = 20(5) = 100                

⇒ x = ± 10

AB = 10 + 10 = 20

OM = 5

∴ OAB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = ½ × அடிப்பகுதி × உயரம்

= 1/2 × (20) × (5)

= 50 சதுர அலகுகள்

 Hence, option (4) is correct. 

விளக்கம்:

வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 = a2ஆல் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு y-திசையில் துண்டுகளை எடுத்து 0 முதல் 'a' வரை ஒருங்கிணைப்போம், இது முதல் நான்கின் பரப்பளவைக் கொடுக்கும், மேலும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய 4 ஆல் பெருக்கவும்.

$y=\sqrt{x^2-a^2}$

முதல் நாற்கரத்தின் பகுதி =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}ydx$ =$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

வட்டத்தின் பரப்பளவு = 4 ×$\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$