Using Variable Separable Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Using Variable Separable Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}={\mathrm{y}}^3(1+{\log }_{\mathrm{e}}\mathrm{x})$

⇒ $\frac{1}{{\mathrm{y}}^3}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{x}{\mathrm{y}}^2}=1+{\log }_{\mathrm{e}}\mathrm{x}$

माना $-\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{t}\Rightarrow \frac{2}{{\mathrm{y}}^3}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}$

∴ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\frac{2\mathrm{t}}{\mathrm{x}}=2(1+{\log }_{\mathrm{e}}\mathrm{x})$

$\text{ I.F. }={\mathrm{e}}^{\int \frac{2}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^2$

⇒ $\frac{-{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{y}}^2}=\frac{2}{3}((1+{\log }_{\mathrm{e}}\mathrm{x}){\mathrm{x}}^3-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3})+\mathrm{C}$

y(1) = 3

$\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{5-2{\mathrm{x}}^3(2+{\log }_{\mathrm{e}}{\mathrm{x}}^3)}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

प्रथम कोटि अवकल समीकरण:

• एक अवकल समीकरण जिसमें फलन y और इसका प्रथम अवकलज dy/dx शामिल है, उसे प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।
• पृथक्करणीय अवकल समीकरणों को चरों y और x को समीकरण के विपरीत पक्षों पर अलग करके हल किया जा सकता है।
• एक बार चरों को अलग करने के बाद, दोनों पक्षों को उनके अपने चर के सापेक्ष समाकलित करें।
• समाकलन के स्थिरांक को ज्ञात करने और विशेष हल प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें।

लघुगणकीय फलन:

• प्राकृतिक लघुगणकीय फलन को log_e या ln के रूप में दर्शाया जाता है।
• महत्वपूर्ण सर्वसमिका: ∫(1/x) dx = log_e|x| + C

गणना:

दिया गया है, y(0) = 1

समीकरण: (y − x²y) dy = (1 − x³) dx

⇒ y(1 − x²) dy = (1 − x³) dx

⇒ y dy = [(1 − x³)/(1 − x²)] dx

⇒ y dy = [(1 + x + x²)/(1 + x)] dx

⇒ y dy = x + (1/(1 + x)) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

⇒ ∫ y dy = ∫ (x + 1/(1 + x)) dx

⇒ y²/2 = x²/2 + log_e|1 + x| + C

⇒ y² = x² + 2 log_e|1 + x| + C′

प्रारंभिक स्थिति लागू करने पर: x = 0, y = 1

⇒ (1)² = 0 + 2 log_e(1) + C′

⇒ 1 = 0 + 0 + C′

⇒ C′ = 1

∴ इसलिए, विशेष हल y² = x² + 2 log_e|1 + x| + 1 है। 

गणना

$ydy=(xdy-ydx)\sin \left(\frac{x}{y}\right)$

⇒ $\frac{dy}{y}=\left(\frac{xdy-ydx}{y^2}\right)\sin \left(\frac{x}{y}\right)$

⇒ $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}}=\sin \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)\mathrm{d}(-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}})$

⇒ $\ell ny=\cos \frac{x}{y}+C$

$x(1)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0=\cos \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow C=0$

⇒ $\ell \mathrm{ny}=\cos \frac{x}{y}$

लेकिन,$y=2\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\ln 2$

⇒ $\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1$

= 2(ℓn2)² - 1

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=-\omega \mathrm{y};\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\omega \mathrm{x}$...(i)

इसलिए, $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\mathrm{t}}^2}=-\omega \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

⇒ $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\mathrm{t}}^2}=-{\omega }^2\mathrm{x}$ ((i) का उपयोग करने पर)

सहायक समीकरण है

m² = - ω²

⇒ m = ωi

इसलिए, व्यापक हल है

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

इसलिए, -ωy = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = -ωc1 sin ωt + ωc2 cos ωt

⇒ y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

इसलिए

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

(1) सही है।

गणना

$\frac{dy}{dx}=-\frac{e^x+x^2}{e^{-siny}cosy}$

$\Rightarrow d(e^{-siny})+(e^x+x^2)dx=0$

$\Rightarrow e^{-siny}+e^x+\frac{x^3}{3}=C$

f(x) = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3$

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}}$

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y²) dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{1+{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{d}\mathrm{x}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{1+{\mathrm{y}}^2}={\displaystyle \int \mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{c} \end{gathered}$$

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

गणना:

दिया गया है: $\ln \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)-\mathrm{a}=0$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)=\mathrm{a}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$

$\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xe^a + c

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\log \mathrm{x}+\mathrm{c}$

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

दिया गया है:$(\mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-1)=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1$

$\Rightarrow \mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}^2}{2}=\log \mathrm{x}+\mathrm{c}$

अवधारणा:

$\int \frac{1}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{C}$ 

गणना:

दिया गया है : $\mathrm{d}\mathrm{y}=(4+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{4+{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{2^2+{\mathrm{y}}^2}=\int \mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=\mathrm{x}+\mathrm{c}$ 

⇒ ${\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=2\mathrm{x}+2\mathrm{c}$

⇒ ${\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=2\mathrm{x}+\mathrm{C}$ [∵ 2c = C]

⇒ $\frac{\mathrm{y}}{2}=\tan (2\mathrm{x}+\mathrm{C})$

 $\mathrm{y}=2\tan (2\mathrm{x}+\mathrm{C})$ 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

यदि log x = z है, तो हम x = e^z लिख सकते हैं

गणना:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=3\mathrm{x}+8$

उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{3\mathrm{x}+8}=\int \mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒$\frac{1}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(3\mathrm{x}+8)=\mathrm{t}+\mathrm{c}$, c = समाकलन का स्थिरांक 

⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)

⇒ 3x + 8 = e^3(t+c) 

⇒ 3x = e^3(t+c) - 8

∴ $\mathrm{x}=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3(\mathrm{t}+\mathrm{c})}-\frac{8}{3}$

संकल्पना:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ 

गणना:

दिया गया है: dy = $\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}$ dx 

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1^2-{\mathrm{y}}^2}}=\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1^2-{\mathrm{y}}^2}}=\int \mathrm{d}\mathrm{x}$ 

⇒ $\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\mathrm{y}\right)$ = x + c 

⇒ y = sin ( x + c ) . 

सही विकल्प 2 है। 

गणना:

दिया गया है कि: $\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}+1$

⇒ ydy = (x + 1) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx

⇒ $\frac{{\mathrm{y}}^2}{2}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}+\mathrm{c}$

⇒ y ² = x ² + 2x + 2c

∴ y2 - x2 - 2x - c = 0

संकल्पना:

$\int \frac{1}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{c}$

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

दिया गया है: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}=(1+{\mathrm{x}}^2)(1+{\mathrm{y}}^2)$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}=(1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}$

$\Rightarrow (1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \int (1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}$

$\Rightarrow \mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

पहली-कोटि वाले अवकल समीकरण के लिए चर को अलग कीजिए और उसीप्रकार समाकलन कीजिए। 

समाकलन स्थिरांक ज्ञात करने के लिए दी गयी स्थिति को रखिए। 

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-4\mathrm{y}=0$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{y}}=4\mathrm{d}\mathrm{x}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर 

⇒ $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{y}}=\int 4\mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ ln y = 4x + c

⇒ y = e^{4x + c}

अब y(0) = 1

⇒ 1 = e^{0 + c}

⇒ c = 0

∴ y = e^4x

संकल्पना:

परिवर्तनीय वियोज्य विधि द्वारा अवकल समीकरण

यदि दिए गए अवकल समीकरण में $\mathrm{d}\mathrm{x}$ का गुणांक केवल x का फलन है और $\mathrm{d}\mathrm{y}$ का गुणांक केवल y का फलन है, तो हम $\mathrm{d}\mathrm{x}$ और $\mathrm{d}\mathrm{y}$ के पदों को अलग कर सकते हैं और दोनों का अलग-अलग समाकलन कर सकते हैं। 

$\Rightarrow \int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\int \mathrm{g}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{d}\mathrm{y}$

गणना:

ज्ञात करना है: अवकल समीकरण का हल

$\frac{\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=0$

⇒ ydx - xdy = 0

⇒ ydx = xdy 

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$$\begin{gathered} \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{y}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \ln \mathrm{y}=\ln \mathrm{x}+\ln \mathrm{c} \end{gathered}$$   

$\Rightarrow \ln (\mathrm{y})=\ln \mathrm{c}\mathrm{x}$                   (∵ ln x + ln y = ln (xy))

⇒ y = cx 

∴ y - cx = 0