Solution of Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

$\frac{dx}{dy}=\cos (x+y)$

मान लीजिए, $x+y=v⟹{\displaystyle \frac{dx}{dy}}+1={\displaystyle \frac{dv}{dy}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{dv}{dy}}=1+\cos v=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{dv}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}}}=2dy$

⇒ ${\sec }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}dv=2dy$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-

⇒ $2\tan {\displaystyle \frac{v}{2}}=2y+k$

⇒ $\tan \left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=y+c$

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\tan \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)+\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$ ..... $(i)$

मान लीजिए, ${\displaystyle \frac{y}{x}}=v$

$⟹y=vx$

$⟹{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=v+x{\displaystyle \frac{dv}{dx}}$

$\therefore$ दिया गया समीकरण $(i)$ बन जाता है

$v+x{\displaystyle \frac{dv}{dx}}=\tan v+v$

$⟹{\displaystyle \frac{1}{\tan v}}dv={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$

$⟹{\displaystyle \int \cot vdv=\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx}$

$⟹\log |\sin v|=\log x+\log c=\log |xc|$

$⟹\sin v=xc$

$\therefore \sin \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)=xc$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

$ydx+(x-y^2)dy=0$

⇒ $ydx+xdy-y^{2}dy=0$

⇒ $d(xy)-y^{2}dy=0$

समाकलन करने पर,

⇒ $xy-{\displaystyle \frac{y^3}{3}}=c$

इसे निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

⇒ $x={\displaystyle \frac{y^3}{3}}+{\displaystyle \frac{c}{y}}$

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

गणना

$\frac{dx}{dy}=\cos (x+y)$

मान लीजिए, $x+y=v⟹{\displaystyle \frac{dx}{dy}}+1={\displaystyle \frac{dv}{dy}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{dv}{dy}}=1+\cos v=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{dv}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}}}=2dy$

⇒ ${\sec }^2{\displaystyle \frac{v}{2}}dv=2dy$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-

⇒ $2\tan {\displaystyle \frac{v}{2}}=2y+k$

⇒ $\tan \left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=y+c$

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र:

Sin C + sin D = 2 sin(C + D)/2 × cos(C - D)/2

∫ tanx. secx dx = secx + c

∫ sinx dx = - cosx + c

गणना:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\tan \mathrm{y}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x}+\mathrm{y})+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x}-\mathrm{y})$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}=2\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{x}-\mathrm{y})}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{y})}{2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}=2\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}$

⇒ (tany × secy) dy = 2 sinx dx

⇒ ∫ (tany × secy) dy = ∫ 2 sinx dx

⇒ secy = - 2cosx + c 

∴ sec y + 2 cos x = c

संकल्पना:

${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}}$

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y²) dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{1+{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{d}\mathrm{x}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{1+{\mathrm{y}}^2}={\displaystyle \int \mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{c} \end{gathered}$$

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

दिया गया:

x = 1

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

गणना:

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0

⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0

⇒x = y , y = z और z = x

लेकिन x = y = z = 1

इसलिए, $\frac{10{\mathrm{x}}^4+5{\mathrm{y}}^4+7{\mathrm{z}}^4}{13{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2+6{\mathrm{y}}^2{\mathrm{z}}^2+3{\mathrm{z}}^2{\mathrm{x}}^2}$

= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}

= 22/22

= 1

इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।

गणना:

दिया गया है: $\ln \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)-\mathrm{a}=0$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)=\mathrm{a}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$

$\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xe^a + c

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\log \mathrm{x}+\mathrm{c}$

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

दिया गया है:$(\mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-1)=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1$

$\Rightarrow \mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}^2}{2}=\log \mathrm{x}+\mathrm{c}$

दिया गया:

x + $\frac{1}{2x}$ = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है

गणना:

⇒ x + $\frac{1}{2x}$ = 3

दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 2x + $\frac{1}{x}$ = 6  .................(1)

अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,

⇒ $(2x+\frac{1}{x}{)}^3=6^3$

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}+3(4x^2)(\frac{1}{x})+3(2x)(\frac{1}{x^2})=216$

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}+12x+\frac{6}{x}=216$

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}=216-6(2x+\frac{1}{x})$

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}=216-6(6)$  ..............(1) से 

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}=216-36$

⇒ $8x^3+\frac{1}{x^3}=180$

⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।

अवधारणा:

$\int \frac{1}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{C}$ 

गणना:

दिया गया है : $\mathrm{d}\mathrm{y}=(4+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{4+{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{2^2+{\mathrm{y}}^2}=\int \mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=\mathrm{x}+\mathrm{c}$ 

⇒ ${\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=2\mathrm{x}+2\mathrm{c}$

⇒ ${\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{2}=2\mathrm{x}+\mathrm{C}$ [∵ 2c = C]

⇒ $\frac{\mathrm{y}}{2}=\tan (2\mathrm{x}+\mathrm{C})$

 $\mathrm{y}=2\tan (2\mathrm{x}+\mathrm{C})$ 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

यदि log x = z है, तो हम x = e^z लिख सकते हैं

गणना:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=3\mathrm{x}+8$

उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{3\mathrm{x}+8}=\int \mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒$\frac{1}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(3\mathrm{x}+8)=\mathrm{t}+\mathrm{c}$, c = समाकलन का स्थिरांक 

⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)

⇒ 3x + 8 = e^3(t+c) 

⇒ 3x = e^3(t+c) - 8

∴ $\mathrm{x}=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3(\mathrm{t}+\mathrm{c})}-\frac{8}{3}$

संकल्पना:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ 

गणना:

दिया गया है: dy = $\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}$ dx 

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1^2-{\mathrm{y}}^2}}=\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1^2-{\mathrm{y}}^2}}=\int \mathrm{d}\mathrm{x}$ 

⇒ $\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\mathrm{y}\right)$ = x + c 

⇒ y = sin ( x + c ) . 

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

$\int \frac{1}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{c}$

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

दिया गया है: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}=(1+{\mathrm{x}}^2)(1+{\mathrm{y}}^2)$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}=(1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}$

$\Rightarrow (1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \int (1+{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}$

$\Rightarrow \mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

दिया गया है कि: $\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}+1$

⇒ ydy = (x + 1) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx

⇒ $\frac{{\mathrm{y}}^2}{2}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}+\mathrm{c}$

⇒ y ² = x ² + 2x + 2c

∴ y2 - x2 - 2x - c = 0