Using Variable Separable Method MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Using Variable Separable Method - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

অনুসৃত ধারণা:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln e ^y = y ।

গণনা:

আমাদের আছে ,

dy = ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

উভয় পক্ষকে একীভূত করার সময়, আমরা পাই

$-\frac{1}{2}$ e ^-2y = e ^x + C .... (i)

এটি প্রদত্ত যে y (0) = 0 , অর্থাৎ x = 0 , y = 0 এ, এটিকে (i) এ রাখলে,

$-\frac{1}{2}$ = 1 + C

⇒ C = $-\frac{3}{2}$ ।

(i) C-এ = $-\frac{3}{2}$ আমরা পাব

$-\frac{1}{2}$ e^-2y = e^x $-\frac{3}{2}$

⇒ e^-2y = - 2e^x + 3

⇒ e^2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$

⇒ y = $\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ ।

সঠিক বিকল্প হল 3

অনুসৃত ধারণা:

চলরাশির পৃথকীকরণ:

যদি সমীকরণটি এমন হয় যে চলকগুলিকে আলাদা করা যায়, তাহলে

• চলরাশি আলাদা করুন।
• উভয় পাশে একটি একক পরিবর্তনশীল নিন।
• সংশ্লিষ্ট চলরাশির সাথে উভয় পক্ষকে একীভূত করুন।

গণনা:

প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণ হল

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

উভয় পক্ষকে একীভূত করে, আমরা পাই

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

⇒ sin ^-1 y = sin ^-1 x + c

⇒ sin -1 y = sin ^-1 x + sin ^-1 c

⇒ sin -1 y - sin -1 x = sin -1 c

ধারণা:

প্রদত্ত পার্থক্যমুলক সমীকরণে যদি dx-এর সহগটি x-এর একমাত্র ফাংশন হয় এবং dy-এর সহগ শুধুমাত্র y-এর একটি ফাংশন হয় তবে আমরা dx এবং dy উভয় পদকে আলাদা করতে পারি এবং উভয়কে আলাদাভাবে একীভূত করতে পারি।

$\int f\left(x\right)dx=\int g\left(y\right)dy$

গণনা:

প্রদত্ত:

dx + e(y - x) dy = 0

আমরা উপরের পার্থক্যমুলক সমীকরণটি নিম্নরূপ সমাধান করতে পারি:

dx = - e(y - x) dy

dx = - e^y e^-x dy

$e^{x}dx=-e^{y}dy$

উভয় পক্ষকে একীভূত করে পাই,

ex = -ey + c

e^x + e^y = c

অনুসৃত ধারণা:

• $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}}={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$
• $\int \sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

গণনা:

প্রদত্ত:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)-{\mathrm{y}}^2\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\times \sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

উভয় পক্ষকে একীভূত করার সময়, আমরা পাই

$\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}}=\int \sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\sin }^{-1}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

$2{\sin }^{-1}\mathrm{y}=\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

অনুসৃত ধারণা:

$\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c}$

গণনা:

প্রদত্ত:

x²dy + y² dx = 0

⇒ x²dy = -y²dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

উভয় পক্ষকে সমাকলন করে, আমরা পাই

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

$$\begin{gathered} \frac{-1}{\mathrm{y}}=-\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{-1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-\mathrm{c} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{y} \end{gathered}$$

এখানে c হল অবকলন ধ্রুবক, ধরে নিন -c = 1/c (কারণ 1/cও একটি ধ্রুবক)

⇒ c(x + y) = xy

ধারণা:

প্রদত্ত পার্থক্যমুলক সমীকরণে যদি dx-এর সহগটি x-এর একমাত্র ফাংশন হয় এবং dy-এর সহগ শুধুমাত্র y-এর একটি ফাংশন হয় তবে আমরা dx এবং dy উভয় পদকে আলাদা করতে পারি এবং উভয়কে আলাদাভাবে একীভূত করতে পারি।

$\int f\left(x\right)dx=\int g\left(y\right)dy$

গণনা:

প্রদত্ত:

dx + e(y - x) dy = 0

আমরা উপরের পার্থক্যমুলক সমীকরণটি নিম্নরূপ সমাধান করতে পারি:

dx = - e(y - x) dy

dx = - e^y e^-x dy

$e^{x}dx=-e^{y}dy$

উভয় পক্ষকে একীভূত করে পাই,

ex = -ey + c

e^x + e^y = c

অনুসৃত ধারণা:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln e ^y = y ।

গণনা:

আমাদের আছে ,

dy = ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

উভয় পক্ষকে একীভূত করার সময়, আমরা পাই

$-\frac{1}{2}$ e ^-2y = e ^x + C .... (i)

এটি প্রদত্ত যে y (0) = 0 , অর্থাৎ x = 0 , y = 0 এ, এটিকে (i) এ রাখলে,

$-\frac{1}{2}$ = 1 + C

⇒ C = $-\frac{3}{2}$ ।

(i) C-এ = $-\frac{3}{2}$ আমরা পাব

$-\frac{1}{2}$ e^-2y = e^x $-\frac{3}{2}$

⇒ e^-2y = - 2e^x + 3

⇒ e^2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$

⇒ y = $\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ ।

সঠিক বিকল্প হল 3

অনুসৃত ধারণা:

প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণটিকে পরিবর্তনশীল বিভাজ্য আকারে রূপান্তর করুন এবং তারপরে এটিকে একীভূত করুন।

গণনা:

প্রদত্ত, $\cot \left(\frac{x-y}{2}\right)=y+c$ class="math-tex">$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\cos (\mathrm{x}-\mathrm{y})=1$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\cos (\mathrm{x}-\mathrm{y})$ ....(1)

x - y = u বসান

y থেকে wr পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}-1={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}$

সমীকরণ (1) হয়ে যায়,

⇒ $1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1}}=\mathrm{d}\mathrm{y}$

চলরাশি আলাদা করা হয়। উভয় দিকে একীভূত, আমরা পাই

⇒ $\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1}}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

⇒ $\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{-2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2{\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{2}}}}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

⇒ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2({\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{2}})\mathrm{d}\mathrm{u}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

$\Rightarrow \cot \left(\frac{\mathrm{u}}{2}\right)=\mathrm{y}+\mathrm{c}$

​\ (\cot \left( \frac {x - y}{2} \right) = y + c\ )

অনুসৃত ধারণা:

• $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}}={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$
• $\int \sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

গণনা:

প্রদত্ত:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)-{\mathrm{y}}^2\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\times \sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}}=\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

উভয় পক্ষকে একীভূত করার সময়, আমরা পাই

$\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)}}=\int \sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\sin }^{-1}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

$2{\sin }^{-1}\mathrm{y}=\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+{\sin }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

অনুসৃত ধারণা:

চলরাশির পৃথকীকরণ:

যদি সমীকরণটি এমন হয় যে চলকগুলিকে আলাদা করা যায়, তাহলে

• চলরাশি আলাদা করুন।
• উভয় পাশে একটি একক পরিবর্তনশীল নিন।
• সংশ্লিষ্ট চলরাশির সাথে উভয় পক্ষকে একীভূত করুন।

গণনা:

প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণ হল

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

উভয় পক্ষকে একীভূত করে, আমরা পাই

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

⇒ sin ^-1 y = sin ^-1 x + c

⇒ sin -1 y = sin ^-1 x + sin ^-1 c

⇒ sin -1 y - sin -1 x = sin -1 c

অনুসৃত ধারণা:

$\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c}$

গণনা:

প্রদত্ত:

x²dy + y² dx = 0

⇒ x²dy = -y²dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

উভয় পক্ষকে সমাকলন করে, আমরা পাই

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

$$\begin{gathered} \frac{-1}{\mathrm{y}}=-\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{-1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-\mathrm{c} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{y} \end{gathered}$$

এখানে c হল অবকলন ধ্রুবক, ধরে নিন -c = 1/c (কারণ 1/cও একটি ধ্রুবক)

⇒ c(x + y) = xy

ধারণা:

প্রদত্ত পার্থক্যমুলক সমীকরণে যদি dx-এর সহগটি x-এর একমাত্র ফাংশন হয় এবং dy-এর সহগ শুধুমাত্র y-এর একটি ফাংশন হয় তবে আমরা dx এবং dy উভয় পদকে আলাদা করতে পারি এবং উভয়কে আলাদাভাবে একীভূত করতে পারি।

$\int f\left(x\right)dx=\int g\left(y\right)dy$

গণনা:

প্রদত্ত:

dx + e(y - x) dy = 0

আমরা উপরের পার্থক্যমুলক সমীকরণটি নিম্নরূপ সমাধান করতে পারি:

dx = - e(y - x) dy

dx = - e^y e^-x dy

$e^{x}dx=-e^{y}dy$

উভয় পক্ষকে একীভূত করে পাই,

ex = -ey + c

e^x + e^y = c

অনুসৃত ধারণা:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln e ^y = y ।

গণনা:

আমাদের আছে ,

dy = ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

উভয় পক্ষকে একীভূত করার সময়, আমরা পাই

$-\frac{1}{2}$ e ^-2y = e ^x + C .... (i)

এটি প্রদত্ত যে y (0) = 0 , অর্থাৎ x = 0 , y = 0 এ, এটিকে (i) এ রাখলে,

$-\frac{1}{2}$ = 1 + C

⇒ C = $-\frac{3}{2}$ ।

(i) C-এ = $-\frac{3}{2}$ আমরা পাব

$-\frac{1}{2}$ e^-2y = e^x $-\frac{3}{2}$

⇒ e^-2y = - 2e^x + 3

⇒ e^2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$

⇒ y = $\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ ।

সঠিক বিকল্প হল 3

অনুসৃত ধারণা:

প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, প্রদত্ত পার্থক্যমূলক সমীকরণটিকে পরিবর্তনশীল বিভাজ্য আকারে রূপান্তর করুন এবং তারপরে এটিকে একীভূত করুন।

গণনা:

প্রদত্ত, $\cot \left(\frac{x-y}{2}\right)=y+c$ class="math-tex">$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\cos (\mathrm{x}-\mathrm{y})=1$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\cos (\mathrm{x}-\mathrm{y})$ ....(1)

x - y = u বসান

y থেকে wr পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}-1={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}$

সমীকরণ (1) হয়ে যায়,

⇒ $1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1}}=\mathrm{d}\mathrm{y}$

চলরাশি আলাদা করা হয়। উভয় দিকে একীভূত, আমরা পাই

⇒ $\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u}-1}}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

⇒ $\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{-2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2{\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{2}}}}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

⇒ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2({\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{2}})\mathrm{d}\mathrm{u}=\int \mathrm{d}\mathrm{y}$

$\Rightarrow \cot \left(\frac{\mathrm{u}}{2}\right)=\mathrm{y}+\mathrm{c}$

​\ (\cot \left( \frac {x - y}{2} \right) = y + c\ )