Solving Homogeneous Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solving Homogeneous Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

\( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \)

मान लीजिए, \( x+y=v \implies \dfrac{dx}{dy}+1=\dfrac{dv}{dy} \)

⇒ \( \dfrac{dv}{dy}=1+\cos{v}=2\cos^2{\dfrac{v}{2}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{dv}{\cos^2{\dfrac{v}{2}}}=2dy \)

⇒ \( \sec^2{\dfrac{v}{2}}dv=2dy \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-

⇒ \( 2\tan{\dfrac{v}{2}}=2y+k \)

⇒ \( \tan{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}=y+c \)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना

\(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \left (\dfrac {y}{x}\right )\) ..... \((i)\)

मान लीजिए, \(\dfrac {y}{x} = v\)

\(\implies y = vx\)

\(\implies \dfrac {dy}{dx} = v + x\dfrac {dv}{dx}\)

\(\therefore\) दिया गया समीकरण \((i)\) बन जाता है

\(v + x\dfrac {dv}{dx} = \tan v + v\)

\(\implies \dfrac {1}{\tan v}dv = \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \displaystyle \int \cot v\ dv = \int \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \log |\sin v| = \log x + \log c=\log|xc|\)

\(\implies \sin v = xc\)

\(\therefore \sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = xc\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

\( \cfrac { dx }{ dy } =\cos { \left( x+y \right) } \)

मान लीजिए, \( x+y=v \implies \dfrac{dx}{dy}+1=\dfrac{dv}{dy} \)

⇒ \( \dfrac{dv}{dy}=1+\cos{v}=2\cos^2{\dfrac{v}{2}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{dv}{\cos^2{\dfrac{v}{2}}}=2dy \)

⇒ \( \sec^2{\dfrac{v}{2}}dv=2dy \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:-

⇒ \( 2\tan{\dfrac{v}{2}}=2y+k \)

⇒ \( \tan{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}=y+c \)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना 

\(x~dy-y~dx=\sqrt{x^{2}+y^{2}}dx\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}\)

माना \(y=vx\), तब \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)

⇒ \(v + x\frac{dv}{dx} - v = \sqrt{1+v^2}\)

⇒ \(x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1+v^2}\)

⇒ \(\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

⇒ \(\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \int \frac{dx}{x}\)

⇒ \(\ln|v+\sqrt{1+v^2}| = \ln|x| + \ln C\)

⇒ \(v+\sqrt{1+v^2} = Cx\)

⇒ \(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} = Cx\)

⇒ \(y+\sqrt{x^2+y^2} = Cx^2\)

दिया गया है \(y(\sqrt{3})=1\), इसलिए

⇒ \(1+\sqrt{3+1} = C(\sqrt{3})^2\)

⇒ \(1+2 = 3C\)

⇒ \(C=1\)

∴ \(y+\sqrt{x^2+y^2} = x^2\)

इसलिए विकल्प 3 सही है।

संप्रत्यय:

चर पृथक्करण विधि का उपयोग करके अवकल समीकरण को हल करना:

• दिया गया अवकल समीकरण है: (x + y) y dx + (y - x) x dy = 0।
• हम इस समीकरण को हल करने के लिए चर पृथक्करण की विधि का उपयोग करेंगे।
• समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जाता है कि सभी y पद एक तरफ और x पद दूसरी तरफ हों।

गणना:

चरण 1: दिए गए समीकरण को पुनर्लेखित करें

दिया गया अवकल समीकरण है:

(x + y) y dx + (y - x) x dy = 0

इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें:

(x - y) / (x + y) dy = y / x dx

चरण 2: चर पृथक्करण विधि का उपयोग करें

पुनर्लेखन:

(x - y) / (x + y) dy = y / x dx

चरों को पृथक करें:

∫ (x - y) / (x + y) dy = ∫ y / x dx

चरण 3: समाकल को हल करें

समाकलों को हल करना:

x + y log(cxy) = 0

चरण 4: अंतिम उत्तर

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

x + y log(cxy) = 0

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{ dx\over x}=logx+c\)

\(\rm \int{ dx \over {a^2+x^2}}={1\over a}tan^{-1}x+c\)

गणना:

\(\rm x^2{ dy\over dx}= x^2+xy+y^2\)

⇒\(\rm { dy\over dx}= 1+{y\over x}+({y\over x})^2\)

y = vx और \(\rm {{dy}\over {dx}} = v+x {{dv}\over{dx}} \) रखने पर

⇒ \(\rm v+x{ dv\over dx}= 1+v+v^2\)

⇒ \(\rm x{ dv\over dx}= 1+v^2\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{ dx\over x}=\int{ dv \over {1+v^2}}\)

⇒ \(\rm logx= tan^{-1}v+c\), c = समाकलन का स्थिरांक

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

∴ \(\rm \log x= tan^{-1}{y\over x}+c\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=log x+c\)

\(\rm \int{cot\ x\ dx}=log(sin\ x)+c\)

गणना:

\(\rm x {{dy}\over {dx}}=y+x\ tan {y\over x}\)

y=vx रखने पर और \(\rm v+x {{dv}\over{dx}} = {{dy}\over {dx}}\) 

\(\rm x [v+x{{dv}\over {dx}}]=vx+x\ tan {v}\)

\(\rm x [v+x{{dv}\over {dx}}]=x(v+ tan {v})\)

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=\int{{dv}\over tan {v}}\)

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=\int{cotv\ dv}\)

log x = log (sinv) + log c

x = c sinv

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm x = c\sin{y\over x}\)             

[जहाँ c = समाकलन का स्थिरांक]

संकल्पना:

यदि एक अवकल समीकरण में रूप f(x,y)dy = g(x,y)dx है, तो इसे समरूप अवकल समीकरण कहा जाता है, यदि f(x,y) और g(x, y) की डिग्री समान है। 

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं,

\(\rm \int {1\over x} dx =ln\ x + C\)

\(\rm \int {1\over 1+x^2} dx =tan^{-1} x + C\)

गणना:

\(\rm {{dy}\over {dx}} = {{x+y}\over {x-y}}\)

y = vx लेने पर जहाँ \(\rm {{dy}\over{dx}} = v+ x{{dv}\over{dx}}\) है, तो हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x+vx}\over {x-vx}}\)

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x(1+v)}\over {x(1-v)}}\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v}\over {1-v}} -v\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v-v+v^2}\over {1-v}} \)

\(\rm {{dx}\over{x}} = {{1-v}\over {1+v^2}} dv\)

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{{dx}\over{x}} = \int{{1}\over {1+v^2}}dv- \int{{v}\over {1+v^2}}dv\)

\(\rm \log x = \tan^{-1} v-{1\over 2}log(1+v^2)+c\)

अब अंतिम में समीकरण में (v = y/x)  का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm \log x = tan^{-1} {y\over x}-{1\over 2}log(1+({y\over x})^2)+c\)

संकल्पना:

यदि एक अवकल समीकरण में रूप f(x,y)dy = g(x,y)dx है, तो इसे समरूप अवकल समीकरण कहा जाता है, यदि f(x,y) और g(x, y) की डिग्री समान है। 

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं,

\(\rm \int {1\over x} dx =ln\ x + C\)

\(\rm \int {1\over 1+x^2} dx =tan^{-1} x + C\)

गणना:

\(\rm {{dy}\over {dx}} = {{x+y}\over {x-y}}\)

y = vx लेने पर जहाँ \(\rm {{dy}\over{dx}} = v+ x{{dv}\over{dx}}\) है, तो हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x+vx}\over {x-vx}}\)

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x(1+v)}\over {x(1-v)}}\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v}\over {1-v}} -v\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v-v+v^2}\over {1-v}} \)

\(\rm {{dx}\over{x}} = {{1-v}\over {1+v^2}} dv\)

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{{dx}\over{x}} = \int{{1}\over {1+v^2}}dv- \int{{v}\over {1+v^2}}dv\)

\(\rm \log x = \tan v+{1\over 2}log(1+v^2)+c\)

अब अंतिम में समीकरण में y का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm \log x = tan^{-1} {y\over x}-{1\over 2}log(1+({y\over x})^2)+c\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{ dx\over x}=logx+c\)

\(\rm \int{ dx \over {a^2+x^2}}={1\over a}tan^{-1}x+c\)

गणना:

\(\rm x^2{ dy\over dx}= x^2+xy+y^2\)

⇒\(\rm { dy\over dx}= 1+{y\over x}+({y\over x})^2\)

y = vx और \(\rm {{dy}\over {dx}} = v+x {{dv}\over{dx}} \) रखने पर

⇒ \(\rm v+x{ dv\over dx}= 1+v+v^2\)

⇒ \(\rm x{ dv\over dx}= 1+v^2\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{ dx\over x}=\int{ dv \over {1+v^2}}\)

⇒ \(\rm logx= tan^{-1}v+c\), c = समाकलन का स्थिरांक

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

∴ \(\rm \log x= tan^{-1}{y\over x}+c\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm\int {dx\over x} =log x+c\)

\(\rm ∫ x^n dx = \frac {(x^{n+1})} {(n+1)} +C; \ n≠1\)

गणना:

(xy + y2)dx = (x2 - xy)dy

दोनों पक्षों को x² से विभाजित करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm[{ y\over x}+({y\over x})^2]dx=[1-{y\over x}]dy\)

अब y = vx और \(\rm v+x {{dv}\over{dx}} = {{dy}\over {dx}}\) रखने पर 

\(\rm (v+v^2)dx=(1-v)dy\)

\(\rm {dy\over dx} ={{ (v+v^2)}\over{ (1-v)}}\)

\(\rm v+x {dv\over dx} ={{ (v+v^2)}\over{ (1-v)}}\)

\(\rm x {dv\over dx} ={{ (v+v^2-v+v^2)}\over{ (1-v)}}\)

\(\rm x {dv\over dx} ={{ 2v^2}\over{ (1-v)}}\)

समीकरण का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm\int {dx\over x} =\int{(1-v)dv\over {2v^2}}\)

\(\rm\int {dx\over x} =\int({{1\over {2v^2}}-{1\over {2v}}})dv\)

\(\rm \log x= {-1\over 2v}- {1\over 2}\log v+c\), c= समाकलन का स्थिरांक 

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm \log x+ {x\over 2y}+{1\over 2}\ {log{y\over x}} = c\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=log x+c\)

\(\rm \int{cot\ x\ dx}=log(sin\ x)+c\)

गणना:

\(\rm x {{dy}\over {dx}}=y+x\ tan {y\over x}\)

y=vx रखने पर और \(\rm v+x {{dv}\over{dx}} = {{dy}\over {dx}}\) 

\(\rm x [v+x{{dv}\over {dx}}]=vx+x\ tan {v}\)

\(\rm x [v+x{{dv}\over {dx}}]=x(v+ tan {v})\)

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=\int{{dv}\over tan {v}}\)

\(\rm \int{{dx}\over {x}}=\int{cotv\ dv}\)

log x = log (sinv) + log c

x = c sinv

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm x = c\sin{y\over x}\)

[जहाँ c = समाकलन का स्थिरांक]

गणना:

x(x + y + z) = 9 ....(1)

y(x + y + z) = 16 ....(2)

z(x + y + z) = 144 .....(3)

इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,

x(x + y + z) + y(x + y + z) + z(x + y + z) = 9 + 16 + 144

⇒ (x + y + z)(x + y + z) = 169

⇒ (x + y + z)² = 169

⇒ (x + y + z) = 13

समीकरण (1) से,

⇒ x(x + y + z) = 9

⇒ x(13) = 9

⇒ x = \(\frac{9}{13}\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{ dx\over x}=logx+c\)

\(\rm \int{ dx \over {a^2+x^2}}={1\over a}tan^{-1}x+c\)

गणना:

\(\rm x^2{ dy\over dx}= x^2+xy+y^2\)

⇒\(\rm { dy\over dx}= 1+{y\over x}+({y\over x})^2\)

y = vx और \(\rm {{dy}\over {dx}} = v+x {{dv}\over{dx}} \) रखने पर

⇒ \(\rm v+x{ dv\over dx}= 1+v+v^2\)

⇒ \(\rm x{ dv\over dx}= 1+v^2\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{ dx\over x}=\int{ dv \over {1+v^2}}\)

⇒ \(\rm logx= tan^{-1}v+c\), c = समाकलन का स्थिरांक

v का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

∴ \(\rm \log x= tan^{-1}{y\over x}+c\)

दिया है:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{x} + \frac{{f\left( {\frac{y}{x}} \right)}}{{f'\left( {\frac{y}{x}} \right)}}\)

संकल्पना:

इस प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करने के लिए, y = vx रखने पर।

गणना:

y = vx रखने पर 

⇒ \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \) 

अब, \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{x} + \frac{{f\left( {\frac{y}{x}} \right)}}{{f'\left( {\frac{y}{x}} \right)}}\)

⇒ \( v + x\frac{dv}{dx} \) = v + \(\frac{f(v)}{f'(v)}\)

⇒ \(\frac{f'(v)}{f(v)}dv\) = \(\frac{dx}{x}\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर -

⇒ ln|f(v)| = ln|x| + lnC

⇒ f(v) = Cx

v = y/x फिर से रखने पर,

⇒ f(y/x) = Cx