Time Response Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Time Response Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

नियंत्रण प्रणालियों में स्थिर-अवस्था त्रुटि का निर्धारण

परिभाषा: नियंत्रण प्रणालियों में, स्थिर-अवस्था त्रुटि (SSE) वह अंतर है जो वांछित और वास्तविक आउटपुट के बीच समय अनंत की ओर पहुँचने पर होता है। यह किसी विशेष इनपुट या संदर्भ संकेत के अधीन होने पर वांछित आउटपुट मान तक पहुँचने और उसे बनाए रखने में सिस्टम की सटीकता को दर्शाता है।

महत्व: नियंत्रण प्रणालियों के प्रदर्शन का मूल्यांकन करने में स्थिर-अवस्था त्रुटि एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। एक छोटी स्थिर-अवस्था त्रुटि अधिक सटीक और अच्छी तरह से ट्यून की गई प्रणाली को इंगित करती है। सिस्टम की सटीकता और विश्वसनीयता को बढ़ाने के लिए इंजीनियर और नियंत्रण प्रणाली डिजाइनर SSE को कम करने का लक्ष्य रखते हैं।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 2: सोपान संकेत (Step Signal)

किसी नियंत्रण प्रणाली की स्थिर-अवस्था त्रुटि को निर्धारित करने के लिए आमतौर पर एक सोपान संकेत का उपयोग किया जाता है। सोपान संकेत शून्य से किसी स्थिरांक मान तक इनपुट में अचानक परिवर्तन है, और यह कई कारणों से नियंत्रण प्रणालियों में एक आवश्यक परीक्षण संकेत है:

• साधारणता और व्यावहारिकता: सिस्टम में सोपान इनपुट उत्पन्न करना और लागू करना सरल है। यह इस बात का स्पष्ट और तत्काल माप प्रदान करता है कि सिस्टम इनपुट में परिवर्तनों पर कैसे प्रतिक्रिया करता है।
• सिस्टम प्रतिक्रिया विश्लेषण: सोपान प्रतिक्रिया सिस्टम की महत्वपूर्ण विशेषताओं जैसे कि उदय समय, निपटान समय और अतिशूट को प्रकट करती है। सोपान इनपुट के प्रति सिस्टम की प्रतिक्रिया का विश्लेषण करके, इंजीनियर इसके गतिशील व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकते हैं और आवश्यक समायोजन कर सकते हैं।
• स्थिर-अवस्था व्यवहार: स्थिर-अवस्था त्रुटि सिस्टम की सोपान इनपुट के प्रति प्रतिक्रिया से सीधे देखी जा सकती है। समय अनंत की ओर पहुँचने पर वांछित अंतिम मान (सोपान इनपुट मान) और वास्तविक आउटपुट के बीच के अंतर की जांच करके, इंजीनियर स्थिर-अवस्था त्रुटि की मात्रा निर्धारित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, एक स्थिति नियंत्रण प्रणाली में जहाँ वांछित स्थिति सोपान इनपुट द्वारा दी गई है, स्थिर-अवस्था त्रुटि को सिस्टम की अंतिम स्थिति को देखकर और उसकी तुलना वांछित स्थिति से करके निर्धारित किया जा सकता है। त्रुटि जितनी छोटी होगी, लक्ष्य स्थिति तक पहुँचने में सिस्टम उतना ही सटीक होगा।

गणितीय निरूपण:

एक सोपान इनपुट \( R(s) = \frac{A}{s} \) वाली नियंत्रण प्रणाली पर विचार करें, जहाँ \( A \) सोपान परिमाण है। अंतिम मान प्रमेय का उपयोग करके स्थिर-अवस्था त्रुटि \( e_{ss} \) का निर्धारण किया जा सकता है:

\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} s \cdot E(s) \]

जहाँ \( E(s) = R(s) - Y(s) \) लाप्लास डोमेन में त्रुटि संकेत है, और \( Y(s) \) आउटपुट संकेत है। अंतिम मान प्रमेय को लागू करके, इंजीनियर किसी दिए गए सिस्टम और सोपान इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि की गणना कर सकते हैं।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: आवेग संकेत (Impulse Signal)

एक आवेग संकेत अचानक, कम अवधि का इनपुट है जिसका आयाम अनंत और अवधि शून्य होती है। जबकि यह सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया का विश्लेषण करने और सिस्टम के स्थानांतरण फलन का निर्धारण करने के लिए उपयोगी है, इसका उपयोग आमतौर पर स्थिर-अवस्था त्रुटि को निर्धारित करने के लिए नहीं किया जाता है। आवेग प्रतिक्रिया सिस्टम की स्थिरता और क्षणिक व्यवहार के बारे में जानकारी प्रदान करती है न कि इसकी स्थिर-अवस्था सटीकता के बारे में।

विकल्प 3: ज्यावक्रीय संकेत (Sinusoidal Signal)

किसी नियंत्रण प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया का अध्ययन करने के लिए एक ज्यावक्रीय संकेत का उपयोग किया जाता है। ज्यावक्रीय इनपुट को लागू करके, इंजीनियर विश्लेषण कर सकते हैं कि सिस्टम विभिन्न आवृत्तियों पर कैसे प्रतिक्रिया करता है और लाभ और चरण मार्जिन जैसी विशेषताओं का निर्धारण करता है। हालाँकि, स्थिर-अवस्था त्रुटि को सीधे निर्धारित करने के लिए ज्यावक्रीय संकेत उपयुक्त नहीं हैं, क्योंकि वे स्थिर-अवस्था विश्लेषण के लिए स्थिर संदर्भ मान प्रदान नहीं करते हैं।

विकल्प 4: रैंप संकेत (Ramp Signal)

एक रैंप संकेत लगातार बढ़ता हुआ इनपुट है, जिसका उपयोग आमतौर पर रैखिक रूप से बदलते संदर्भ को ट्रैक करने की सिस्टम की क्षमता का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। जबकि इसका उपयोग ट्रैकिंग प्रदर्शन का विश्लेषण करने और वेग त्रुटि स्थिरांक का निर्धारण करने के लिए किया जा सकता है, यह स्थिर-अवस्था त्रुटि का निर्धारण करने के लिए प्राथमिक संकेत नहीं है। रैंप इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि उन प्रणालियों में अधिक प्रासंगिक होगी जो स्थिर आउटपुट बनाए रखने के बजाय ट्रैकिंग के लिए डिज़ाइन की गई हैं।

निष्कर्ष:

विभिन्न विश्लेषणों के लिए उपयुक्त परीक्षण संकेतों को समझना नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण है। किसी सिस्टम की स्थिर-अवस्था त्रुटि को निर्धारित करने के लिए सोपान संकेत सबसे उपयुक्त और आमतौर पर उपयोग किया जाने वाला परीक्षण संकेत है। यह वांछित आउटपुट मान तक पहुँचने और उसे बनाए रखने में सिस्टम की सटीकता के सरल विश्लेषण की अनुमति देता है। जबकि आवेग, ज्यावक्रीय और रैंप इनपुट जैसे अन्य संकेतों का सिस्टम विशेषताओं के विश्लेषण में उनके विशिष्ट उपयोग हैं, उनका उपयोग मुख्य रूप से स्थिर-अवस्था त्रुटि निर्धारण के लिए नहीं किया जाता है। सोपान प्रतिक्रिया पर ध्यान केंद्रित करके, इंजीनियर नियंत्रण प्रणालियों की सटीकता और विश्वसनीयता का प्रभावी ढंग से मूल्यांकन और सुधार कर सकते हैं।

• क्षणिक प्रतिक्रिया: यह प्रणाली की प्रतिक्रिया के उस भाग को संदर्भित करता है जो प्रणाली के अपनी स्थिर अवस्था तक पहुँचने से पहले होता है। यह प्रणाली के निर्गम में प्रारंभिक समायोजन का प्रतिनिधित्व करता है जब कोई परिवर्तन किया जाता है।
• स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया: क्षणिक प्रभावों के शून्य होने के बाद, प्रणाली एक स्थिर स्थिति तक पहुँच जाता है जहाँ निर्गम समय के साथ अब नहीं बदलता है। यह स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया प्रणाली के दीर्घकालिक व्यवहार को दर्शाती है और एक दिए गए निवेश के लिए निर्गम का अंतिम मान है जिस पर यह स्थिर हो जाता है।
• नियंत्रण सिद्धांत और प्रणाली विश्लेषण में, क्षणिक और स्थिर अवस्था प्रतिक्रियाओं के बीच अंतर करना प्रणाली की गतिशीलता को समझने और प्रभावी नियंत्रकों को बनाने के लिए महत्वपूर्ण है।
• समय प्रतिक्रिया का वह भाग जो 't' के बड़े मानों के लिए क्षणिक प्रतिक्रिया शून्य होने के बाद भी बना रहता है, उसे स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया कहा जाता है।​

संकल्पना:

समय स्थिरांक \(\tau = \frac{{ - 1}}{{{\rm{real\ part\ of\ Dominant\ pole}}}}\)

गणना:

\(40\frac{{dx}}{{dt}} + 2x = f\left( t \right)\)

लाप्लास रूपांतर लेने पर हम प्राप्त करते हैं

40 s X(s) + 2X(s) = 12(s)

\(\frac{{X\left( s \right)}}{{F\left( s \right)}} = \frac{1}{{40s + 2}}\)

\( = \frac{1}{{40\left( {s + \frac{1}{{20}}} \right)}}\)

ध्रुव -1/20 पर होगा।

समय स्थिरांक \( = \frac{1}{{pole}} = 20\)

संकल्पना:

KP = स्थिति त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)H\left( s \right)\)

Kv = वेग त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)H\left( s \right)\)

Ka = त्वरण त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)H\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि प्रकार- 1 प्रणाली के लिए, प्रणाली चरण-इनपुट के लिए शून्य स्थिर-अवस्था त्रुटि दर्शाता है। 

संकल्पना:

प्रणाली की आउटपुट प्रतिक्रिया प्राकृतिक प्रतिक्रिया और प्रणोदित प्रतिक्रिया के योग के बराबर होती है।

प्रणोदित प्रतिक्रिया: इनपुट फलन के ध्रुव के कारण उत्पन्न प्रतिक्रिया को मजबूर प्रतिक्रिया कहा जाता है।

प्राकृतिक प्रतिक्रिया: प्रणाली फलन के ध्रुव के कारण उत्पन्न प्रतिक्रिया को प्राकृतिक प्रतिक्रिया कहा जाता है।

गणना:

आउटपुट y(s) निम्न के रूप में दिया गया है

\(y\left( s \right) = \frac{{G\left( s \right)}}{s} = \frac{{3 - s}}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

आंशिक भिन्नों में परिवर्तित करना

\(y\left( s \right) = \frac{{3 - s}}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{{\left( {s + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {s + 3} \right)}}\)

संपूर्ण समीकरण LHS और RHS को s से गुणा करें और s = 0 रखें

A = 1

पूरे समीकरण को (s + 1) से गुणा करें और s = -1 डालें

B = -2

जिसका समीकरण (s + 3) से गुणा करें और s = -3 डालें

C = 1

\(y\left( s \right) = \frac{1}{s} - \frac{2}{{s + 1}} + \frac{1}{{s + 3}}\)

ILT लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

संकल्पना:

KP = स्थान त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)H\left( s \right)\)

Kv = वेग त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)H\left( s \right)\)

Ka = त्वरण त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)H\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर अवस्था त्रुटि को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि प्रकार-1 की प्रणाली के लिए प्रणाली चरण-इनपुट के लिए शून्य स्थिर-अवस्था त्रुटि, रैंप इनपुट के लिए सीमित स्थिर-अवस्था त्रुटि और परवलयिक इनपुट के लिए \(\infty \) स्थिर-अवस्था त्रुटि को दर्शाता है।

गणना:

\(G\left( s \right) = \frac{{10\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{s\left( {s + 3.5} \right)\left( {s + 2.5} \right)}}\)

वेग त्रुटि गुणांक,\({K_v} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\frac{{10\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{s\left( {s + 3.5} \right)\left( {s + 2.5} \right)}} = \frac{{60}}{{8.75}}\)

\({e_{ss}} = \frac{{15}}{{\frac{{60}}{{8.75}}}} = 2.1875\)

स्थायीकरण समय:

यह स्थिर अवस्था (या) अंतिम मान तक पहुंचने और अंतिम मान के आसपास विशिष्ट सहिष्णुता बैंड के भीतर रहने के लिए प्रतिक्रिया के लिए आवश्यक समय है।

यह निम्नलिखित की मदद से समझाया गया है:

5% सहिष्णुता बैंड के लिए स्थायीकरण समय को निम्न द्वारा दिया गया है:

\({t_s} = \frac{3}{{\zeta {\omega _n}}} = 3T\)

इसी तरह, 2% सहिष्णुता के लिए, स्थायीकरण समय को निम्न द्वारा दिया गया है: है:

\({t_s} = \frac{4}{{\zeta {\omega _n}}} = 4T\)

ζ = अवमंदित अनुपात

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

समय-डोमेन विनिर्देश (या) क्षणिक प्रतिक्रिया पैरामीटर:

उत्थानकाल (t­r): यह प्रतिक्रिया द्वारा 0% से 100% तक पहुंचने में लिया गया समय होता है, सामान्यतौर पर अतिअवमन्दित के लिए 10% से 9% और क्रांतिक रूप से अवमंदित के लिए 5% से 95% तक प्रणाली परिभाषित होती है।

\(c\left( t \right){\left. \right|_{t = {t_r}}} = 1 = 1 - \frac{{{e^{ - \xi {\omega _n}{t_r}}}}}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}\sin \left( {{\omega _n}{t_r} + \varphi } \right)\)

\({t_r} = \frac{{\pi - \varphi }}{{{\omega _d}}}\)

शीर्ष समय​ (tp): यह प्रतिक्रिया द्वारा अधिकतम मान तक पहुंचने में लिया गया समय होता है।

\({\left. {\frac{{dc\left( t \right)}}{{dt}}} \right|_{t = {t_p}}} = 0,{\text{}}{t_p} = \frac{\pi }{{{\omega _d}}}\)

विलंब समय (td): यह प्रतिक्रिया द्वारा अपने अंतिम या स्थिर-अवस्था के मान को 0 से 50% तक परिवर्तित करने के लिए लिया गया समय होता है।

\(c\left( t \right){\left. \right|_{t = {t_d}}} = 0.5\)

\({t_d} \simeq \frac{{1 + 0.7\xi }}{{{\omega _n}}}\)

अधिकतम (या) शीर्ष अतिक्रमण (Mp): यह O/P पर अधिकतम त्रुटि होती है।

\({M_p} = c\left( {{t_p}} \right) - 1,\;{M_p} = e^ \left( {\frac{{-\xi \pi }}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}} \right)\)

\(\% {M_p} = \frac{{c\left( {{t_p}} \right) - c\left( \infty \right)}}{{c\left( \infty \right)}} \times 100\% \)

यदि इनपुट का परिमाण दोगुना हो जाता है, तो स्थिर-अवस्था मान दोगुना हो जाता है, इसलिए Mp दुगना है, लेकिन% Mp, tr, tp स्थिर रहता है।

मानक द्वितीय कोटि वाली प्रणाली को \(\frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\xi {\omega _n}s + \omega _n^2}}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ ξ अवमंदन अनुपात है। 

यदि ξ = 1 है, तो प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमंदित है। 

यदि ξ < 1 है, तो प्रणाली अधःअवमंदित है। 

यदि ξ > 1 है, तो प्रणाली कोटि अवमंदित है। 

\(P:\frac{{15}}{{{s^2} + 5s + 15}}\)

मानक द्वितीय कोटि वाले स्थानांतरण फलन से तुलना करने पर,

ω_n² = 15 ⇒ ω_n = √15

\(2\xi {{\rm{\omega }}_n} = 5 \Rightarrow \xi = \frac{5}{{2\sqrt {15} }} < 1\)

इसलिए, यह अधःअवमंदित प्रणाली है। 

\(Q:\frac{{25}}{{{s^2} + 10s + 25}}\)

ω_n² = 25 ⇒ ω_n = 5

2 ξ ω_n = 10 ⇒ ξ = 1

इसलिए, यह क्रांतिक रूप से अवमंदित प्रणाली है।

 \(R:\frac{{35}}{{{s^2} + 18s + 35}}\)

ω_n² = 35 ⇒ ω_n = √35

\(2\xi {{\rm{\omega }}_n} = 18 \Rightarrow \xi = \frac{9}{{\sqrt {35} }} > 1\)

अवधारणा:

एक द्वितीयक क्रम प्रणाली की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति को निम्न द्वारा दिया जाता है

\({ω _d} = {ω _n}\sqrt {1 - {\xi ^2}} \)

जहाँ,

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ζ = अवमंदन अनुपात

गणना:

दिया हुआ-

ωn = 11 rad/sec

ζ = 0.6

अब, प्राकृतिक अवमंदित आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जा सकती है

\({ω _d} = {11}\sqrt {1 - {(0.6)^2}} \)

ωd = 11 x 0.8

ωd = 8.8 rad/sec 

संकल्पना:

मानक द्वितीय कोटि वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

ζ अवमंदन अनुपात है। 

ωn अन्देंप्त प्राकृतिक आवृत्ति है। 

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं: \(- \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन कारक है। 

• ζ = 0, प्रणाली अन्देंप्त है। 
• ζ = 1, प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमंदित है। 
• ζ < 1, प्रणाली अधःअवमंदित है। 
• ζ > 1, प्रणाली अतिअवमंदित है। 

धारणा:

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली का विशेषता समीकरण इसके द्वारा दिया गया है

s² + 2ξ ω_n s + ω²_n = 0

प्रणाली को निम्न कहा जाता है

• अनवमंदित यदि ξ = 0
• क्रांतिक रुप से अवमन्दित यदि ξ = 1
• अधोअवमंदित यदि ξ < 1
• अतिअवमंदित यदि ξ > 1

गणना:

\(G\left( s \right)=\frac{9}{{{s}^{2}}+6s+9}\)

विशेषता समीकरण: s² + 6s + 9 = 0

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली के साथ तुलना करके,

\(\omega _{n}^{2}=9\Rightarrow {{\omega }_{n}}=3\)

2ζ ω_n = 6 ⇒ 2 × ζ × 3 = 6

⇒ ζ = 1

अवधारणा:

DC लाभ:

DC लाभ स्थिर-अवस्था चरण प्रतिक्रिया के परिमाण से स्टेप इनपुट के परिमाण का अनुपात है।

एक प्रणाली का DC लाभ स्थिर अवस्था में लाभ है जो अनंत के लिए टेंडिंग पर है यानी, शून्य के लिए टेंडिंग है।

DC लाभ गुणांक के अलावा कुछ भी नहीं है।

प्रकार 0 प्रणाली के लिए: \({K_P} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)\)

प्रकार 1 प्रणाली के लिए: \({K_v} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)\)

प्रकार 2 प्रणाली के लिए: \({K_a} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर स्थिति त्रुटि निम्न द्वारा दी जाती है

गणना:

दिया हुआ:

\(G(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}\)

यह एक प्रकार 0 प्रणाली है, इसलिए:

\({K_P} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)\)

Kp = 1 = DC लाभ

इकाई चरण इनपुट के लिए स्थिर-स्थिति त्रुटि इस प्रकार दी गई है:

\(e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}\)

ess = 0.5