\(\rm {{dy}\over {dx}} = {{x+y}\over {x-y}}\) का हल क्या है?

संकल्पना:

यदि एक अवकल समीकरण में रूप f(x,y)dy = g(x,y)dx है, तो इसे समरूप अवकल समीकरण कहा जाता है, यदि f(x,y) और g(x, y) की डिग्री समान है। 

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं,

\(\rm \int {1\over x} dx =ln\ x + C\)

\(\rm \int {1\over 1+x^2} dx =tan^{-1} x + C\)

गणना:

\(\rm {{dy}\over {dx}} = {{x+y}\over {x-y}}\)

y = vx लेने पर जहाँ \(\rm {{dy}\over{dx}} = v+ x{{dv}\over{dx}}\) है, तो हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x+vx}\over {x-vx}}\)

\(\rm v+ x{{dv}\over{dx}} = {{x(1+v)}\over {x(1-v)}}\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v}\over {1-v}} -v\)

\(\rm x{{dv}\over{dx}} = {{1+v-v+v^2}\over {1-v}} \)

\(\rm {{dx}\over{x}} = {{1-v}\over {1+v^2}} dv\)

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm \int{{dx}\over{x}} = \int{{1}\over {1+v^2}}dv- \int{{v}\over {1+v^2}}dv\)

\(\rm \log x = \tan^{-1} v-{1\over 2}log(1+v^2)+c\)

अब अंतिम में समीकरण में (v = y/x)  का मान रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm \log x = tan^{-1} {y\over x}-{1\over 2}log(1+({y\over x})^2)+c\)