Shear Force and Bending Moment MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Shear Force and Bending Moment - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

अपरूपण बल (V) और बंकन आघूर्ण (M) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

\( \frac{dM}{dx} = V \)

दो बिंदुओं \( x_1 \) और \( x_2 \) के बीच दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

\( M_2 - M_1 = \int_{x_1}^{x_2} V \, dx \)

यह समाकल दो बिंदुओं के बीच अपरूपण बल आरेख के अंतर्गत क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है।

परिकलन:

दिया गया है: अपरूपण बल आरेख के अंतर्गत क्षेत्रफल = P

\( \Rightarrow M_2 - M_1 = P \)

इसलिए, उन बिंदुओं पर बंकन आघूर्णों में अंतर है: P

व्याख्या:

माना w भार तीव्रता है, V अपरूपण बल है और M बंकन आघूर्ण है।

w = dv/dx

V = dM/dx

बंकन आघूर्ण का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए:

dM/dx = 0 ⇒ V = 0

बंकन आघूर्ण अधिकतम होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य होता है या अपना चिन्ह बदलता है (धनात्मक से ऋणात्मक या इसके विपरीत)।

व्याख्या:

अपरूपण बल, बंकन आघूर्ण और भारण वक्र के बीच संबंध:

संरचनात्मक यांत्रिकी के संदर्भ में, अपरूपण बल आरेख (SFD), बंकन आघूर्ण आरेख (BMD) और भारण वक्र के बीच का संबंध कलन के मूल सिद्धांतों द्वारा नियंत्रित होता है। ये संबंध इस प्रकार हैं:

• भारण वक्र बीम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों (भारों) के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।
• अपरूपण बल भारण वक्र का समाकल है, जो दर्शाता है कि लागू भार बीम के साथ कैसे वितरित किए जाते हैं।
• बंकन आघूर्ण अपरूपण बल का समाकल है, जो दर्शाता है कि बीम लागू भार के तहत बंकन का विरोध कैसे करता है।

इस प्रकार, प्रत्येक आरेख का प्रतिनिधित्व करने वाले बहुपद की घात एक तार्किक पैटर्न का पालन करती है:

• यदि भारण वक्र की घात x है, तो अपरूपण बल आरेख की घात x + 1 होगी।
• यदि अपरूपण बल आरेख की घात x है, तो बंकन आघूर्ण आरेख की घात x + 1 होगी।

संक्षेप में:

• भारण वक्र: घात = x
• अपरूपण बल आरेख: घात = x + 1
• बंकन आघूर्ण आरेख: घात = x + 2

1. भारण वक्र:

भारण वक्र को घात x के बहुपद फलन के रूप में दर्शाया गया है:
w(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₓx^x

2. अपरूपण बल आरेख:

अपरूपण बल आरेख भारण वक्र का समाकल है:
V(x) = ∫w(x) dx = (a₀x) + (a₁x²/2) + (a₂x³/3) + ... + (aₓx^x+1/(x+1))

V(x) की घात x + 1 है।

3. बंकन आघूर्ण आरेख:

बंकन आघूर्ण आरेख अपरूपण बल आरेख का समाकल है:
M(x) = ∫V(x) dx = (a₀x²/2) + (a₁x³/6) + (a₂x⁴/12) + ... + (aₓx^x+2/((x+1)(x+2)))

M(x) की घात x + 2 है।

अवधारणा:

जब एक कैंटिलीवर के मुक्त सिरे पर एक आघूर्ण लगाया जाता है, तो यह स्थिर परिमाण में स्थिर सिरे तक स्थानांतरित हो जाएगा। इसलिए, किसी भी बिंदु पर बंकन आघूर्ण बाह्य रूप से लागू आघूर्ण के बराबर होगा।

इसलिए, सहारे पर बंकन आघूर्ण (Ms) = M

स्थिर सिरे के बारे में आघूर्ण लें और इसे शून्य के बराबर करें।

चूँकि कोई बल नहीं है, स्थिर सिरे का आघूर्ण = लागू आघूर्ण।

Important Points 

इस मामले में बीम में बंकन आघूर्ण स्थिर है और बीम में अपरूपण बल शून्य है। यह शुद्ध बंकन का एक उदाहरण है।

व्याख्या:

l लंबाई के एक कैंटीलीवर पर विचार करें जिस पर इसके मुक्त सिरे पर एक केंद्रित भार 'w' लगता है:

∵ स्थिर सिरे पर अभिक्रिया बीम पर कुल भार के बराबर होगी, अर्थात् W।

इसलिए, स्थिर सिरे पर अपरूपण बल W (ऊपर की ओर) है और मुक्त सिरे पर, यह W (नीचे की ओर) है।

धारा के बारे में आघूर्ण लेने पर:

M = \(W~\times~x\)

अधिकतम बंकन आघूर्ण स्थिर सिरे पर होता है अर्थात M = \(W~\times~L\)

वर्णन:

अपरूपण बल (V) और भारण दर (w) के बीच संबंध निम्न है:

\(\frac{dV}{dx}=w\)

इसका अर्थ है कि अपरूपण बल आरेख का धनात्मक ढलान ऊपरी भारण को दर्शाता है।

अपरूपण बल (V) और वंकन आघूर्ण (M) के बीच संबंध निम्न है:

\(\frac{dM}{dx}= V\)

इसका अर्थ है कि वंकन आघूर्ण आरेख का ढलान उस अनुभाग पर अपरूपण बल के परिमाण को दर्शायेगा।

भारण दर और अपरूपण बल के बीच संबंध को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\frac{d^2M}{dx^2}= w\)

Additional Information

यदि y विक्षेपण है, तो आघूर्ण M, अपरूपण बल V और भार तीव्रता w के साथ संबंध निम्न है। 

\(EI\frac{d^2y}{dx^2}= M\)

\(EI\frac{d^3y}{dx^3}= V\)

\(EI\frac{d^4y}{dx^4}= w\)

संकल्पना:

अपरुपण-बल आरेख के नीचे का क्षेत्र दो बिंदुओं के बीच बंकन आघूर्ण देता है और भार आरेख के अंतर्गत का क्षेत्र उन दो बिंदुओं के बीच अपरुपण-बल देता है। अर्थात

\({{M}_{B}}-{{M}_{A}}=\mathop{\int }_{A}^{B}{{F}_{x-x}}dx\)

\({{F}_{B}}-{{F}_{A}}=-\mathop{\int }_{A}^{B}{{w}_{x-x}}dx\)

गणना:

दिया हुआ:

\({{M}_{C}}-{{M}_{A}}=\frac{1}{2}\times \left( 14+2 \right)\times 2\)

M_C = 16 kN-m   (M_A = 0)

बीम में नति परिवर्तन बिन्दु एक ऐसा बिंदु है जिस पर बंकन आघूर्ण धनात्मक से ऋणात्मक और इसके विपरीत में अपना चिह्न बदलता है।

पूरी बालिश्त में udl के अधीन एक निश्चित बीम के लिए बंकन आघूर्ण आरेख नीचे दिखाए अनुसार है:

नति परिवर्तन बिन्दु के जोड़ केंद्र से L/(2√3) दूरी पर होते है।

अवधारणा :

A और B पर प्रतिक्रिया बल खोजें और बंकन आघूर्ण का आरेख बनाएं

\({\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_{\rm{x}}} = 0,\;\;{\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_y} = 0,\;\;{\rm{\Sigma M}}_{\left( {{\rm{about\;a\;point}}} \right)} = 0\)

गणना:

दिया हुआ है कि:

\(\sum {F_y} = 0\;\)

RA + RB = 0

\(\sum {M_A} = 0\)

M - RB × L = 0

\({R_B} = \frac{M}{L}\) और \({R_A} = - \frac{M}{L}\)

अपरूपण बल:

\({\left( {S.F} \right)_B} ={\left( {S.F} \right)_A} = - \frac{M}{L} \)

बंकन आघूर्ण:

\({\left( {B.M} \right)_{X - X}} = M - \frac{M}{L}x\) (X बाएं से लिया गया पक्ष)

दक्षिणावर्त बंकन आघूर्ण -ve, वामावर्त बंकन आघूर्ण +ve

(बंकन आघूर्ण रैखिक रूप से भिन्न होता है)

\({\left( {B.M} \right)_A} = M\)

\({\left( {B.M} \right)_B} = M - \frac{M}{L} \times L = 0\;\)

∴ बंकन आघूर्ण आरेख एक छोटा वर्ग होगा।

Important Points

• यदि बीम की पूरी विस्तृति में SFD स्थिर है तो BMD रैखिक होगा।
• यदि किसी समय कोई युग्म अभिनय कर रहा है तो BMD में अचानक उछाल आ जाएगा।

दाएँ भाग के लिए कब्जे के चारों ओर गुरुत्व लेने पर

R_Q  × L/4 = 0

⇒ R_Q  = 0

∴ समर्थन Q पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया 0 है।

संकल्पना:

बीम में अधिकतम बंकन प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है

\({\sigma _b} = \frac{{Mc}}{I}\)

जहाँ

c – चरम अंत (अधिकतम) से उदासीन अक्ष तक की दूरी,

I – समतल के बंकन आघूर्ण M से लम्बवत केन्द्रकीय अक्ष के संबंध में क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण 

∴दिए गए  प्रतिबल(σ_b) के लिए, अधिक क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण (I) के साथ एक बीम को मोड़ने के लिए अधिक आघूर्ण (M) लगता है।

Additional Information

• ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण बीम की मरोड़ का प्रतिरोध करने की क्षमता का मापन है।
• द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण घूर्णन की दिशा में परिवर्तन के लिए किसी वस्तु के प्रतिरोध का मापन होता है।

व्याख्या:

दी गई जानकारी:

मध्य अवधि (या बिंदु C) पर अपरूपण​ बल की गणना:

मध्य-अवधि (या बिंदु C) =\(w\times {({L\over 3})\over 2}\) पर अपरूपण बल

मध्य-अवधि (या बिंदु C पर) =\(w\times {L\over 6}\) = \({wL\over 6}\)पर अपरूपण​ बल

निश्चित सिरे पर (या बिंदु A पर) अपरूपण बल की गणना करना:

निश्चित सिरे पर अपरूपण बल (या बिंदु A पर) =\(w\times ({L\over 3})\)

निश्चित सिरे पर अपरूपण​ बल (या बिंदु A पर) =\({wL\over 3}\)

इसकी मध्य अवधि में अपरूपण बल \({wL\over 6}\)है और निश्चित अंत\({wL\over 3}\) है।

संकल्पना-

अपरुपण बल:

• इसे खंड के दाईं ओर या तो बाईं ओर सभी ऊर्ध्वाधर बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

बंकन आघूर्ण:

• इसे किसी खंड के या तो बाईं ओर या दाईं ओर सभी बलों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणना:

चूंकि बीम पर कोई लंबवत और क्षैतिज भार कार्यरत नहीं है, स्थिर आलम्बन पर लंबवत और क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य होती है।

बीम का FBD चित्र में दिखाया गया है।

V_A = 0 = H_A

बीम का SFD और BMD आरेख में दिखाया गया है

तो केंद्र में बंकन आघूर्ण M kN-m है और केंद्र में अपरूपण बल शून्य है।​

व्याख्या:

एकसमान रूप से वितरित भार वाला कैंटीलीवर बीम:

तो, कैंटिलीवर बीम में निश्चित छोर पर अधिकतम बंकन आघूर्ण होता है और इसे इसप्रकार दिया जाता है, \(M=\frac{wL^2}{2}\)

जहाँ, w = भारण की दर

गणना:

दिया हुआ:

M = 8100 N-m, L = 9 m

\(8100=\frac{w~\times~ 9^2}{2}\)

w = 200 N/m