Complex Stress MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Stress - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

एक वृत्ताकार छड़ पर विचार करें जो इससे कुछ दूरी पर केन्द्रक अक्ष के समानांतर एक खिंचाव के अधीन है,निम्नानुसार है:

औसत प्रतिबल, ${\sigma }_{mean}=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}$

अब, उत्केन्द्री भार के कारण अधिकतम प्रतिबल,

 ${\sigma }_{max}=\frac{P}{A}+\frac{M}{Z}=\frac{P}{A}+\frac{P.e}{Z}$

जहाँ P = भार, A = क्षेत्र, d = वृत्ताकार छड़ का व्यास, e = उत्केन्द्रता,और Z = खण्ड मापांक = $\frac{\pi d^3}{32}$

गणना:

दिया गया डेटा है

d = 20 mm

तो अधिकतम प्रतिबल

${\sigma }_{max}=\frac{4p}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}$

σmax = 1.2 σmean

$\begin{array}{l}\frac{4P}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}=1.2\times \frac{4P}{\pi d^2}\\ 1+\frac{8e}{d}=1.2\Rightarrow \frac{8e}{d}=0.2\\ e=\frac{0.2d}{8}=\frac{0.2\times 20}{8}=0.5mm\end{array}$

कुछ अनुप्रयोगों में शाफ्ट एक साथ बंकन आघूर्ण M और बलाघूर्ण T के अधीन होते हैं।

सरल बंकन सिद्धांत समीकरण के द्वारा:

$\frac{M}{I}=\frac{\sigma }{y}=\frac{E}{R}$

यदि σb शाफ्ट पर बंकन आघूर्ण के कारण अधिकतम बंकन का प्रतिबल है, तो:

${\sigma }_b=\frac{32M}{\pi d^3}$

टोरसन समीकरण:

$\frac{T}{J}=\frac{\tau }{r}=\frac{G\theta }{L}$

ऐंठन आघूर्ण T के कारण शाफ्ट की सतह पर उत्पन्न अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

$\tau =\frac{16T}{\pi d^3}$

समतुल्य बंकन आघूर्ण:

$M_e=\frac{1}{2}\left[M+\sqrt{M^2+T^2}\right]$

समतुल्य आघूर्ण:

$T_e=\sqrt{M^2+T^2}$

एक संयुक्त प्रणाली में,

उच्च तापमान गुणांक वाले घटक संपीड़न प्रतिबल के अधीन होंगे जबकि अन्य कम तापमान गुणांक वाले तन्यता प्रतिबल के अधीन होंगे।

यह ऊपर की आकृति में देखा गया है कि शुरू में दोनों बार समान लंबाई के हैं। लेकिन उच्च तापमान गुणांक के साथ तापमान बार में वृद्धि के साथ अन्य की तुलना में तेज दर से बढ़ जाएगा। चूंकि दोनों बार एक साथ बंधे हुए हैं। कम तापमान गुणांक वाला दूसरा बार उच्च तापमान गुणांक और इसके विपरीत बार पर एक संपीड़ित प्रतिबल लगाएगा।

संकल्पना:

समतुल्य बंकन आघूर्ण:

यह बंकन आघूर्ण है जो अकेले कार्यरत होने पर आघूर्ण और बलआघूर्ण की संयुक्त क्रिया के कारण उत्पन्न अधिकतम प्रमुख प्रतिबल के बराबर अधिकतम बंकन प्रतिबल उत्पन्न करता है। एक शाफ्ट के लिए समतुल्य बंकन आघूर्ण जो संयुक्त ऐंठन आघूर्ण (T) और बंकन आघूर्ण (M) के अधीन होता है, उसका समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:$M_{eq}=\frac{1}{2}\left[M+\sqrt{M^2+T^2}\right]$

गणना:

M_eq = 500 Nm, T = 300 Nm

$500=\frac{1}{2}\left[M+\sqrt{M^2+{300}^2}\right]$⇒  M =455 Nm

महत्वपूर्ण बिंदु:

समतुल्य बलआघूर्ण ​:

यह वह बलआघूर्ण है जो अकेले कार्यरत होने पर आघूर्ण और बलआघूर्ण की संयुक्त क्रिया के कारण अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के बराबर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल उत्पन्न करता है।

परिमाण $T_{eq}=\sqrt{M^2+T^2}$ है।

संयुक्त बंकन आघूर्ण (M) और ऐंठन आघूर्ण (T) के तहत व्यास D के एक शाफ्ट के लिए,

अधिकतम प्रमुख प्रतिबल $=\frac{16}{\pi D^3}\times \left(M+\sqrt{M^2+T^2}\right)$

न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल $=\frac{16}{\pi D^3}\times \left(M-\sqrt{M^2+T^2}\right)$

संकल्पना:

एक वृत्ताकार छड़ पर विचार करें जो इससे कुछ दूरी पर केन्द्रक अक्ष के समानांतर एक खिंचाव के अधीन है,निम्नानुसार है:

औसत प्रतिबल, ${\sigma }_{mean}=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}$

अब, उत्केन्द्री भार के कारण अधिकतम प्रतिबल,

 ${\sigma }_{max}=\frac{P}{A}+\frac{M}{Z}=\frac{P}{A}+\frac{P.e}{Z}$

जहाँ P = भार, A = क्षेत्र, d = वृत्ताकार छड़ का व्यास, e = उत्केन्द्रता,और Z = खण्ड मापांक = $\frac{\pi d^3}{32}$

गणना:

दिया गया डेटा है

d = 20 mm

तो अधिकतम प्रतिबल

${\sigma }_{max}=\frac{4p}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}$

σmax = 1.2 σmean

$\begin{array}{l}\frac{4P}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}=1.2\times \frac{4P}{\pi d^2}\\ 1+\frac{8e}{d}=1.2\Rightarrow \frac{8e}{d}=0.2\\ e=\frac{0.2d}{8}=\frac{0.2\times 20}{8}=0.5mm\end{array}$

कुछ अनुप्रयोगों में शाफ्ट एक साथ बंकन आघूर्ण M और बलाघूर्ण T के अधीन होते हैं।

सरल बंकन सिद्धांत समीकरण के द्वारा:

$\frac{M}{I}=\frac{\sigma }{y}=\frac{E}{R}$

यदि σb शाफ्ट पर बंकन आघूर्ण के कारण अधिकतम बंकन का प्रतिबल है, तो:

${\sigma }_b=\frac{32M}{\pi d^3}$

टोरसन समीकरण:

$\frac{T}{J}=\frac{\tau }{r}=\frac{G\theta }{L}$

ऐंठन आघूर्ण T के कारण शाफ्ट की सतह पर उत्पन्न अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

$\tau =\frac{16T}{\pi d^3}$

समतुल्य बंकन आघूर्ण:

$M_e=\frac{1}{2}\left[M+\sqrt{M^2+T^2}\right]$

समतुल्य आघूर्ण:

$T_e=\sqrt{M^2+T^2}$

संकल्पना:

एक वृत्ताकार छड़ पर विचार करें जो इससे कुछ दूरी पर केन्द्रक अक्ष के समानांतर एक खिंचाव के अधीन है,निम्नानुसार है:

औसत प्रतिबल, ${\sigma }_{mean}=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}$

अब, उत्केन्द्री भार के कारण अधिकतम प्रतिबल,

 ${\sigma }_{max}=\frac{P}{A}+\frac{M}{Z}=\frac{P}{A}+\frac{P.e}{Z}$

जहाँ P = भार, A = क्षेत्र, d = वृत्ताकार छड़ का व्यास, e = उत्केन्द्रता,और Z = खण्ड मापांक = $\frac{\pi d^3}{32}$

गणना:

दिया गया डेटा है

d = 20 mm

तो अधिकतम प्रतिबल

${\sigma }_{max}=\frac{4p}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}$

σmax = 1.2 σmean

$\begin{array}{l}\frac{4P}{\pi d^2}+\frac{32P.e}{\pi d^3}=1.2\times \frac{4P}{\pi d^2}\\ 1+\frac{8e}{d}=1.2\Rightarrow \frac{8e}{d}=0.2\\ e=\frac{0.2d}{8}=\frac{0.2\times 20}{8}=0.5mm\end{array}$

कुछ अनुप्रयोगों में शाफ्ट एक साथ बंकन आघूर्ण M और बलाघूर्ण T के अधीन होते हैं।

सरल बंकन सिद्धांत समीकरण के द्वारा:

$\frac{M}{I}=\frac{\sigma }{y}=\frac{E}{R}$

यदि σb शाफ्ट पर बंकन आघूर्ण के कारण अधिकतम बंकन का प्रतिबल है, तो:

${\sigma }_b=\frac{32M}{\pi d^3}$

टोरसन समीकरण:

$\frac{T}{J}=\frac{\tau }{r}=\frac{G\theta }{L}$

ऐंठन आघूर्ण T के कारण शाफ्ट की सतह पर उत्पन्न अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

$\tau =\frac{16T}{\pi d^3}$

समतुल्य बंकन आघूर्ण:

$M_e=\frac{1}{2}\left[M+\sqrt{M^2+T^2}\right]$

समतुल्य आघूर्ण:

$T_e=\sqrt{M^2+T^2}$

जैसे की हमें ज्ञात है,

M ∝ Z

$\begin{array}{l}\frac{M_{solid}}{M_{hollow}}=\frac{Z_{solid}}{Z_{hollow}}=\frac{\frac{\pi }{32}{D}^3}{\frac{\pi }{32}\left(\frac{D^4-d^4}{D}\right)}\\ \frac{M_s}{M_h}=\frac{D^4}{D^4-d^4}\end{array}$

संयुक्त बंकन आघूर्ण (M) और ऐंठन आघूर्ण (T) के तहत व्यास D के एक शाफ्ट के लिए,

अधिकतम प्रमुख प्रतिबल $=\frac{16}{\pi D^3}\times \left(M+\sqrt{M^2+T^2}\right)$

न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल $=\frac{16}{\pi D^3}\times \left(M-\sqrt{M^2+T^2}\right)$

घन का विक्षेपण सभी दिशाओं में प्रतिबंधित है,

इसलिए, Δx = 0

किसी भी दिशा में मुक्त प्रसार = L α Δt

लेकिन यह निरोधित है,

$\begin{array}{l}L\alpha \mathrm{\Delta }t-\frac{\sigma }{E}L+\mu \frac{\sigma }{E}L+\mu \frac{\sigma }{E}L=0\\ \frac{\sigma }{E}\left(-1+2\mu \right)=-\alpha \mathrm{\Delta }t\\ \sigma =\left(\frac{E\alpha \mathrm{\Delta }t}{1-2\mu }\right)\end{array}$

अवधारणा:

तटस्थ अक्ष:

• यह धरन के अनुप्रस्थ काट में धुरी है जो शून्य प्रतिबल के अधीन है।

गणना:

दिया गया है कि,

σ_{शीर्ष} = 200 MPa

σ_नीचे = 50 MPa

मान लीजिए x नीचे के रेशे से उदासीन अक्ष की दूरी है।

समरूप त्रिभुज से,

​$\frac{50}{x}=\frac{200}{300-x}$

$\frac{50}{200}=\frac{x}{300-x}$​​

$\frac{1}{4}=\frac{x}{300-x}$

5x = 300

⇒ x = 60 mm

कॉन्सेप्ट:

$\tau =\frac{F.A\overline{y}}{b\times I}=\frac{F}{2I}\left(\frac{d^2}{4}-y^2\right)$

शीर्ष और तल फाइबर पर अपरूपण प्रतिबल शून्य है (y = d/2)

उदासीन अक्ष पर अपरूपण प्रतिबल अधिकतम है (y = 0)

गणना:

${\tau }_{max}=\frac{F}{2I}\left(\frac{d^2}{4}-0\right)$

$I=\frac{b{d}^3}{12}$

${\tau }_{max}=\left(1.5\right)\frac{F}{bd}$

${\tau }_{avg}=\frac{F}{A}=\frac{F}{bd}=\frac{{\tau }_{max}}{1.5}$

$\frac{{\tau }_{avg}}{{\tau }_{max}}=\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$

स्पष्टीकरण:

• इस्पात का तापीय विस्तार (αs) is 12 × 10-6 और तांबे का तापीय विस्तार (αc) 17 ×10-6 होता है इसलिए जब इस्पात और तांबे के संयुक्त बार को गर्म किया जाता है, तो तांबा सदस्य इस्पात सदस्य से ज्यादा विस्तृत होने की कोशिश करता है जिसका इस्पात प्रतिरोध करता है।
• ∴ तांबा संपीडन में होगा जबकि इस्पात तनाव में होगा।

∴ यदि इस्पात और तांबे के संयुक्त बार को गर्म किया जाता है, तो तांबे का बार संपीडन में होगा।