Mean and Variance of Random variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean and Variance of Random variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

प्रायिकता बंटन:

• एक प्रायिकता बंटन यह वर्णन करता है कि प्रायिकताएँ यादृच्छिक चर के मानों पर कैसे वितरित होती हैं।
• एक असतत यादृच्छिक चर X के लिए, सभी प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए।
• अर्थात, अपेक्षित मान या E(X) सभी संभावित मानों का भारित औसत है।
• सूत्र:
• P(X < 2) या P(1 < X < 2) जैसी प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, X के मानों को संतुष्ट करने के लिए व्यक्तिगत प्रायिकताओं को जोड़ें।

गणना:

दिया गया है,

P(X=0) = k, P(X=1) = 2k, P(X=2) = 3k

⇒ कुल प्रायिकता = k + 2k + 3k = 6k

⇒ 6k = 1

⇒ k = 1 / 6

⇒ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)

⇒ P(X < 2) = k + 2k = 3k = 3 × (1/6) = 1/2

⇒ E(X) = 0 × k + 1 × 2k + 2 × 3k

⇒ E(X) = 0 + 2k + 6k = 8k = 8 × (1/6) = 4/3

⇒ P(1 < X < 2) = P(X = 2) = 3k = 3 × (1/6) = 1/2

∴ सही कथन केवल (A) और (B) हैं।

गणना

प्रायिकता वितरण

$\begin{array}{cc}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}& {\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}\\ \mathrm{x}=0& \frac{7{\mathrm{C}}_2}{10{\mathrm{C}}_2}=\frac{42}{90}\\ \mathrm{x}=1& \frac{7{\mathrm{C}}_1\times 3{\mathrm{C}}_1}{10{\mathrm{C}}_2}=\frac{42}{90}\\ \mathrm{x}=2& \frac{3{\mathrm{C}}_2}{10{\mathrm{C}}_2}=\frac{6}{90}\end{array}$

अब,

$\mu =\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=\frac{42}{90}+\frac{12}{90}=\frac{54}{90}$

${\sigma }^2=\sum {\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{x}}_1^2-{\mu }^2=\frac{42}{90}+\frac{24}{90}-{\left(\frac{54}{90}\right)}^2$

⇒ $\frac{66}{90}-{\left(\frac{54}{90}\right)}^2$

⇒ ${\sigma }^2\Rightarrow \frac{28}{75}$

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना:

HHH → 0

HHT → 0

HTH → 1

HTT → 0

THH → 1

THT → 1

TTH → 1

TTT → 0

प्रायिकता बंटन

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}& 0& 1\\ \mathrm{P}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\right)& 1/2& 1/2\end{array}$

$\mu =\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=\frac{1}{2}$

${\sigma }^2=\sum x_i^2{p}_i-{\mu }^2$

= $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

$64(\mu +{\sigma }^2)=64(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=48$

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर इस प्रकार है कि, X = 1, 2, 3, .... n

$\mathrm{P}(\mathrm{X})=\frac{1}{\mathrm{n}}$

∴ $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{x}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$

⇒ $\frac{(1+2+3+\dots +n)}{n}$

⇒ $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2\mathrm{n}}$

⇒ $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{\mathrm{n}+1}{2}$

साथ ही, $\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-[E(X){]}^2$

⇒ $\frac{1^2+2^2+3^2+\dots +n^2}{n}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2$

⇒ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2$

⇒ $\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2$

प्रश्नानुसार, Var(X) = E(X)

⇒ $\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2=\frac{n+1}{2}$

⇒   $\frac{2n^2+n+2n+1}{6}-\left(\frac{n^2+2n+1}{4}\right)=\frac{n+1}{2}$

⇒   $\frac{4n^2+6n+2-3n^2-6n-3}{12}=\frac{n+1}{2}$

⇒ n2 - 1 = 6(n + 1)

⇒ n2 - 16n + 6

⇒ n2 - 6n - 7 = 0

⇒ n = - 1 या n = 7

लेकिन n ≠ -1

∴ n = 7

∴ n का मान 7 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

एक प्रायिकता बंटन में प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होता है।

गणना:

दिया गया है:

उपरोक्त अवधारणा से,

P(3) + P(2) + P(1) + P(0) = 1

⇒ 0.465 + 0.125 + 0.205 + k = 1

⇒ 0.795 + k = 1

⇒ k = 1 - 0.795 = 0.205

∴ विकल्प 1 सही है। 

गणना:

Z का प्रायिकता बंटन है

0.4 + k + 2k = 1

3k = 1 - 0.4

k = 0.2

P(आप कम से कम दो घंटे पढ़ाई करते है) 

P(Z ≥ 2) = P(2) + P(3) + P(4) + .....

              = 2k

              = 2 × 0.2

P(Z ≥ 2) = 0.4

संकल्पना:

प्रायिकता P(X = xi) = pi वाले एक यादृच्छिक चर X = xi के लिए:

• माध्य/अपेक्षित मान:​ μ = ∑pixi.
• विचरण: Var(X) = σ2 = ∑pi(xi)2 - (∑pixi)2 = ∑pi(xi)2 - μ2.
• मानक विचलन: σ = $\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\mathrm{X})}$.

गणना:

हमारे पास x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 और p1 = 0.3, p2 = 0.4, p3 = 0.3 है।

अब, ∑pixi = (0.3 × 1) + (0.4 × 2) +(0.3 × 3)

= 0.3 + 0.8 + 0.9

= 2

और, ∑pi(xi)2 = (0.3 × 12) + (0.4 × 22) +(0.3 × 32)

= 0.3 + 1.6 + 2.7

= 4.6

∴ Var(X) = σ2 = ∑pi(xi)2 - (∑pixi)2 = 4.6 - 22 = 4.6 - 4 = 0.6.

दिए गए वितरण का विचरण है: Var(X) = 0.6.

उपयोग किया गया सूत्र है:

प्रसरण = npq

जहाँ,

p = सफलता की प्रायिकता,

q = विफलता की प्रायिकता,

n = प्रयासों की कुल संख्या 

गणना:

p (नीले गुब्बारे निकालने की प्रायिकता) = $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

यहाँ, n = 5, p = $\frac{2}{3}$ ,q = $\frac{1}{3}$

तो, प्रसरण= $5\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}$ = $\frac{10}{9}$

निकाले गए नीले गुब्बारों की संख्या का प्रसरण $\frac{10}{9}$ है

संकल्पना:

असतत यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान (या माध्य):
असतत यादृच्छिक चर के लिए, अपेक्षित मान को आमतौर पर μ या E(X) के रूप में दर्शाया जाता है, निम्न का उपयोग करके गणना की जाती है

μ = E(X) = ∑ xiP(xi)

1. सूत्र का अर्थ है कि हम समर्थन में प्रत्येक मान x को उसकी संबंधित प्रायिकता P(x) से गुणा करते हैं और फिर उन सभी को एक साथ जोड़ते हैं।

2. इसे औसत मूल्य के रूप में देखा जा सकता है लेकिन मूल्य की संभावना से भारित किया जा सकता है।

गणना:

हम जानते हैं कि, माध्य

μ = E(X) = ∑ xiP(xi)

⇒ E(X) = 1 × 0.2 + 2 × 0.35 + 3 × 0.25 + 4 × 0.15 + 5 × 0.05

⇒ E(X) = 0.2 + 0.7 + 0.75 + 0.6 + 0.25

⇒ E(X) = 2.5

अतिरिक्त जानकारी
एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

Var(X) = σ2(X) = E(X2) - [E(X)]2

सूत्र का अर्थ है कि पहले, हम प्रत्येक मान के वर्ग को उसकी प्रायिकता से गुणा करते हैं और फिर माध्य के वर्ग को घटाते हैं।

संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर E(X²) प्रत्याशा  द्वारा दी गई है।

गणना:

दिया गया है

प्रत्याशा E(X²) को  द्वारा परिकलित किया जाता है।

⇒ E(X2) = $(1^2\times \frac{1}{10})+(2^2\times \frac{1}{5})+(3^2\times \frac{3}{10})+(4^2\times \frac{2}{5})$

⇒ E(X2) = $\frac{1}{10}+\frac{4}{5}+\frac{27}{10}+\frac{32}{5}$

⇒ E(X2) = $\frac{100}{10}$ = 10 

E(X²) का मान 10 के बराबर है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

मान लीजिए कि पासे पर एक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला X यादृच्छिक चर है।

अवलोकन की कुल संख्या दस है।

P(X = 5) = $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ 

P(X = 4) = $\frac{3}{10}$

P(X = 3) = $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

P(X = 2) = $\frac{1}{10}$

माध्य(X) = $\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$

माध्य (X) = $5\times \frac{2}{5}+4\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{5}+2\times \frac{1}{10}$

माध्य(X) = $2+\frac{20}{10}=4$

धारणा

जब एक निष्पक्ष पासा रोल होता है तो कोई भी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ होती है।

मान लीजिए कि एक प्रयोग n बार दोहराया जाता है। सफलता की प्रायिकता p हो।

यदि X सफलता की संख्या को दर्शाता है, तो

P(X = k) = C(n, k) × p^k (1 – p)^{n - k} , 0 ≤ k ≤ n

जहाँ

$\mathbf{C}\left(\mathbf{n},\mathbf{k}\right)=\frac{\mathbf{n}!}{\mathbf{k}!\left(\mathbf{n}-\mathbf{k}\right)!}$

X का माध्य = np

X का मानक विचलन $=\sqrt{\mathbf{n}\mathbf{p}\left(1-\mathbf{p}\right)}$

गणना

एक पासा 8 बार रोल किया जाता है, n = 8।

पासे के एकल रोल में 5 या 6 होने की प्रायिकता है

= 5 प्राप्त करने की प्रायिकता + 6 मिलने की प्रायिकता

$=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

$=\frac{1}{3}$

इसलिए सफलता की प्रायिकता $\mathbf{p}=\frac{1}{3}$

$\mathbf{M}\mathbf{e}\mathbf{a}\mathbf{n}=\mathbf{n}\times \mathbf{p}=\frac{8}{3}$

$\mathbf{S}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{d}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{d}\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}\mathbf{i}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}=\sqrt{\mathbf{n}\mathbf{p}\left(1-\mathbf{p}\right)}=\frac{4}{3}$

सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

माध्य = E[X]

$E\left[X\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x.f_x\left(x\right)dx$

$E\left[X^2\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{f}_x\left(x\right)dx$

जहाँ fx(x) प्रायिकता घनत्व फलन है।

विश्लेषण:

$Var\left(X\right)=E\left[{\left(X-{\mu }_x\right)}^2\right]$

$=E\left[X^2-2{\mu }_{x}X+{\mu }_x^2\right]$

$=E\left[X^2\right]-2E\left[{\mu }_{x}X\right]+E\left[{\mu }_x^2\right]$

$=E\left[X^2\right]-2{\mu }_{x}E\left[X\right]+{\mu }_x^2$

$=E\left[X^2\right]-2{\mu }_x^2+{\mu }_x^2$

$=E\left[X^2\right]-{\mu }_x^2$

चूंकि, $E[X]={\mu }_x$

$Var\left[X\right]=E\left[X^2\right]-E^2\left[X\right]$

संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर E(X) की प्रत्याशा $\mathrm{\Sigma }xP(x)$ द्वारा दी जाती है,

गणना:

दिया गया है,

प्रत्याशा E(X) की गणना $\mathrm{\Sigma }xP(x)$ के द्वारा की जाती है,

⇒ E(X) = (- 4) × 0.1 + (- 3) × 0.2 + (- 2) × 0.3 + (- 1) × 0.2 + 0

⇒ E(X) = - 0.4 - 0.6 - 0.6 - 0.2

⇒ E(X) = - 1.8

E(X) का मान -1.8 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

In B (n, p). n अवलोकनों की संख्या है। 

माध्य = np

भिन्नता = npq 

गणना:

दिया गया है, a r.v.X ∼ B (n, p). n अवलोकनों की संख्या है। 

यदि X के माध्य और भिन्नता का मान क्रमशः 18 और 12 हैं। 

माध्य = np = 18 ....(1)

भिन्नता = npq = 12

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{q}}{\mathrm{n}\mathrm{p}}}={\displaystyle \frac{12}{18}}$

⇒ q = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 

हम जानते हैं कि p = 1 - q

⇒ p = 1 - ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

⇒ p = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

समीकरण (1), हमारे पास निम्न हैं 

⇒n$\times {\displaystyle \frac{1}{3}}$ = 18

⇒n = 54

⇒n = 0, 1, 2, ....54

अतः अवलोकनों की संख्या = 55