Multiplication Theorem of Events MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiplication Theorem of Events - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है

n = 6

⇒ p = P (बीमारी से पीड़ित) = 20/100 = 1/5

⇒ q = P (बीमारी से पीड़ित नहीं) = 1 - 1/5 = 4/5

⇒ p(x ≥ 4) = p(x = 4) + p(x = 5) + p(x = 6)

⇒ \(^6C_4(\frac{1}{5})^4 (\frac{4}{5})^2 +^6C_5 (\frac{1}{5})^5(\frac{4}{5})^1+^6C_6(\frac{1}{5})^6\)

= \(\frac{6!}{4!2!}\times\frac{16}{5^6}+ \frac{6!}{5!}\times\frac{4}{5^6}+ \frac{1}{5^6}\)

= \(\frac{265}{15625} = \frac{53}{3125}\)

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

काले = 2, पीले = 4 और सफेद = 6

⇒ कुल गेंदें = 2 + 4 + 6 = 12

P (तीनों एक ही रंग के हैं).

= \(\frac{2^3}{12^3}+ \frac{4^3}{12^3} +\frac{6^3}{12^3} = \frac{1}{6}\)

∴ विकल्प (a) सही है

गणना

मान लीजिए, व्यक्ति A, B, C, D हैं

\(P(A)=\dfrac{1}{2}, P(\bar{A})=1- \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(P(B)=\dfrac{1}{3}, P(\bar{B})=1- \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

\(P(C)=\dfrac{1}{4}, P(\bar{C})=1- \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

\(P(D)=\dfrac{1}{8}, P(\bar{D})=1- \dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\)

\(P(\text{Hit})=1-P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{D})\)

\(\Rightarrow1-P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{D})\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{7}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{25}{32}\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

गणना:

दिया गया है, P(A) = \(\frac{1}{2}\)

∴ P(A') = 1 - \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

साथ ही, P(B) = \(\frac{1}{3}\)

∴ P(B') = 1 - \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

P(C) = \(\frac{1}{4}\)

∴ P(C') = 1 - \(\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

P (समस्या हल नहीं हुई) = P (A' ∩ B' ∩ C')

⇒ P (A') . P(B') . P(C') ... [∵ A', B', C' स्वतंत्र हैं]

⇒ \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\)

⇒ \(\frac{1}{4}\)

P (समस्या हल हो गई) = 1 - P (समस्या हल नहीं हुई)

⇒ 1 - \(\frac{1}{4}\)

⇒ \(\frac{3}{4}\)

∴ समस्या के हल होने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

P(A और B) = P(A) P(B)

गणना:

मान लीजिए, A = घटना कि A सत्य बोलता है

B = घटना कि B सत्य बोलता है

\(\begin{array}{l} P\left( A \right) = \frac{{70}}{{100}} = \frac{7}{10}\\ P\left( B \right) = \frac{{84}}{{100}} = \frac{21}{25} \end{array}\)

P(A̅) = 3/10, P(B̅) = 4/25

P(A और B एक-दूसरे का विरोध करते हैं) =

P[(A सत्य बोलता है और B असत्य बोलता है) या (A असत्य बोलता है और B सत्य बोलता है)]

⇒ P(A और B̅) + P(A̅ और B)

⇒ P(A) P(B̅) + P(A̅) P(B)

⇒ \(\frac{7}{10} \times \frac{4}{25} + \frac{3}{10} \times \frac{21}{25} = \frac{28}{250} + \frac{63}{250} = \frac{91}{250} = 0.364\)

सही उत्तर: विकल्प 4) 0.364 है। 

संकल्पना:

• दो घटनाओं, A और B, के लिए: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) है।
• यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:

उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करना क्योंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम लिख सकते हैं:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)

⇒ 0.7 = 0.4 + P - 0.4 × P

⇒ 0.6P =0.3

⇒ P = 0.5

अवधारणा:

• यदि P(A) = x तो P(A̅) = 1 - x 
• यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:

दिया गया है कि: A और B दो पदों के लिए साक्षात्कार के लिए आते हैं जैसे कि A के चयन की प्रायिकता \(\frac 13\) है और B के चयन की \(\frac 25\) है।

माना E = घटना जिसमें A चुना गया है

माना F = घटना जिसमें B चुना गया है

⇒ P(E) = \(\frac 13\) और P(F) = \(\frac 25\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि P(A) = x तो P(A̅) = 1 - x 

⇒ P(E̅) = 1 - (\(\frac 13\)) = \(\frac 23\) और P(F̅) = 1 - (\(\frac 25\)) = \(\frac 35\)

∴ P (घटना है जिसमें से एक को चुना गया है) = P(E ∩ F̅) + P(E̅ ∩ F)

पहले आइए P(E ∩ F̅)और P(E̅ ∩ F) को जानें

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

⇒ P(E ∩ F̅) = P(E) × P(F̅) = (\(\frac 13\)) × (\(\frac 35\)) = \(\frac 15\)

⇒ P(E̅ ∩ F) = P(E̅) × P(F) = (\(\frac 23\)) × (\(\frac 25\)) = \(\frac {4}{15}\)

⇒ P (उनमें से एक का चयन किया जाता है) = (\(\frac 15\)) + (\(\frac {4}{15}\)) = \(\frac {7}{15}\)

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

यदि P(A) और P(B) स्वतंत्र रूप से किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है, तो P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B)

गणना:

A द्वारा हल की जा रही समस्या की प्रायिकता P(A) = \(1\over 3\)

B द्वारा हल की जा रही समस्या की प्रायिकता P(B) = \(2\over 5\)

P(AB) = \({1\over 3}\times {2\over 5}\) = \(2\over15\)

तब समस्या के हल होने की प्रायिकता है

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

= \(1\over 3\) + \(2\over 5\) - \(2\over15\)

= \(11\over15\) - \(2\over15\)

= \(9\over15\)

= \(3\over 5\)

अवधारणा:

किसी भी घटना A और B के लिए 

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• घटनाएँ स्वतंत्र हैं यदि P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• यदि P(A ∩ B) = 0 है, तो घटनाएं परस्पर अनन्य हैं
• P(\(\rm\bar A\)) = 1 - P(A)

गणना:

दिया गया है कि \(\rm P(A\cup B)=\dfrac{5}{6}, P(A∩ B)=\dfrac{1}{3}\:and\:P(\bar A)=\dfrac{1}{2}\)

P(A) = 1 - \(1\over2\) = \(1\over2\)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

\(\rm{5\over6} = {1\over2}+P(B)-{1\over3}\)

P(B) = \(2\over3\)

दिया गया है कि P(A ∩ B) ≠ 0

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = \({1\over2}\times{2\over3} = {1\over3}\)

∴ A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं और परस्पर अनन्य घटनाएँ नहीं हैं।

केवल कथन 1 सही है।

संकल्पना:

• P(A नहीं) = 1 - P(A)

• एक यौगिक घटना [(A और B) या (B और C)] की प्रायिकता की गणना निम्नप्रकार की जाती है:

  P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]

  ('और' का अर्थ '×' है और 'या' का अर्थ '+' है)

गणना:

सच बोलने की अटल की प्रायिकता 70% = 0.7 है।

अटल के सच न बोलने की प्रायिकता 1 - 0.7 = 0.3 है।

जॉर्ज के सच बोलने की प्रायिकता 60% = 0.6 है।

जॉर्ज सच न बोलने की प्रायिकता 1 - 0.6 = 0.4 है।

वे दोनों निम्नलिखित मामले में एक दूसरे का विरोध करेंगे:

(अटल सच बोलते हैं और जॉर्ज सच नहीं बोलते हैं) या (अटल सच नहीं बोलते हैं और जॉर्ज सच बोलते हैं)।

∴ आवश्यक प्रायिकता है:

[P(अटल सच बोलते हुए) × P(जॉर्ज सच नहीं बोलते हुए) + P(अटल सच नहीं बोलते हुए) × P(जॉर्ज सच बोलते हुए)]

= (0.7 × 0.4) + (0.3 × 0.6)

= 0.28 + 0.18

= 0.46।

∴ वे दोनों 46% मामलों में एक दूसरे का विरोध करते हैं।

संकल्पना:

• P(नहीं E) = 1 - P(E)
• एक संयुक्त घटना [(A और B) या (B और C)] के प्रायिकता की गणना निम्न रूप में की जाती है: P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]    ('और' का अर्थ '×' तथा 'या' का अर्थ '+' है)

गणना:

धोनी द्वारा शतक बनाने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac {4}{5}\).

धोनी द्वारा शतक नहीं बनाने की प्रायिकता = \(\rm 1-\dfrac {4}{5}=\dfrac {1}{5}\).

तीन मैचों में धोनी द्वारा शतक नहीं बनाने की प्रायिकता:

P(शतक नहीं) और P(शतक नहीं) और P(शतक नहीं)

P(शतक नहीं) × P(शतक नहीं) × P(शतक नहीं)

= \(\rm \dfrac {1}{5}\times \dfrac {1}{5}\times \dfrac {1}{5}= \dfrac {1}{125}\).

वर्णन:

पारस्परिक रूप से अपवर्जित घटना:

दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से अपवर्जित घटना तब कहा जाता है यदि वे समान समय पर घटित नहीं हो सकते हैं। 

अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि पारस्परिक रूप से अपवर्जित घटना असंयुक्‍त होती है। यदि दो घटनाएं असंयुक्‍त हैं, तो उन दोनों के समान समय पर घटित होने की प्रायिकता 0 है। 

यदि A और B पारस्परिक रूप से अपवर्जित घटनाएं हैं, तो 

P(A ∩ B) = 0 और P (A ∪ B) = P (A) + P (B) है। 

संकल्पना:

एक घटना के होने की प्रायिकता = (उन तरीकों की संख्या जिसमें यह घटित हो सकता है)/(परिणामों की कुल संख्या)

गणना:

एक बैग में 5 काले और 3 सफ़ेद गेंद हैं,

यहाँ \(\frac{3}{8}\) विकल्प है जिसमें सफ़ेद संगमरमर का चयन किया जायेगा। संगमरमर का चयन किया जाता है और प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है। अब बैग में 7 संगमरमर में से 2 सफ़ेद संगमरमर हैं, इसलिए अब \( \frac{2}{7}\)विकल्प है जिसमें एक सफ़ेद संगमरमर का चयन किया जायेगा। 

अब, P(दोनों गेंद सफ़ेद हैं) = \(\frac{3}{8}\times \frac{2}{7}=\frac{3}{28}\)

 अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

• P(नहीं E) = 1 - P(E)
• एक संयुक्त घटना [(A और B) या (B और C)] के प्रायिकता की गणना निम्न रूप में की जाती है:
• P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]    ('और' का अर्थ '×' तथा 'या' का अर्थ '+' है)

गणना:

यह दिया गया है कि P( पक्षी वापस आता है) = \(\rm \dfrac {2}{5}\) और P(पक्षी रहता है) = \(\rm \dfrac {1}{3}\).

वापस आने के बाद पक्षी के नहीं रहने (उड़ जाने) की प्रायिकता = \(\rm 1-\dfrac {1}{3}=\dfrac 2 3\).

प्रश्न में घटना की प्रायिकता निम्न है:

P( पक्षी वापस आता है) और P(पक्षी नहीं रहता है)

= P( पक्षी वापस आता है) × P(पक्षी नहीं रहता है)

= \(\rm \dfrac 2 5 \times \dfrac {2}{3}=\dfrac {4}{15}\).

संकल्पना:

माना कि A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो 

P(A \(\rm\cap\) B)= P(A). P(B) है। 

गणना:

दिया गया है, टिकटों की कुल संख्या = 10

निकाले गए टिकटों की संख्या = 2

1 से 10 के बीच अभाज्य संख्या = {2, 3, 5, 7} = 4

A : पहले निष्कासन में एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना

B : दूसरे निष्कासन में एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना

घटना A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं

P(A) = पहले निष्कासन में एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{4}{10} = \dfrac {2}{5}\)

गद्दी में शेष कार्डो की संख्या = 9

P(B) = दूसरे निष्कासन में एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{3}{9} = \dfrac {1}{3}\)

निकाले गए दोनों टिकटों में अभाज्य संख्याएँ होने की प्रायिकता P(A \(\rm\cap\) B)= P(A). P(B) हैं। 

= \(\rm \dfrac{2}{5} \times \dfrac {1}{3}\)

= \(\rm\dfrac {2}{15}\)

अतः 1 से 10 तक संख्यांकित 10 टिकटों वाली एक लाटरी में से दो टिकटों को एकसाथ निकला गया है। तो निकाले गए दोनों टिकटों में अभाज्य संख्याएँ होने की प्रायिकता \(\rm\dfrac {2}{15}\) है।