Probability of Random Experiments MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability of Random Experiments - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

संभावित परिणाम x < y < z

= (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 5, 6), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)

इस प्रकार, कुल संभावित परिणाम = 20

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

⇒n(S) = 6 x 5 x 4

⇒ n(E) = n (दिखाए गए फलकों में से एक इक्का है।)

= 3(1 x 5 x 4) = 3 x 5 x 4

⇒ $P(E)=\frac{3\times 5\times 4}{6\times 5\times 4}=\frac{1}{2}$

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

⇒n(S) = 6 x 6 = 36

⇒योग 9 = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)

⇒ योग 10 = (4, 6), (5, 5), (6, 4)

⇒P (योग 9 या 10) = 7/36

तब, P (योग न तो 9 और न ही 10) = $1-\frac{7}{36}=\frac{29}{36}$

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

कलश A में 2 सफेद और 2 काली गेंदें हैं जबकि कलश B में 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं।

⇒ E1 = A से B में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है; तब कलश A में सफेद = 1 और काली = 2 और कलश B में सफेद = 4 और काली = 2

⇒ E2 = A से B में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है। तब कलश A में सफेद = 2 और काली = 1 और कलश B में सफेद = 3 और काली = 3

⇒ F = कलश B से एक सफेद गेंद निकाली जाती है

⇒ $P(F)=P(E_1).P(\frac{F}{E_1})+P(E_2).P(\frac{F}{E_2})$

= $\frac{2}{4}\times \frac{4}{6}+\frac{2}{4}\times \frac{3}{6}=\frac{7}{12}$

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

एक निष्पक्ष सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक कि लगातार दो चित्त नहीं आ जाते।

तब,

P (आवश्यक उछालों की संख्या 6 से कम है) = P(HH) + P(THH) + P(TTHH) + P(TTTHH)

= $(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^3+(\frac{1}{2}{)}^4+(\frac{1}{2}{)}^5$

= $\frac{(\frac{1}{2}{)}^2[1-(\frac{1}{2}{)}^4}{1-\frac{1}{2}}$

= $\frac{\frac{1}{4}[1-\frac{1}{16}]}{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{4}\times \frac{15}{16}\times \frac{2}{1}=\frac{15}{32}$

∴ विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

• n = p + q + r + …वस्तुओं के एक संग्रह से प्रकार 'p के k वस्तुओं' को निकालने की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\mathrm{P}(\mathrm{k})={\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}}$

• एक संयुक्त घटना [(A और B) या (B और C)] की प्रायिकता की गणना निम्न रूप में की गयी है:

  P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]

  ('और' का अर्थ '×' तथा 'या' का अर्थ '+' है।)

गणना:

कुल 7 लाल + 4 नीली = 11 गेंदे हैं।

1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{{}^7{\mathrm{C}}_1}{{}^{11}{\mathrm{C}}_1}}={\displaystyle \frac{7}{11}}$.

1 नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{{}^4{\mathrm{C}}_1}{{}^{11}{\mathrm{C}}_1}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$.

(1 लाल) और (1 नीला) गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{7}{11}}\times {\displaystyle \frac{4}{11}}={\displaystyle \frac{28}{121}}$.

उसी प्रकार, (1 नीला) और (1 लाल ) गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{4}{11}}\times {\displaystyle \frac{7}{11}}={\displaystyle \frac{28}{121}}$

अलग-अलग रंगों वाली गेंदों को निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{28}{121}}$ + ${\displaystyle \frac{28}{121}}$ = ${\displaystyle \frac{56}{121}}$ 

संकल्पना:

स्वतंत्र घटनाएँ:

दो घटनाएं स्वतंत्र तब होती हैं यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। 

यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B) है। 

गणना:

दिया गया है: P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.6 

P(A ∪ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A) × P(B) = 0.6               (∵ A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं।)

⇒ P(B) + P(A) [1 - P(B)] = 0.6

⇒ 0.4 + P(A) [1 - 0.4] = 0.6

⇒ P(A) × 0.6 = 0.2 

धारणा:

1) संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं का चयन करना।

• दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयनों की संख्या को ${}^n{C}_r$ द्वारा निरूपित किया जाता है

• ${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

2) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = $\frac{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}}$

टिप्पणी: संयोजन का उपयोग करें यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या के लिए कहती है।

गणना:

दिया हुआ:

एक कमरे में आठ जोड़े हैं।

⇒ आठ जोड़े = 16 लोग

हमें 16 लोगों में से चार लोगों का चयन करना है

⇒ कुल संभव स्थितियां = ¹⁶C₄

अब हमें चार लोगों का चयन करना होगा, वे युगल हो सकते हैं

इसलिए हमें आठ जोड़ों में से दो जोड़ों का चयन करना होगा

⇒ अनुकूल स्थितियां = ⁸C₂

इसलिए आवश्यक प्रायिकता = $\frac{{}^8{\mathrm{c}}_2}{{}^{16}{\mathrm{c}}_4}$

संकल्पना:

यदि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और E अनुकूल घटना है, तो E की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$

गणना:

कुल फल = 3 + 3 = 6

कुल संभव तरीके = ⁶C₂ = 15 = n(S)

अनुकूल तरीके = ³C₁ × ³C₁ = 9 = n(E)

संकल्पना:

• n (n > r) के एक समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 
• विशिष्ट स्थिति की प्रायिकता = $\frac{\text{Number of ways for the case can be executed}}{\text{Total number of ways for selection}}$

गणना:

यदि यह ज्ञात है कि तीसरे उछाल में चित प्राप्त होता है, तो संभव स्थितियां:

(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H)

∴ कुल संभव स्थितियां = 4

कुल अनुकूल स्थितियां = 3 [(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H)]

 इसलिए, आवश्यक प्रायिकता  P = $\frac{\text{Total favorable cases}}{\text{Total possible cases}}$

P = $\frac{3}{4}$

अवधारणा:

P(A) = $\frac{n(A)}{n(S)}$

जहाँ n(A) = घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और n(S) = प्रतिदर्श समष्टि की गणन-संख्या।

हल:

यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

S = {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT}

एक या दो हेड (चित) आने की प्रायिकता:

A = {HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT}

$P(A)=\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

संकल्पना:

नमूना स्थान और कुछ नहीं बल्कि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक समुच्चय है।

यदि हम एक सिक्का n बार उछालते हैं तो संभावित परिणाम या नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या = 2n तत्व

गणना:

जब सिक्का उछाला जाता है तो परिणामों की संख्या = 2 (हेड या टेल)

∴ जब एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है तो संभावित परिणाम = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2: 64

संकल्पना:

एक घटना के घटित होने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{\text{(Number of ways it can happen)}}{\text{ (Total number of outcomes)}}}$

यदि एक पासे को उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्‍टियों की संख्या = 6 है, यदि दो पासे को उछाला जाता है, तो n(S) = 6² = 36 है। 

गणना:

यहाँ, चार पासे को उछाला जाता है, 

n(S) = 6⁴

अब, उनपर दिखाई देने वाली संख्या का योग 25 = { }       

⇒ n = 0               

(∵अधिकतम योग = 6 + 6 + 6 + 6 = 24)

∴ प्रायिकता = 0/(6⁴) = 0

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

• या तो केवल घटना A या केवल घटना B: m + n 
• घटना A और घटना B दोनों एकसाथ: m × n.

गणना:

कुल 52 कार्डो में से 26 कार्ड हैं जिसमें 2 बादशाह भी शामिल है। 

इसलिए लाल कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता (P₁) = $\frac{26}{52}$

अब 4 बादशाह से चूँकि 2 बादशाह की गणना पहले ही की जा चूँकि है, इसलिए 2 बादशाह शेष हैं। 

इसलिए उनमें से किसी एक को प्राप्त करने की प्रायिकता (P₂) = $\frac{2}{52}$

∴ कार्ड के लाल रंग या बादशाह होने की प्रायिकता  (P) = P₁ + P₂

P = $\frac{26+2}{52}$

P = $\frac{28}{52}=\text{boldsymbol}\frac{7}{13}$

संकल्पना:

कुल संभव परिणाम N में से एक परिणाम A आने की प्रायिकता को $\mathrm{P}(\mathrm{A})={\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}$द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) उन तरीकों की संख्या है जिसमें घटना A घटित हो सकती है।

गणना:

एक सिक्के को 3 बार उछालने पर विभिन्न संभावित परिणामों की कुल संख्या (N), 2³ = 8 है।

वैकल्पिक रूप से एक चित और एक पट प्राप्त करने के लिए संभावनाएं हैं: HTH, THT → 2 संभावनाएं n(A)।

∴ आवश्यक प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Alternate Method

एक सिक्के का संभावित सेट 3 बार उछाला जाता है {HHH}{HHT}{HTH}{HTT}{TTT}{TTH}{THT}{THH} = 8

बारी-बारी से चित और पट आने की प्रायिकता है {HTH}{THT} = 2

तो, अभीष्ट प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$