Indefinite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

$\sin 2x=2\sin x\cos x$
खंडश: समाकलन से: $\int udv=uv-\int vdu$

गणना:

$\int e^{\sin x}\sin 2xdx=\int e^{\sin x}(2\sin x\cos x)dx$

⇒ मान लीजिए, $\sin x=t$, तब $\cos xdx=dt$

समाकल बन जाता है, $\int e^t(2t)dt=2\int t{e}^{t}dt$

⇒ $2\int t{e}^{t}dt=2(t{e}^t-\int e^{t}dt)=2(t{e}^t-e^t)+C$

⇒ $2((\sin x)e^{\sin x}-e^{\sin x})+C=2e^{\sin x}(\sin x-1)+C$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

$\int e^x\left[\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2}\right]dx$

$x^2+1=x^2-1+2=(x^2-1)+2$

इसलिए, समाकल बन जाता है:

$\int e^x\left[\frac{(x^2-1)+2}{(x+1{)}^2}\right]dx$

⇒ $\int e^x\left[\frac{(x-1)(x+1)+2}{(x+1{)}^2}\right]dx$

⇒ $\int e^x[\frac{x-1}{x+1}+\frac{2}{(x+1{)}^2}]dx$

$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

समाकल बन जाता है:

⇒ $\int e^x[1-\frac{2}{x+1}+\frac{2}{(x+1{)}^2}]dx$

⇒ $\int e^x[1-2(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2})]dx$

हम जानते हैं कि $\int e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]dx=e^{x}f(x)+C$

मान लीजिए, $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, तब

$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(1)-(x-1)(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$

इसलिए, हम लिख सकते हैं:

⇒ $\int e^x[\frac{x-1}{x+1}+\frac{2}{(x+1{)}^2}]dx=e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+C$

∴ $\int e^x\left[\frac{x^2+1}{(x+1{)}^2}\right]dx=e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+C$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Solving the indefinite integral,

${\displaystyle I_1=\int x{sec}^{2}xdx}$

Applying integral by parts,

$\Rightarrow {\displaystyle I_1=x\tan x-\int \tan xdx}$

$\Rightarrow {\displaystyle I_1=x\tan x+\ln cosx+C}$

The value of the indefinite integral,

$\Rightarrow {\displaystyle I={[x\tan x+\ln cosx]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$

$\Rightarrow {\displaystyle I=[{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\ln \cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}]-[0-\ln (\cos 0)]}$

$\Rightarrow I={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\ln {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

व्याख्या:

U(x).V(x) = $x\sqrt{x^2+1}$

= $\sqrt{x^4+x^2}$

इसलिए, विकल्प (a) सही है

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

$\int \cos \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\sin \mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1+\cos 2\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int (1+\cos 2\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}[\mathrm{x}+\frac{\sin 2\mathrm{x}}{2}]+\mathrm{c}$

= $\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\sin 2\mathrm{x}}{4}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \frac{1}{\sqrt{16-25{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1}{\sqrt{16-(5\mathrm{x}{)}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{5}$

अब, 

I = $\frac{1}{5}\int \frac{1}{\sqrt{4^2-{\mathrm{t}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{t}}{4}\right)$ + c

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{5\mathrm{x}}{4}\right)$ + c

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \sqrt{2\mathrm{x}+3}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = $\int \sqrt{{\mathrm{t}}^2}\times \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\int {\mathrm{t}}^2\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{{\mathrm{t}}^3}{3}+\mathrm{c}$

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = $\frac{(2\mathrm{x}+3{)}^{3/2}}{3}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

$\int \sin \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=-\cos \mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \sin 5\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{5}$

अब,

I = $\frac{1}{5}\int \sin \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{5}(-\cos \mathrm{t})+\mathrm{c}$

= $\frac{-\cos 5\mathrm{x}}{5}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

मानक समाकल से:

$$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}log|\frac{x-a}{x+a}|+C,x>a$

गणना:

$\int \frac{e^x}{e^{2x}-4}dx$

$\int \frac{e^x}{(e^x{)}^2-(2{)}^2}dx$

माना कि t = e^x है। 

dt = e^x dx

$\int \frac{dt}{(t{)}^2-(2{)}^2}$

मानक समाकल से:

$$$\int \frac{dt}{(t{)}^2-(2{)}^2}=\frac{1}{4}log|\frac{t-a}{t+a}|+C$

उपरोक्त समीकरण में t = ex रखने पर:

$\int \frac{e^x}{e^{2x}-4}dx=\frac{1}{4}\log \left|\frac{e^x-2}{e^x+2}\right|+C$

सूचना:

समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र निम्न हैं:

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{a^2} - x^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{a+x}{a-x}|+C, \ x

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=si{n}^{-1}(\frac{x}{a})+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=log(x+\sqrt{a^2+x^2})+C$

धारणा:

• $\int \mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\tan \mathrm{x}+\mathrm{C}$
• $\int \sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\sec \mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

माना कि I = $\int \frac{\sin \mathrm{x}}{{\left(\cos \mathrm{x}\right)}^3}\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

$=\int \tan \mathrm{x}{\sec }^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि tan x = t

⇒ sec²x dx = dt

इसलिए समाकल बन जाता है।

$=\int \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

$=\frac{{\mathrm{t}}^2}{2}+\mathrm{C}$

t = tan x पुनः स्थानापन्न करें।

इसप्रकार,

$=\frac{{\tan }^2\mathrm{x}}{2}+\mathrm{C}$

अवधारणा:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$ .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

= u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$ + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C है

धारणा:

• $\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

माना कि I = $\int {\sin }^{3}x\cos xdx$

माना कि sin x = t

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं

⇒ cos x dx = dt

अब

$\mathrm{I}=\int {\sin }^3\mathrm{x}\cos \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\int {\mathrm{t}}^3\mathrm{d}\mathrm{t}=\frac{{\mathrm{t}}^4}{4}+\mathrm{c}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{{\sin }^4\mathrm{x}}{4}+\mathrm{c}=\frac{{\left(1-{\cos }^2\mathrm{x}\right)}^2}{4}+\mathrm{c}$

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है

अवधारणा:

• cos 2x = cos²x - sin²x

गणना:

$\int \frac{\cos 2x}{{\cos }^{2}x.{\sin }^{2}x}dx$

= $\int \frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{{\cos }^{2}x.{\sin }^{2}x}dx$

= $\int (\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}})\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= -cot x - tan x + C

अवधारणा:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\log \mathrm{x}+\mathrm{c}}$

गणना:

$$\begin{gathered} \text{Let I}={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}} \\ ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}} \end{gathered}$$

मान लीजिये कि e^-x + 1 = t

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलती है

⇒ -e^-x dx = dt

∴ e-x dx = -dt

$$\begin{gathered} ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{t}}}} \\ =-\log \mathrm{t}+\mathrm{c} \\ =-\log ({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+1)+\mathrm{c} \\ =\log \left(\frac{1}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+1}\right)+\mathrm{c} \\ =\log \left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)+\mathrm{c} \end{gathered}$$