Indefinite Integrals MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

I = $\int (1+\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ అనుకుందాం

= $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \mathrm{x}(1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \mathrm{x}(1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ [∵ $\int (1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}$]

= $\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}+\mathrm{c}$

కాబట్టి, సమాకలని విలువ $\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}+\mathrm{c}$.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక .

గణన

${\displaystyle \int (1+x-{\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx}}$

$\Rightarrow \int e^{(x+\frac{1}{x})}dx+\int x(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2})e^{(x+\frac{1}{x})}dx}$

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

$\Rightarrow \int e^{(x+\frac{1}{x})}dx+x{e}^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx$

$\Rightarrow x{e}^{(x+\frac{1}{x})}+c$

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది

భావన: 

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

⇒ u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C.

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

గణన :

ఇక్కడ మనం $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ విలువను కనుగొనాలి

$\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

మనకు తెలిసినట్లుగా $\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$ ఇక్కడ C స్థిరాంకం

$\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే $\int g\left(x\right)dx=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$

$\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int a{x}^{n}dx=a\times \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-kx+1$, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=\int \left(\frac{x^2}{2}-kx+1\right)dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int \frac{x^2}{2}dx-k\int xdx+\int dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{6}-k\times \frac{x^2}{2}+x+C$

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

$\Rightarrow f\left(0\right)=C=0$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{6}-k\times \frac{x^2}{2}+x$

$\Rightarrow f\left(3\right)=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}k+3=15$

⇒ k = - 5/3

భావన:

పూర్ణ లక్షణము:

• ∫ x n dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$ + C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

భాగాల వారీగా ఇంటిగ్రేషన్ : భాగాల ద్వారా ఇంటిగ్రేషన్ అనేది ఉత్పత్తుల సమగ్రాలను కనుగొనే పద్ధతి. భాగాల వారీగా సమగ్రపరచడానికి సూత్రం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

⇒ $\int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$ + C

ఇక్కడ u అనేది ఫంక్షన్ u(x) మరియు v అనేది ఫంక్షన్ v(x)

ILATE నియమం సాధారణంగా, ఈ నియమం యొక్క ప్రాధాన్యత క్రమం విలోమం, సంవర్గమానం, బీజగణితం, త్రికోణమితి మరియు ఘాతాంకం వంటి కొన్ని ఫంక్షన్‌లపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

I = $\int \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\ln \mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\log \mathrm{x})\times \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int (\frac{1}{\mathrm{x}}\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{2})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

భావన:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C$

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

⇒ u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C.

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

గణన :

ఇక్కడ మనం $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ విలువను కనుగొనాలి

$\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

మనకు తెలిసినట్లుగా $\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$ ఇక్కడ C స్థిరాంకం

$\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే $\int g\left(x\right)dx=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$

$\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int a{x}^{n}dx=a\times \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-kx+1$, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=\int \left(\frac{x^2}{2}-kx+1\right)dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int \frac{x^2}{2}dx-k\int xdx+\int dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{6}-k\times \frac{x^2}{2}+x+C$

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

$\Rightarrow f\left(0\right)=C=0$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{6}-k\times \frac{x^2}{2}+x$

$\Rightarrow f\left(3\right)=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}k+3=15$

⇒ k = - 5/3

భావన:

పూర్ణ లక్షణము:

• ∫ x n dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$ + C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

భాగాల వారీగా ఇంటిగ్రేషన్ : భాగాల ద్వారా ఇంటిగ్రేషన్ అనేది ఉత్పత్తుల సమగ్రాలను కనుగొనే పద్ధతి. భాగాల వారీగా సమగ్రపరచడానికి సూత్రం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

⇒ $\int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$ + C

ఇక్కడ u అనేది ఫంక్షన్ u(x) మరియు v అనేది ఫంక్షన్ v(x)

ILATE నియమం సాధారణంగా, ఈ నియమం యొక్క ప్రాధాన్యత క్రమం విలోమం, సంవర్గమానం, బీజగణితం, త్రికోణమితి మరియు ఘాతాంకం వంటి కొన్ని ఫంక్షన్‌లపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

I = $\int \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\ln \mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\log \mathrm{x})\times \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int (\frac{1}{\mathrm{x}}\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{2})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

I = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log \mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

గణన

${\displaystyle \int (1+x-{\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx}}$

$\Rightarrow \int e^{(x+\frac{1}{x})}dx+\int x(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2})e^{(x+\frac{1}{x})}dx}$

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

$\Rightarrow \int e^{(x+\frac{1}{x})}dx+x{e}^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx$

$\Rightarrow x{e}^{(x+\frac{1}{x})}+c$

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది