Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\lfloor x^2\rfloor$ है। 

हमें ${\int }_{\sqrt{2}}^{2}f(x)dx$ का मान ज्ञात करना है।

हम समाकल को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:

${\int }_{\sqrt{2}}^{2}f(x)dx={\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx+{\int }_{\sqrt{3}}^{2}3dx$

परिसर $\sqrt{2}\le x\le \sqrt{3}$ के लिए, $\lfloor x^2\rfloor =2$ है। 

इसलिए, समाकल का पहला भाग है:

${\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx=2\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})$

परिसर $\sqrt{3}\le x\le 2$ के लिए, $\lfloor x^2\rfloor =3$ है। 

इसलिए, समाकल का दूसरा भाग है:

${\int }_{\sqrt{3}}^{2}3dx=3\times (2-\sqrt{3})$

अब, हम मानों की गणना करते हैं:

$2\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$3\times (2-\sqrt{3})=6-3\sqrt{3}$

दोनों भागों को मिलाने पर:

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+6-3\sqrt{3}=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\lfloor x^2\rfloor$ है, जहाँ $\lfloor x^2\rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}}\lfloor x^2\rfloor dx$

फलन के आधार पर समाकल को वियोजित करने पर:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\le x<1$ के लिए, x², $\frac{3}{4}$ और 1 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =0$ है। इसलिए,

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}0dx=0$

$1\le x<\sqrt{2}$ के लिए, x²,1 और 2 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =1.$ है। इसलिए,

${\int }_1^{\sqrt{2}}1dx=\sqrt{2}-1$

$\sqrt{2}\le x<\sqrt{3}$ के लिए, x², 2 और 3 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =2$ है। इसलिए,

${\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

सभी परिणामों को जोड़ने पर:

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}}\lfloor x^2\rfloor dx=0+(\sqrt{2}-1)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

= $2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{\left|x\right|}dx.$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{e}^{-x}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$

$={\left[-e^{-x}\right]}_1^0+{\left[e^x\right]}_0^1$

= [-e^-0 + e¹] + [e¹ - e⁰]

= -1 + e¹ + e - 1

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$
गणना:

माना कि f(x) = x(1 – x)⁹

अब गुण का प्रयोग करने पर, $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

${\int }_0^1\mathrm{x}(1-\mathrm{x}{)}^9\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right){\left\{1-\left(1-\mathrm{x}\right)\right\}}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right){\mathrm{x}}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{x}}^9-{\mathrm{x}}^{10}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$={\left[\frac{{\mathrm{x}}^{10}}{10}-\frac{{\mathrm{x}}^{11}}{11}\right]}_0^1$

= 1/10 – 1/11

= 1/110

∴ समाकलन ${\int }_0^1\mathrm{x}(1-\mathrm{x}{)}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$ का मान 1/110 है।

संकल्पना:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}^2}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}})+\mathrm{c}$

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+4}}}$ है। 

= ${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+2^2}}}$

$=[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{x}}{2}){]}_0^2$

$=[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}1-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}0]$

$=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{4}-0$

= ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

संकल्पना:

${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

माना कि I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin 2\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos \mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$  है।        ----(1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin 2(2\pi -\mathrm{x})}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos (2\pi -\mathrm{x})}\mathrm{d}\mathrm{x}$   

चूँकि हम जानते हैं, sin (2π - x) = - sin x और cos (2π - x) = cos x

I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{-\sin 2\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos \mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$         ----(2)       

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}4{\mathrm{x}}^{-4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\left[\frac{4{\mathrm{x}}^{-3}}{-3}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}$

= $\frac{-4}{3}{\left[\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}$

= $\frac{-4}{3}[\frac{1}{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{1}]$

= $\frac{-4}{3}[0-1]$

= $\frac{4}{3}$

अवधारणा:

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}={\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

गणना:

मान लीजिए कि, I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\sin \mathrm{x}}}{\sqrt{\sin \mathrm{x}}+\sqrt{\cos \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$             ....(1)

I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}}{\sqrt{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}+\sqrt{\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\cos \mathrm{x}}}{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\sin \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$                           ....(2)

(1) और (2) जोड़कर हमारे पास है

2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\sin \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

2I = $[\mathrm{x}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

I = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

संकल्पना:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}(\ln \mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}$

गणना:

माना कि I = ${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}\sqrt{2+\ln \mathrm{x}}}$ है। 

माना कि (2 + ln x) = t²  है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (0 + $\frac{1}{\mathrm{x}}$)dx = 2tdt

⇒ $\frac{1}{\mathrm{x}}$dx = 2tdt

अब, 

$$\begin{gathered} \mathrm{I}={\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{2\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}}{\sqrt{{\mathrm{t}}^2}} \\ =2{\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{t}} \\ =2{\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\mathrm{d}\mathrm{t} \\ =2[\mathrm{t}{]}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \\ =2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \end{gathered}$$

संकल्पना:

${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

माना कि I = ${\int }_0^{\pi }{\sin }^6\mathrm{x}{\cos }^5\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$ है।            .... (1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = ${\int }_0^{\pi }{\sin }^6(\pi -\mathrm{x}){\cos }^5(\pi -\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

चूँकि हम जानते हैं, sin (π - x) = sin x और cos (π - x) = -cos x

I = -${\int }_0^{\pi }{\sin }^6\mathrm{x}{\cos }^5\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$                .... (2)

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

f(x) = |x| निम्न के बराबर होगा

• x, यदि x > 0
• -x, यदि x < 0
• 0, यदि x = 0

∫ dx = x + C  (C स्थिरांक है।)

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + C

गणना:

माना कि $I={\int }_{-2}^{-1}\frac{x}{|x|}dx$  है।

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर, x ∈ (-2, -1) के रूप में

⇒ $I={\int }_{-2}^{-1}\frac{x}{-x}dx$

⇒ $I=-1{\int }_{-2}^{-1}(1)dx$

⇒ $I=-[x{]}_{-2}^{-1}$  

⇒ I = -[-1 - (-2)] 

∴  ${\int }_{-2}^{-1}\frac{x}{|x|}dx$ = -1

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$+ C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ ex dx = ex+ C

गणना:

I = $\int \frac{2\mathrm{x}+1}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि x2 + x + 1 = t है। 

⇒ (2x + 1) dx = dt

I = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2}$

I = $\frac{{\mathrm{t}}^{-1}}{-1}$

I = $\frac{-1}{\mathrm{t}}$

I = $\frac{-1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}$

सीमाओं को रखने पर

I = ${\left[\frac{-1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right]}_{-1}^1$

I = $\frac{-1}{1^2+1+1}-\left(\frac{-1}{(-1{)}^2+(-1)+1}\right)$

I = $1-\frac{1}{3}$ = $\text{boldsymbol}\frac{2}{3}$

धारणा:

• ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

गणना:

हम जानते हैं, ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

यहां, समाकलन की सीमा समान है (यानी., π/4)

$\therefore {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\cos \left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3+1}=0$

इसलिए, विकल्प (3) सही है।