Differentiation of Parametric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiation of Parametric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

• y = cos²(x²)

प्रयुक्त अवधारणा:

• अवकलन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है:

  • यदि y = f(g(x)), तो dy/dx = f'(g(x)) × g'(x)

• cos²(u) के लिए, जहाँ u, x का फलन है:

  • d(cos²(u))/du = -2 × cos(u) × sin(u)

गणना:

चरण 1: श्रृंखला नियम का उपयोग करके y = cos²(x²) का अवकलन कीजिए:

⇒ dy/dx = d(cos²(x²))/d(x²) × d(x²)/dx

चरण 2: x² के सापेक्ष cos²(x²) का अवकलन कीजिए:

⇒ d(cos²(x²))/d(x²) = -2 × cos(x²) × sin(x²)

चरण 3: x के सापेक्ष x² का अवकलन कीजिए:

⇒ d(x²)/dx = 2x

चरण 4: परिणामों को संयोजित कीजिए:

⇒ dy/dx = (-2 × cos(x²) × sin(x²)) × (2x)

⇒ dy/dx = -4x × cos(x²) × sin(x²)

निष्कर्ष:

∴ dy/dx = -4x × cos(x²) × sin(x²)

सही उत्तर: विकल्प 2 है। 

गणना:

दिया गया है:

x = $\sqrt{{10}^{{\sin }^{-1}t}}$

y =$\sqrt{{10}^{{\cos }^{-1}t}}$

प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:

⇒ ln x = ${\sin }^{-1}t$ ln $\sqrt{10}$ = $\frac{1}{2}$ ${\sin }^{-1}t$ ln 10

⇒ ln y = ${\cos }^{-1}t$ ln $\sqrt{10}$ = $\frac{1}{2}$ ${\cos }^{-1}t$ ln 10

t के सापेक्ष ln x को अवकलित करने पर:

⇒ $\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}ln10$

⇒ $\frac{dx}{dt}=\frac{xln10}{2\sqrt{1-t^2}}$

t के सापेक्ष ln y को अवकलित करने पर:

⇒ $\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}})ln10$

⇒ $\frac{dy}{dt}=-\frac{yln10}{2\sqrt{1-t^2}}$

⇒ $\frac{dy}{dx}=\frac{-\frac{yln10}{2\sqrt{1-t^2}}}{\frac{xln10}{2\sqrt{1-t^2}}}=-\frac{y}{x}$

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

प्राचलिक रूप में व्यक्त किये गए फलनों के अवकलजों के लिए चरण:​

1. सर्वप्रथम हम दिए गए फलन u और v को x मापदण्ड के संदर्भ में लिखते हैं 
2. अवकलन का प्रयोग करके du/dx और dv/dx ज्ञात कीजिए। 
3. फिर प्राचलिक रूप में फलन को हल करने के लिए प्रयोग किये गए सूत्र का प्रयोग करते हैं अर्थात् 
4. अंतिम में du/dx और dv/dx का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम प्राप्त करने के लिए सरलीकृत करते हैं।

गणना:

माना कि u = tan-1 x और v = cot-1 x

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

Now,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

गणना:

दिया गया है:

f(x) = e^{sin(log cos x)} और g(x) = log (cos x)

g(x) के संबंध में f(x) का अवकलज = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$

चूँकि,

f'(x) = esin(log cos x) ⋅ cos (log cos x)⋅$\left(\frac{-\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\right)$

g'(x) = $\left(\frac{-\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\right)$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}}{\mathrm{d}\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{x}(\log \cos \mathrm{x})}\cdot \cos (\log \cos \mathrm{x})\cdot \left(\frac{-\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\right)}{\left(\frac{-\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\right)}$

= e^{sin x(log cos x)} ⋅ cos (log (cos x) 

= f(x) ⋅ cos (g(x))

सही उत्तर विकल्प "1" है। 

गणना:
हम जानते हैं कि शंकु का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है

V = $\frac{\pi r^{2}h}{3}$

हमें त्रिज्या के सापेक्ष आयतन मे भिन्नता अर्थात $\frac{dV}{dr}$ की गणना करने की आवश्यकता है।

अब आयतन "V" को त्रिज्या "r" के सापेक्ष अवकलन करने पर हमे निम्नलिखित प्राप्त होता है,

$\frac{dV}{dr}$ = $\frac{d\frac{\pi r^{2}h}{3}}{dr}$

= $\frac{2\pi rh}{3}\frac{dr}{dr}$

= $\frac{2}{3}\pi \mathrm{r}\mathrm{h}$

तो, सही उत्तर विकल्प "3" है।

अवधारणा:

अवकलजों का श्रृंखला नियम: x के दो फलनों u और v के लिए हमारे पास है: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}$

गणना:

हमारे पास x = t2 और y = t3 हैं।

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 2t और $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3t²

अवकलजों के श्रृंखला नियम का उपयोग करके हमारे पास है:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= $3{\mathrm{t}}^2\times \frac{1}{2\mathrm{t}}$

= $\frac{3\mathrm{t}}{2}$

अब, $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)$

= $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left(\frac{3\mathrm{t}}{2}\right)$

= $\frac{3}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)$

= $\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2\mathrm{t}}\right)$

= $\frac{3}{4\mathrm{t}}$

संकल्पना:

प्राचलिक रूप में व्यक्त किये गए फलनों के अवकलजों के लिए चरण:​

1. सर्वप्रथम हम दिए गए फलन u और v को x मापदण्ड के संदर्भ में लिखते हैं 
2. अवकलन का प्रयोग करके du/dx और dv/dx ज्ञात कीजिए। 
3. फिर प्राचलिक रूप में फलन को हल करने के लिए प्रयोग किये गए सूत्र का प्रयोग करते हैं अर्थात् 
4. अंतिम में du/dx और dv/dx का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम प्राप्त करने के लिए सरलीकृत करते हैं।

गणना:

माना कि u = x³ और v = x²

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=3{\mathrm{x}}^2\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{x}$

Now,

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}=\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

= $\frac{3{\mathrm{x}}^2}{2\mathrm{x}}=\frac{3\mathrm{x}}{2}$

संकल्पना:

माना कि u = f(x) और v = g(x) है। 

x के संबंध में u का अवकलज ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}}$ है। 

श्रृंखला नियम से

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}={\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}}$

गणना:

माना कि u = sin2 x  और v = cos x है। 

cos x के संबंध में sin2 x का अवकलज ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}}$ है। 

श्रृंखला नियम से

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}={\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}}$         ....(1)

क्रमशः x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{x}$ और${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=-\sin \mathrm{x}$

समीकरण (1) निम्न हो जाता है,

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}}={\displaystyle \frac{2\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{x}}{-\sin \mathrm{x}}}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}}}=-2\cos \mathrm{x}$

अतः cos x के संबंध में sin2 x का अवकलज - 2 cos x है। 

संकल्पना:

यदि x = f(θ), y =  f(θ) है, तो,

श्रृंखला नियम से, हमारे पास निम्न है
$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}}$

गणना:

दिया गया है, x = k(θ + sin θ)

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}=\mathrm{k}(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )$

y = k (1 + cos θ) 

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}=\mathrm{k}(-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )$

श्रृंखला नियम से, हमारे पास निम्न है

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\theta }}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\theta }}}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{k}(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}}$

θ = π/2 रखने पर 

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=-1$

अतः यदि x = k(θ + sin θ) और y = k (1 + cos θ) है, तो θ = π/2 पर x के संबंध में y का अवकलज  -1 है। 

संकल्पना:

प्राचलिक रूप:

यदि f(x) और g(x), x में फलन है, तो

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ 

गणना:

दिया गया है y = t² + 2t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 2t + 2

साथ ही x = t³

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3t² 

अब $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$ 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{2\mathrm{t}+2}{3{\mathrm{t}}^2}$

t = 5 पर,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{2(5)+2}{3(5{)}^2}$ = $\frac{12}{75}$ = $\frac{4}{25}$

अवधारणा:

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

प्राचलिक रूप में व्यक्त किये गए फलनों के अवकलजों के लिए चरण:​

1. सर्वप्रथम हम दिए गए फलन u और v को x मापदण्ड के संदर्भ में लिखते हैं 
2. अवकलन का प्रयोग करके du/dx और dv/dx ज्ञात कीजिए। 
3. फिर प्राचलिक रूप में फलन को हल करने के लिए प्रयोग किये गए सूत्र का प्रयोग करते हैं अर्थात् 
4. अंतिम में du/dx और dv/dx का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम प्राप्त करने के लिए सरलीकृत करते हैं।

गणना:

माना कि u = tan-1 x और v = cot-1 x

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

Now,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

संकल्पना:

$\frac{\mathrm{d}\tan \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\sec }^2\mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{d}\sec \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x}$

पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त किये गए फलन के अवकलज के लिए चरण:

1. सर्वप्रथम हम मापदंड x के संदर्भ में दिए गए फलन u और v को लिखते हैं। 
2. अवकलन का प्रयोग करके du/dx और dv/dx ज्ञात कीजिए। 
3. फिर पैरामीट्रिक रूप में फलन को हल करने के लिए प्रयोग किये गए सूत्र का प्रयोग कीजिए अर्थात् 
4. अंतिम में du/dx और dv/dx का मान प्रतिस्थापित कीजिए और परिणाम प्राप्त करने के लिए सरलीकृत कीजिए। 

गणना:

माना कि u = sec² x और v = tan² x है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है $\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\sec \mathrm{x}\times \sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\tan \mathrm{x}\times {\sec }^2\mathrm{x}$

अब,

$\frac{\mathrm{d}{\sec }^2\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\tan }^2\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{d}{\sec }^2\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}{\tan }^2\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

$=\frac{2\sec \mathrm{x}\times \sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x}}{2\tan \mathrm{x}\times {\sec }^2\mathrm{x}}=1$

अवधारणा:

त्रिकोणमिति:

• $\sec (\frac{\pi }{2}-\mathrm{x})=\csc \mathrm{x}$
• $\csc ({\csc }^{-1}\mathrm{x})=\mathrm{x}$.
• sin² θ + cos² θ = 1

कलन:

अवकलजों का श्रृंखला नियम:​

• $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

गणना:

माना कि v = ${\csc }^{-1}\left(\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2-1}\right)$ और u = $\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}$

x = cos θ ⇒ θ = cos^-1 x को प्रतिस्थापित करके हमें निम्न मिलता है:

v = ${\csc }^{-1}\left(\frac{1}{2{\cos }^2\theta -1}\right)={\csc }^{-1}\left(\frac{1}{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }\right)={\csc }^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta }\right)$ = csc^-1 (sec 2θ) = csc-1 (csc (90^∘ - 2θ)) = 90∘ - 2θ

और, u = $\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}=\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{{\sin }^2\theta }$ = sin θ

अब, $\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\theta }$ = -2 और $\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\theta }$ = cos θ

∴ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\theta }\times \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\mathrm{u}}=\frac{-2}{\cos \theta }=\frac{-2}{\mathrm{x}}$

अवधारणा:

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

गणना:

दिया हुआ,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

उसी प्रकार,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

eq (1) को eq द्वारा (2) विभाजित करके हमें मिलता है,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

संकल्पना:

प्राचलिक रूप:

यदि f(x) और g(x), x में फलन हैं, तो 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ 

गणना:

माना कि f(x) = 2x sin x2 और g(x) = x² है। 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2 sin x² + 2x cos x² (2x)

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2 sin x² + 4x² cos x² 

साथ ही

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2x

अब g(x) के संबंध में f(x) का अवकलन करने पर 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ = $\frac{2\sin {\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{x}}^2\cos {\mathrm{x}}^2}{2\mathrm{x}}$