Chain Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Chain Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

मान लीजिए, y = e^{cos x}

श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:

y' = $\frac{d}{dx}{e}^{\cos x}$

⇒ $y^{\prime }=e^{cosx}\frac{d}{dx}\cos x$

⇒ $y^{\prime }=-e^{\cos x}\sin x$

निष्कर्ष:

∴ x के सापेक्ष e^{cos x} का अवकलज है: -e^{cos x} sin x

सही उत्तर: विकल्प 1 है। 

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))²

⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

x के सापेक्ष sin(x² + 9) का अवकलन कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

श्रृंखला नियम: यदि y = sin(u) और u = x² + 9 है, तब dy/dx = cos(u) x du/dx

गणना:

माना, y = sin(x² + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × (d/dx)(x2 + 9)

⇒ dy/dx = cos(x2 + 9) × 2x

⇒ dy/dx = 2x cos(x2 + 9)

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))\times {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{g}(\mathrm{x})$।

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ = e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}{+}^{...\mathrm{\infty }}}}}$।

∴ y = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}{+}^{...\mathrm{\infty }}}})}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}+\mathrm{y}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

⇒ $(1-\mathrm{y}){\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{1-\mathrm{y}}}$

यदि f'(x) = g(x) और g'(x) = f(x2) है, तब f"(x2) 

दिया गया है f’(x) = g(x)

x के सन्दर्भ में पृथक्करण से हमें प्राप्त होता है

f’’(x) = g’(x)

f’’(x) = f(x²) 

फलन को x² से गुणा करने पर

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = cos x 

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = - sin x

त्रिकोणमिति सूत्र

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }$

गणना:

दिया हुआ: y = sin (log cos x)

x के संबंध में अवकलन

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{\mathrm{d}\{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}))\}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= cos (log (cos x)). $\frac{\mathrm{d}\{(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}))\}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= cos (log (cos x)). $\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$ $$$\frac{d(cosx)}{dx}$

= cos (log (cos x)). $\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$ .(- sin x)

= - cos (log (cos x)). $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$

= - cos (log (cos x)).tan x​​

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = - cos (log (cos x)).tan x

धारणा:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)=\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)}{{\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2}$

गणना:

दिया हुआ: $\mathrm{s}=\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{s}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}\times \frac{\mathrm{d}\left({\mathrm{t}}^2+1\right)}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

$=\frac{2\mathrm{t}}{2\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}$

अब

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{s}}{\mathrm{d}{\mathrm{t}}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{s}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\left(\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}\right)$

$=\frac{\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}-\frac{2\mathrm{t}\times \mathrm{t}}{2\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}-\frac{{\mathrm{t}}^2}{\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}\right)}^2}$

$=\frac{{\mathrm{t}}^2+1-{\mathrm{t}}^2}{{\left(\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}\right)}^3}$

$=\frac{1}{{\left(\sqrt{{\mathrm{t}}^2+1}\right)}^3}=\frac{1}{{\mathrm{s}}^3}$

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial v}}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}\times {\displaystyle \frac{\partial \theta }{\partial v}}$

दिया हुआ:

u = $\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}}$ और v = $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{1-{\mathrm{x}}^2}}$

गणना:

माना कि,

x = tan θ

फिर,

u = $\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }}$ = ${\sin }^{-1}(\sin 2\theta )$

u = 2θ

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}=$ 2

तथा,

v = $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}{\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{1-{\mathrm{x}}^2}}$ = ${\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$ = $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\tan 2\theta )$

v = 2θ

${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta }}=$ 2

उसके बाद,

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial v}}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}\times {\displaystyle \frac{\partial \theta }{\partial v}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial v}}=2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$

= 1

संकल्पना:​

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ sin^-1 x = $\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ tan^-1 x = $\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है। 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

गणना:

माना कि u = 1 - x² है। 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = - 2x

y = sin^-1(1 - x²) = sin^-1 u

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$            

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}$ sin^-1 u × (-2x)

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{u}}^2}}$ × (-2x)

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-(1-{\mathrm{x}}^2{)}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{2{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^4}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\text{boldsymbol}\frac{-2}{\sqrt{2-{\mathrm{x}}^2}}$

अवधारणा:

अवकलन सूत्र

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = cos x 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}})=\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$

​

गणना:

दिया हुआ:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$

= $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$

=  $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ $({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}})$

=   $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ $({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}})$

=   $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$ ${\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}}$ $(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}3\sqrt{\mathrm{x}})$ $\frac{\mathrm{d}3\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

=  ​$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}})$${\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}}$$(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}3\sqrt{\mathrm{x}})$ . 3 .$\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$

= $\frac{3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\sqrt{\mathrm{x}}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}3\sqrt{\mathrm{x}})}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$​

संकल्पना:

x के संबंध में sinx का अवकलज cosx  है। 

श्रृंखला नियम:

माना कि y = f(v), v का एक अवकलनीय फलन है और v = g(x), x का अवकलनीय फलन है, तो  $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$  है। 

गणना:

दिया गया फलन y = sin2(2x+5)  है। 

हम x के संबंध में फलन का अवकलन करते हैं। 

⇒  y' = [sin2(2x+5)]' 

चूँकि हम जानते हैं कि, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$

⇒ y' = 2 sin(2x+5) ⋅ [sin(2x+5)]'

⇒  y' = 2 sin(2x+5) ⋅ cos(2x+5) ⋅ (2x+5)'

⇒ y' = 2 sin(2x+5).cos(2x+5).(2)

⇒ y' = 2 sin[2(2x+5)]                      (∴ sin2x = 2sinx.cosx)

⇒ y' = 2 sin(4x+10)

अतः विकल्प 4 सही है।    

गणना:

दिया हुआ है कि:

y = log[log{log(x)}] 

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x})]}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=\frac{\mathrm{d}\log [\log \log (\mathrm{x})]}{\mathrm{d}\log \log (\mathrm{x})}\times \frac{\mathrm{d}\log \log (\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=\frac{\mathrm{d}\log [\log \log (\mathrm{x})]}{\mathrm{d}\log \log (\mathrm{x})}\times \frac{\mathrm{d}\log \log (\mathrm{x})}{\mathrm{d}\log \mathrm{x}}\times \frac{\mathrm{d}\log \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=\left(\frac{1}{\left[\log \left\{\log \left(\mathrm{x}\right)\right\}\right]}\right)\times \left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}}\right)\times \left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\left(\frac{1}{\left[\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\right)\log \left\{\log \left(\mathrm{x}\right)\right\}\right]}\right)$

दिया गया है:

 y = 2x + x log x

अवधारणा:

सूत्र $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}({\mathrm{a}}^{\mathrm{x}})={\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{a}$ का प्रयोग कीजिए। 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]\mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]$

गणना:

 y = 2x + x log x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2^{\mathrm{x}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2+1\cdot \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{x}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$= 2x log 2 + log x + 1

अतः विकल्प (4) सही है।