Evaluation of derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 20, 2025

पाईये Evaluation of derivatives उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Evaluation of derivatives MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Evaluation of derivatives MCQ Objective Questions

Evaluation of derivatives Question 1:

निम्नलिखित पर विचार करे यदि फलन का संबंध f(x) = |x| :

1. इसकी सिमा [0,) है 

2. यह x =0 पर अवकलनीय है 

उपरोक्त मैं से कोन सा कथन सही है?

  1. केवल 1 
  2. केवल 2 
  3. 1 और 2 दोनों 
  4. न तो 1 और न ही 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : केवल 1 

Evaluation of derivatives Question 1 Detailed Solution

संकल्पना:

मापांक फलन सूत्र :

मापांक फलन का मान हमेशा धनात्मक होता है। यदि f(x) एक मापांक फलन है, तो हमारे पास है:

  • यदि x सही है, तब f(x) = x
  • यदि x = 0, तब f(x) = 0
  • यदि x < 0, तब f(x) = -x

समाधान :

कथन I : इसकी सीमा [0,) है 

मापांक फलन की सीमा |x| धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसे [0,) के रूप में दर्शाया जाता है 

कथन IIयह x = 0 पर अवकलनीय है

किसी फलन का मापांक उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है जहां वह फलन शून्य के बराबर है।

दिया गया फलन f(x) = |x|, x = 0 पर शून्य है

अत: f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

∴ केवल कथन पहला (1) है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

Evaluation of derivatives Question 2:

यदि 1x2+1y2=a(xy) है, तो dydx=

  1. 1x21y2
  2. 1y21x2
  3. 1x21+y2
  4. 1+x21y2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1x21y2

Evaluation of derivatives Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

शृंखला नियम और अस्पष्ट अवकलन का उपयोग करके अवकलन:

  • जब संयुक्त फलनों का अवकलन किया जाता है तो शृंखला नियम का उपयोग किया जाता है।
  • अस्पष्ट अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब y, x का फलन है लेकिन स्पष्ट रूप से पृथक नहीं है।
  • d/dx(√f(x)) = (1 / (2√f(x))) x df/dx
  • y पदों का अवकलन करते समय, जहाँ आवश्यक हो dy/dx का उपयोग करें।

 

गणना:

दिया गया है,

√(1 − x²) + √(1 − y²) = a(x − y)

⇒ दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ d/dx[√(1 − x²)] + d/dx[√(1 − y²)] = d/dx[a(x − y)]

⇒ (1 / (2√(1 − x²))) × (−2x) + (1 / (2√(1 − y²))) × (−2y) × dy/dx = a − a(dy/dx)

⇒ (−x / √(1 − x²)) − (y / √(1 − y²)) × dy/dx = a − a(dy/dx)

⇒ dy/dx पदों को एक साथ करने पर

⇒ − (y / √(1 − y²)) × dy/dx + a(dy/dx) = a + (x / √(1 − x²))

⇒ dy/dx × [a − (y / √(1 − y²))] = a + (x / √(1 − x²))

⇒ dy/dx = [a + (x / √(1 − x²))] / [a − (y / √(1 − y²))]

अब, मान लें कि a = 1 (विकल्पों से मिलान करने के लिए)

⇒ dy/dx = [1 + (x / √(1 − x²))] / [1 − (y / √(1 − y²))]

परिमेयीकरण करें: अंश और हर को क्रमशः √(1 − x²) और √(1 − y²) से गुणा करने पर

⇒ dy/dx = √(1 − x²) / √(1 − y²)

∴ dy/dx का अभीष्ट मान √(1 − x²) / √(1 − y²) है। 

Evaluation of derivatives Question 3:

यदि tan1(23x+1)=cot1(33x+1) है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

  1. उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।
  2. उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला एक धनात्मक और एक ऋणात्मक वास्तविक मान x का है।
  3. उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले दो धनात्मक वास्तविक मान x के हैं।
  4. उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले दो ऋणात्मक वास्तविक मान x के हैं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।

Evaluation of derivatives Question 3 Detailed Solution

संप्रत्यय:

व्युत्क्रम टेंजेंट और कोटेंजेंट संबंध:

  • व्युत्क्रम कोटेंजेंट फलन को व्युत्क्रम टेंजेंट फलन के पदों में लिखा जा सकता है: cot-1 θ = (π/2) - tan-1 θ.
  • यह संबंध tan-1 और cot-1 दोनों वाले समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है।

 

गणना:

दिया गया समीकरण है:

tan-1 (2 / (3x + 1)) = cot-1 (3 / (3x + 1))

हम सर्वसमिका cot-1 θ = (π/2) - tan-1 θ का उपयोग समीकरण को इस प्रकार पुनर्लेखित करने के लिए करते हैं:

tan-1 (2 / (3x + 1)) = (π/2) - tan-1 (3 / (3x + 1))

दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:

(2 / (3x + 1)) = (3 / (3x + 1))

यह विरोधाभासी समीकरण की ओर ले जाता है:

2 = 3

इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

निष्कर्ष:

सही उत्तर है:

  • विकल्प (1): उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।

Evaluation of derivatives Question 4:

यदि t = e2x और y = loge t2 है, तो d2ydx2 का मान होगा:

  1. 0
  2. 4t
  3. 4e2tt
  4. e2t(4t1)t2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Evaluation of derivatives Question 4 Detailed Solution

अवधारणा:

  • हमें दिया गया है:
    • t = e2x
    • y = loge(t²) = 2 loge(t)
  • हमें द्वितीय अवकलज d²y/dx² ज्ञात करना है।
  • इसके लिए अवकलन के शृंखला नियम और गुणन नियम की आवश्यकता होगी।

 

गणना:

चरण 1: y को x के पदों में व्यक्त करें

y = 2 log(t), जहाँ t = e2x

चूँकि log(t) = log(e2x) = 2x

⇒ y = 2 × 2x = 4x

प्रथम अवकलज:

dy/dx = d/dx (4x) = 4

द्वितीय अवकलज:

d²y/dx² = d/dx (4) = 0

∴ सही उत्तर : 0 है। 

Evaluation of derivatives Question 5:

माना f(x)=0xt(t29t+20)dt, 1 ≤ x ≤ 5. यदि f का परिसर [α, β] है, तो 4(α + β) बराबर है:

  1. 157
  2. 253
  3. 125
  4. 154

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 157

Evaluation of derivatives Question 5 Detailed Solution

f '(x) = x3 - 9x2 + 20x = x(x - 4) (x - 5)

qImage67bdc1ed29c97f5d6484d0bb

f(x)=x449x33+20x22

f(1)=143+10=294=α

f(4)=25643(64)+10(16)=64192+160=32=β

4(α+β)=4(294+32)=157

Top Evaluation of derivatives MCQ Objective Questions

माना कि f(x)=x1x हो तो f'(-1) क्या है?

  1. 0
  2. 2
  3. 1
  4. -2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Evaluation of derivatives Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

गणना:

दिया हुआ, f(x)=x1x

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - (1x2)

= 1 + 1x2

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 + 1(1)2 = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

यदि x = t2, y = t3  है, तो d2ydx2 है:

  1. 32
  2. 34t
  3. 32t
  4. 34

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 34t

Evaluation of derivatives Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

गणना:

दिया है: x = t2 , y = t3

⇒ dxdt=2t  dydt=3t2

dydx=dy/dtdx/dt

dydx=3t22t=32t

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ d2ydx2=32dtdx

⇒ d2ydx2=3212t  (∵ dxdt=2t)

∴  d2ydx2=34t

सही उत्तर 34t है। 

यदि y = elog (log x) है, तो dydx ज्ञात कीजिए। 

  1. 1x
  2. 1logx
  3. elog (log x)
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1x

Evaluation of derivatives Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

d(logx)dx=1x

गणना:

दिया गया है:  y = elog (log x)

ज्ञात करना है: dydx

चूँकि हम जानते हैं कि, elog x = x

∴ elog (log x) = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

dydx=d(logx)dx=1x

यदि f(x) = e4logex है तो f(x) का अवकलज क्या है?

  1. e4logex
  2. e4logexx
  3. 4x3
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4x3

Evaluation of derivatives Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

गणना:

दिया गया है, f(x) = e4logex

f(x) = elogex4

f(x) = x4               (∵ eloge x = x)

दोनों पक्ष पर x के संबंध में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 4x3

x के संबंध में (x)log x के अवकलज का पता लगाएं। 

  1. xx1(logx2)
  2. xlogx1(logx2)
  3. xlogx(logx2)
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : xlogx1(logx2)

Evaluation of derivatives Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

सूत्र:

log mn = n log m

d(uv)dx=vdudx+udvdx

dlogxdx=1x

dxdx=1

गणना:

माना y = xlog x

दोनों पक्षों को log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = xlog x

⇒ log y = log x log  x            (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

1ydydx=logxdlogxdx+logxdlogxdx

dydx=y(logx×1x+logx×1x)

dydx=xlogxx (2logx)

dydx=xlogx1(logx2)

यदि x2 + y2 = t + (1/t) और x4 + y4 = t2 + 1/t2 हो तो dy/dx ज्ञात करें।

  1. 2x3y
  2. 2x3y
  3. 1x2y
  4. 1x3y

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1x3y

Evaluation of derivatives Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिया हुआ: 

x2 + y2 = t + (1/t) और x4 + y4 = t2 + 1/t2 

प्रयुक्त सूत्र:

xndx=1n+1xn+1+c

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

गणना:

x2 + y2 = t + (1/t)      ----(1)

x4 + y4 = t2 + 1/t2      ----(2)

समीकरण (1) में वर्ग करके

x4 + y4 + 2x2y2 = t2 + 1/t2 + 2      -----(3)

समीकरण (3) से (2) घटाएं

⇒ 2x2y2 = 2

⇒ x2y2 = 1

⇒ y2 = 1/x2

⇒ 2y(dy/dx) = -(2/x3)

 dy/dx1x3y

ddx(cot11x) का मूल्यांकन करें। 

  1. x21+x2
  2. 11+x2
  3. 11+x2
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 11+x2

Evaluation of derivatives Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

ddx(tan1x)=11+x2

ddx(cot1x)=11+x2

ddx(1x)=1x2

गणना:

ddx(cot11x)=dcot11xd(1x)×d(1x)dx

=11+(1x)2×ddx(1x)

=11+(1x)2×(1x2)

=1x2+1x2×(1x2)

=x21+x2×1x2

=11+x2

 

Alternate Method

संकल्पना:

cot11x=tan1x

ddx(tan1x)=11+x2

गणना:

ddx(cot11x)

ddx(tan1x)

=11+x2

मान लीजिए सभी x, y ϵ R के लिए f(x + y) = f(x) f(y) और f(2) = 4 है, जहाँ f(x) निरंतर फलन है। तो f' (2) किसके बराबर है?

  1. 2 ln 2
  2. 4 ln 2
  3. ln 8
  4. 2 ln 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4 ln 2

Evaluation of derivatives Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

f(x)=ax,Thenf(x)=axlna

गणना:

दिया गया है कि  f (2) = 4 और f (x + y) = f(x) f(y) 

 x = 1, y = 1 रखने पर 

f(2) = f(1) f(1) = 4

f(1) = f(1) = 2

अर्थात् f(1) = 21

x = 1, और y = 2 रखने पर 

f (3) = f(1) f(2) = 2 × 4 = 23

∴ f(x) = 2x

⇒ f’(x) = 2x ln 2

∴ f’(2) = 22 ln 2 = 4 ln 2

अतः विकल्प (2) सही है।    

यदि f(x) = e|x| तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

  1. f'(0) = 1
  2. f'(0) = -1
  3. f'(0) = 0
  4. f'(0) मौजूद नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : f'(0) मौजूद नहीं है

Evaluation of derivatives Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

  • फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

    इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

    limxa+f(x)=limxaf(x)=limxaf(x)=f(a)

  • मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: |x|={   x,x0x,x<0

 

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

f(x) = ex, x ≥ 0

और f(x) = e-x, x < 0

अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:

limx0+f(x)=limx0ex = 1

और, limx0f(x)=limx0ex = -1

चूंकि limxa+f(x)limxaf(x) , दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, या, f'(0) मौजूद नहीं है

यदि f(x) = 2sin x है, तो f(x) का अवकलज क्या है?

  1. 2sin x ln 2
  2. (sin x) 2sin x - 1
  3. (cos x) 2sin x - 1
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : उपरोक्त में से कोई नहीं 

Evaluation of derivatives Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

ddxln[f(x)]=1f(x)f(x)

गणना:

दिया गया फलन f(x) = 2sin x है। 

अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में लघुगुणक लेने पर,

⇒ ln[f(x)] = sinx. ln 2

दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

ddxln[f(x)]=ddxsinx.ln2
1f(x)f(x)=ln2cosx
f(x)=f(x).ln2cosx

f(x)=2sinx.ln2cosx

यदि f(x) = 2sin x  है,

तो f(x) का अवकलज

 f(x)=2sinx.ln2cosx है।

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti 100 bonus teen patti joy apk teen patti palace teen patti casino teen patti game online