Evaluation of derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 20, 2025
Latest Evaluation of derivatives MCQ Objective Questions
Evaluation of derivatives Question 1:
निम्नलिखित पर विचार करे यदि फलन का संबंध f(x) = |x| :
1. इसकी सिमा
2. यह x =0 पर अवकलनीय है
उपरोक्त मैं से कोन सा कथन सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
मापांक फलन सूत्र :
मापांक फलन का मान हमेशा धनात्मक होता है। यदि f(x) एक मापांक फलन है, तो हमारे पास है:
- यदि x सही है, तब f(x) = x
- यदि x = 0, तब f(x) = 0
- यदि x < 0, तब f(x) = -x
समाधान :
कथन I : इसकी सीमा
मापांक फलन की सीमा |x| धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसे
कथन II: यह x = 0 पर अवकलनीय है
किसी फलन का मापांक उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है जहां वह फलन शून्य के बराबर है।
दिया गया फलन f(x) = |x|, x = 0 पर शून्य है
अत: f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
∴ केवल कथन पहला (1) है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Evaluation of derivatives Question 2:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
शृंखला नियम और अस्पष्ट अवकलन का उपयोग करके अवकलन:
- जब संयुक्त फलनों का अवकलन किया जाता है तो शृंखला नियम का उपयोग किया जाता है।
- अस्पष्ट अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब y, x का फलन है लेकिन स्पष्ट रूप से पृथक नहीं है।
- d/dx(√f(x)) = (1 / (2√f(x))) x df/dx
- y पदों का अवकलन करते समय, जहाँ आवश्यक हो dy/dx का उपयोग करें।
गणना:
दिया गया है,
√(1 − x²) + √(1 − y²) = a(x − y)
⇒ दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
⇒ d/dx[√(1 − x²)] + d/dx[√(1 − y²)] = d/dx[a(x − y)]
⇒ (1 / (2√(1 − x²))) × (−2x) + (1 / (2√(1 − y²))) × (−2y) × dy/dx = a − a(dy/dx)
⇒ (−x / √(1 − x²)) − (y / √(1 − y²)) × dy/dx = a − a(dy/dx)
⇒ dy/dx पदों को एक साथ करने पर
⇒ − (y / √(1 − y²)) × dy/dx + a(dy/dx) = a + (x / √(1 − x²))
⇒ dy/dx × [a − (y / √(1 − y²))] = a + (x / √(1 − x²))
⇒ dy/dx = [a + (x / √(1 − x²))] / [a − (y / √(1 − y²))]
अब, मान लें कि a = 1 (विकल्पों से मिलान करने के लिए)
⇒ dy/dx = [1 + (x / √(1 − x²))] / [1 − (y / √(1 − y²))]
परिमेयीकरण करें: अंश और हर को क्रमशः √(1 − x²) और √(1 − y²) से गुणा करने पर
⇒ dy/dx = √(1 − x²) / √(1 − y²)
∴ dy/dx का अभीष्ट मान √(1 − x²) / √(1 − y²) है।
Evaluation of derivatives Question 3:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
व्युत्क्रम टेंजेंट और कोटेंजेंट संबंध:
- व्युत्क्रम कोटेंजेंट फलन को व्युत्क्रम टेंजेंट फलन के पदों में लिखा जा सकता है: cot-1 θ = (π/2) - tan-1 θ.
- यह संबंध tan-1 और cot-1 दोनों वाले समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है।
गणना:
दिया गया समीकरण है:
tan-1 (2 / (3x + 1)) = cot-1 (3 / (3x + 1))
हम सर्वसमिका cot-1 θ = (π/2) - tan-1 θ का उपयोग समीकरण को इस प्रकार पुनर्लेखित करने के लिए करते हैं:
tan-1 (2 / (3x + 1)) = (π/2) - tan-1 (3 / (3x + 1))
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
(2 / (3x + 1)) = (3 / (3x + 1))
यह विरोधाभासी समीकरण की ओर ले जाता है:
2 = 3
इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।
निष्कर्ष:
सही उत्तर है:
- विकल्प (1): उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।
Evaluation of derivatives Question 4:
यदि t = e2x और y = loge t2 है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
- हमें दिया गया है:
- t = e2x
- y = loge(t²) = 2 loge(t)
- हमें द्वितीय अवकलज d²y/dx² ज्ञात करना है।
- इसके लिए अवकलन के शृंखला नियम और गुणन नियम की आवश्यकता होगी।
गणना:
चरण 1: y को x के पदों में व्यक्त करें
y = 2 log(t), जहाँ t = e2x
चूँकि log(t) = log(e2x) = 2x
⇒ y = 2 × 2x = 4x
प्रथम अवकलज:
dy/dx = d/dx (4x) = 4
द्वितीय अवकलज:
d²y/dx² = d/dx (4) = 0
∴ सही उत्तर : 0 है।
Evaluation of derivatives Question 5:
माना
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 5 Detailed Solution
f '(x) = x3 - 9x2 + 20x = x(x - 4) (x - 5)
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माना कि
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 6 Detailed Solution
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दिया हुआ,
x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है
⇒ f'(x) = 1 -
= 1 +
x = -1 रखने पर
⇒ f'(-1) = 1 +
∴ f'(-1) = 2
यदि x = t2, y = t3 है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 7 Detailed Solution
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दिया है: x = t2 , y = t3
⇒
पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :
⇒
⇒
∴
सही उत्तर
यदि y = elog (log x) है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 8 Detailed Solution
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गणना:
दिया गया है: y = elog (log x)
ज्ञात करना है:
चूँकि हम जानते हैं कि, elog x = x
∴ elog (log x) = log x
अब, y = log x
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
यदि f(x) =
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 9 Detailed Solution
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दिया गया है, f(x) =
f(x) =
f(x) = x4 (∵ eloge x = x)
दोनों पक्ष पर x के संबंध में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
f'(x) = 4x3
x के संबंध में (x)log x के अवकलज का पता लगाएं।
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 10 Detailed Solution
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सूत्र:
log mn = n log m
गणना:
माना y = xlog x
दोनों पक्षों को log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं
⇒ log y = xlog x
⇒ log y = log x log x (∵ log mn = n log m)
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है
⇒
⇒
⇒
⇒
यदि x2 + y2 = t + (1/t) और x4 + y4 = t2 + 1/t2 हो तो dy/dx ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ:
x2 + y2 = t + (1/t) और x4 + y4 = t2 + 1/t2
प्रयुक्त सूत्र:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
गणना:
x2 + y2 = t + (1/t) ----(1)
x4 + y4 = t2 + 1/t2 ----(2)
समीकरण (1) में वर्ग करके
x4 + y4 + 2x2y2 = t2 + 1/t2 + 2 -----(3)
समीकरण (3) से (2) घटाएं
⇒ 2x2y2 = 2
⇒ x2y2 = 1
⇒ y2 = 1/x2
⇒ 2y(dy/dx) = -(2/x3)
∴ dy/dx =
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 12 Detailed Solution
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गणना:
Alternate Method
संकल्पना:
गणना:
=
मान लीजिए सभी x, y ϵ R के लिए f(x + y) = f(x) f(y) और f(2) = 4 है, जहाँ f(x) निरंतर फलन है। तो f' (2) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 13 Detailed Solution
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गणना:
दिया गया है कि f (2) = 4 और f (x + y) = f(x) f(y)
x = 1, y = 1 रखने पर
f(2) = f(1) f(1) = 4
f(1) = f(1) = 2
अर्थात् f(1) = 21
x = 1, और y = 2 रखने पर
f (3) = f(1) f(2) = 2 × 4 = 23
∴ f(x) = 2x
⇒ f’(x) = 2x ln 2
∴ f’(2) = 22 ln 2 = 4 ln 2
अतः विकल्प (2) सही है।यदि f(x) = e|x| तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 14 Detailed Solution
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- फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है।
इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:
। - मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:
गणना:
मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
f(x) = ex, x ≥ 0
और f(x) = e-x, x < 0
अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:
और,
चूंकि
यदि f(x) = 2sin x है, तो f(x) का अवकलज क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Evaluation of derivatives Question 15 Detailed Solution
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गणना:
दिया गया फलन f(x) = 2sin x है।
अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में लघुगुणक लेने पर,
⇒ ln[f(x)] = sinx. ln 2
दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
यदि f(x) = 2sin x है,
तो f(x) का अवकलज