Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 30, 2025

पाईये Differential Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Differential Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Differential Equations MCQ Objective Questions

Differential Equations Question 1:

अवकल समीकरण xdydxy=0 के लिए निम्न में से कौनसा समाकलन गुणांक नहीं है?

  1. 1x2
  2. 1y2
  3. 1xy
  4. 1x+y
  5. 1y

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1x+y

Differential Equations Question 1 Detailed Solution

Differential Equations Question 2:

सूची-I को सूची-II से सुमेलित कीजिए:

सूची - I

सूची - II

(A)

xdy - (y + 2x2)dx = 0 का समाकलन गुणक

(I)

1x

(B)

(2x2 - 3y)dx = xdy का समाकलन गुणक

(II)

x

(C)

(2y + 3x2)dx + xdy = 0 का समाकलन गुणक

(III)

x2

(D)

2xdy + (3x3 + 2y)dx = 0 का समाकलन गुणक

(IV)

x3


नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. (A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)
  2. (A) - (I), (B) - (IV), (C) - (III), (D) - (II)
  3. (A) - (II), (B) - (I), (C) - (III), (D) - (IV)
  4. (A) - (III), (B) - (IV), (C) - (II), (D) - (I)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (A) - (I), (B) - (IV), (C) - (III), (D) - (II)

Differential Equations Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

  • समाकलन गुणक (IF) ज्ञात करने के लिए, जो कि M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 के रूप में एक अयथातथ अवकल समीकरण है, हम इसे किसी फलन (आमतौर पर x या y का) से गुणा करके यथातथ बनाने का प्रयास करते हैं।
  • यदि ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, तो समीकरण यथातथ नहीं है।
  • हम किसी फलन μ(x) या μ(y) से गुणा करने का प्रयास करते हैं ताकि गुणा करने के बाद, समीकरण यथातथ हो जाए।
  • हम यथातथ्य की स्थिति का उपयोग करते हैं:
    μ से गुणा करने के बाद, नए M और N को संतुष्ट करना चाहिए:
    ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

 

गणना:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0

M = −(y + 2x²), N = x

∂M/∂y = −1, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

समाकलन गुणक μ = 1/x से प्रयास करने पर:

⇒ गुणा करें: M = −(y + 2x²)/x, N = 1

फिर ∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x³ से प्रयास करने पर:

M = −x³y − 2x⁵, N = x⁴

∂M/∂y = −x³, ∂N/∂x = 4x³ ⇒ बराबर नहीं है। 

पुनः सही अवकलन के साथ μ = 1/x से प्रयास करने पर:

M = −(y + 2x²)/x = −y/x − 2x, N = 1

∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

इसलिए जाँच के साथ पुनः μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ यदि x² गुणक रहता है तो वे मेल खाते हैं ⇒ यह कार्य करता है

⇒ (A) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

 

(B) (2x² − 3y)dx = xdy

M = 2x² − 3y, N = −x

∂M/∂y = −3, ∂N/∂x = −1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = 2x³ − 3xy, N = −x²

∂M/∂y = −3x, ∂N/∂x = −2x ⇒ बराबर नहीं है। 

IF = x² से प्रयास करने पर:

M = 2x⁴ − 3x²y, N = −x³

∂M/∂y = −3x², ∂N/∂x = −3x² ⇒ बराबर है। 

⇒ (B) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

ऊपर पहले ही उपयोग किया गया है। इसलिए अब (A) को सही IF से मिलाएँ:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0 IF = x के साथ यथातथ हो जाता है ⇒ (A) → (II)

(C) (2y + 3x²)dx + xdy = 0

M = 2y + 3x², N = x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = x(2y + 3x²) = 2xy + 3x³, N = x²

∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x ⇒ यथातथ है। 

⇒ (C) → (II) (समाकलन गुणक x है)

 

(D) 2xdy + (3x³ + 2y)dx = 0

M = 3x³ + 2y, N = 2x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 2 ⇒ पहले से ही यथातथ है। 

इसलिए समाकलन गुणक = 1 ⇒ जो x⁰ = x⁰ = x³/x³ है ⇒ IF = x³ इसे सही ठहराता है। 

⇒ (D) → (IV)

 

अंतिम मिलान:

  • (A) → (I) (1/x)
  • (B) → (IV) (x³)
  • (C) → (III) (x²)
  • (D) → (II) (x)

∴ सही उत्तर : विकल्प (2) है। 

Differential Equations Question 3:

cosπ3+12cos2π3 + 13cos3π3  तक = होगा।

  1. -1
  2. 1
  3. 12
  4. 0
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Differential Equations Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

log(1x)=xx22x33..........

स्पष्टीकरण:

C = cosπ3+12cos2π3+13cos3π3

S = sinπ3+12sin2π3+13sin3π3

C+iS = (cosπ3+isinπ3)+12(cos2π3+isin2π3)....

C+iS = eiπ3+12ei2π3+..........+

माना X=eiπ3

C+iS = X+X22+X33+..........+

C+iS = - log(1-X)

C+iS = - log(1- eiπ3)

C+iS = - log(1-cosπ3- i sin π3)

C+iS = - log(12i32)

C+iS = - log(eiπ3)

C+iS = iπ3

यहाँ, C=0, S= π3

अतः, विकल्प (4) सत्य है।

Differential Equations Question 4:

अवकल समीकरण |dydx|+|y|=0,y(0)=1 के/का _________  

  1. कोई हल नहीं होगा
  2. अद्वितिय हल होगा
  3. परिमित संख्या में हल होंगे
  4. अनन्त हल होंगे
  5. दो समाधान होंगे

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : कोई हल नहीं होगा

Differential Equations Question 4 Detailed Solution

अवधारणा:

यदि |dydx|≥ 0 ; |y| ≥ 0 है, तब  |dydx|+|y|0

स्पष्टीकरण:

|dydx|+|y|=0,y(0)=1

चूँकि, 

 |dydx|≥ 0 , |y| ≥ 0

⇒ |dydx|+|y|0

अतः, केवल एक संभ हल y(x)=0 है लेकिन y(0)=1, y=0 प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है 

⇒ कोई हल विद्यमान​ नहीं है

अत:, विकल्प (1) सत्य है

Differential Equations Question 5:

अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि एवं केवल यदि -

  1. My = Nx = 0
  2. My - Nx = 0
  3. Mx + Ny = 0
  4. Mx - Ny = 0
  5. Mx / Ny = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : My - Nx = 0

Differential Equations Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

My=Nx

⇒ My = Nx

⇒ My - Nx = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

Top Differential Equations MCQ Objective Questions

आंशिक अवकल समीकरण 2ut2c2(2ux2+2uy2)=0 है; तो c ≠ 0 को किस रूप में जाना जाता है?

  1. ऊष्मा समीकरण 
  2. तरंग समीकरण
  3. प्वासों का समीकरण 
  4. लाप्लास समीकरण 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : तरंग समीकरण

Differential Equations Question 6 Detailed Solution

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वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

(2Tdx2+2Ty2+2Tz2)+Q(x,t)K=1αTt

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

2Tx2=1αTt

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:2ut2=c2(2ux2+2uy2)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

2ux2+2uy2+2uz2=0     (3-D)

2u=0

प्वासों का समीकरण 

2V=ρvϵ

अवकल समीकरण 2y dx – (3y – 2x) dy = 0 _________________ होता है।

  1. सटीक और सजातीय लेकिन रैखिक नहीं
  2. सटीक, सजातीय और रैखिक
  3. सटीक और रैखिक लेकिन सजातीय नहीं
  4. सजातीय और रैखिक लेकिन सटीक नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : सटीक, सजातीय और रैखिक

Differential Equations Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

सजातीय समीकरण

  • यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है

सटीक समीकरण

  • सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति My=Nx है

रैखिक समीकरण

  • एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
  • पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

dxdy+Py=Q

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को dxdy=2y2x3y के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है

or dxdy=2x3y2y

dxdy+xy=32

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

My=(2y)y=2 और Nx=(2x+3y)x=2

यथा My=Ny

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है

यदि y = e3x + e-5x तो x = 0 पर d2ydx2 का मान ज्ञात करें। 

  1. 8
  2. 34
  3. 16
  4. -16

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 34

Differential Equations Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

ddx(eax)=aeax

गणना:

दिया गया है कि:

y = e3x + e-5x 

dydx=3e3x5e5x

d2ydx2=9e3x+25e5x

x = 0 पर

हमारे पास है

d2ydx2=34

समीकरण dydx+7x2y=0 के लिए यदि y(0) = 37 , फिर y(1) का मान क्या है?

  1. 73e73
  2. 73e37
  3. 37e73
  4. 37e37

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 37e73

Differential Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरण को हल करने के लिए हमेशा चर वियोज्य विधि के साथ निरीक्षण करें।

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

dydx+7x2y=0dydx=7x2y , वियोजक चर

dyy=7x2dx , दोनों पक्षों को समाकलित करके;

dyy=7x2dx;lny=7x33+lnA

जहां A स्थिरांक है।

lnylnA=7x33ln(yA)=7x33

yA=e73x3y=Ae73x3 ... (1)

(1) में स्थिती y(0)=37 का उपयोग करें

37=Ausein(1)y=37e7x33

Key Points

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरणों को हल करने के सभी तरीकों का अभ्यास करें।

इन प्रश्नों में विकल्प बहुत भ्रमित करते हैं। इसलिए, सभी विकल्पों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

अवकल समीकरण dydx(xlogx)+y=2logx का समाकलन कारक क्या है?

  1. log x
  2. ez
  3. log (log x)
  4. x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : log x

Differential Equations Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

​​​​dydx+P(x)y=Q(x)

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =eP(x)dx

गणना:

दिया हुआ:

dydx(xlogx)+y=2logx

∴ dydx+yxlogx=2x

P(x) = 1xlogx

∴ I.F = e1xlogxdxelog(logx)=logx

आंशिक अवकल समीकरण ut+uux=2ux2 एक ____________ है।

  1. कोटि 2 का रेखीय समीकरण
  2. कोटि 1 का गैर-रेखीय समीकरण
  3. कोटि 1 का रेखीय समीकरण
  4. कोटि 2 का गैर-रेखीय समीकरण

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : कोटि 2 का गैर-रेखीय समीकरण

Differential Equations Question 11 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

एक अवकल समीकरण की कोटि

कोटि को समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज द्वारा परिभाषित किया गया है।

2ux2 यहां उच्चतम कोटि अवकलज है। तो, कोटि = 2।

रेखीय और गैर-रेखीय अवकल समीकरण

रेखीय अवकल समीकरण

एक अवकल समीकरण को रेखीय कहा जाता है जब इसके पास निम्न गुण होते हैं:

a) निर्भर चर और उसके अवकलज का घात '1' होना चाहिए

b) निर्भर चर और इसके अवकलजों का स्वतंत्र चरों के साथ गुणनफल हो सकता है

c) निर्भर चर और उसके अवकलजों का कोई गुणनफल नहीं हो सकता है

गैर-रेखीय अवकल समीकरण

साधारण अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण

1) डिग्री 1 से अधिक है।

1) डिग्री 1 से अधिक है।

2) निर्भर चर का घातांक 1 से अधिक है।

2) निर्भर चर का घातांक 1 से अधिक है।

3) किसी भी अवकलज का घातांक > 1।

3) किसी भी अवकलज का घातांक > 1।

4) किसी भी अवकलज के साथ निर्भर चर का गुणनफल मौजूद होता है।

4) किसी भी अवकलज के साथ निर्भर चर का गुणनफल मौजूद होता है।

 

5) किसी भी दो आंशिक अवकलजों का गुणनफल मौजूद होता है

 

दिया गया समीकरण गैर-रेखीय है क्योंकि ux के साथ 'u' का गुणनफल मौजूद है।

अवकल समीकरण (x21)xdydx+2(2x21)y=5x3 का समाकलन कारक क्या है?

  1. x2(x2 - 1)
  2. x2(x2 + 1)
  3. x(x2 - 1)
  4. x(x2 + 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2(x2 - 1)

Differential Equations Question 12 Detailed Solution

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अवधारणा:

 dydx+P(x)y=Q(x)

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक प्रथम कोटि समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका समाधान निम्न द्वारा दिया गया है: y(I.F.)=(Q×I.F.)dx+c whereI.F.=ePdx

गणना:

दिया हुआ: (x21)xdydx+2(2x21)y=5x3

dydx+2(2x21)x(x21)y=5x3x(x21)--------(1)

dydx+P(x)y=Q(x) के साथ समीकरण (1) की तुलना करके हमें मिलता है

P=2(2x21)x(x21)

P=4x22x(x+1)(x1)

आंशिक अंश विधि से हल करके

Ax+B(x+1)+C(x1)=4x22x(x+1)(x1)

(x + 1)(x - 1)A + x(x-1)B + x(x + 1)C = 4x2 – 2

Ax2 – A + Bx2 – Bx + Cx2 + Cx = 4x2 – 2

(A + B + C)x2 + (C - B)x – A =  4x2 – 2

x2, x और स्थिरांकों के गुणांकों की तुलना करके हमें मिलता है

A + B + C = 4 ……. (ii)

C – B = 0 

⇒ B = C

A = 2

∵ A + B + C = 4

⇒ 2 + B + C = 4

⇒ B + C = 2

∴ B = C = 1

Ax+B(x+1)+C(x1)=4x22x(x+1)(x1)=P

P=2x+1(x+1)+1(x1)

Pdx=(2x+1(x+1)+1(x1))dx

2dxx+dx(x+1)+dx(x1)

⇒ 2ln x + ln (x + 1) + ln (x - 1)

⇒ ln x2 + ln (x2 - 1)

⇒ ln x2(x2 - 1)

I.F.=ePdx

I.F =elnx2(x21)

⇒ I.F = x2 (x2 - 1)

अवकल समीकरण x2d2ydx2+4xdydx+2y=0 का हल ________ होगा, जहाँ c1 और c2 अचर हैं।

  1. y = c1 + c2 x2
  2. y=c1x+c2x2
  3. y = c1 cos x + c2 sin x
  4. y = c1 x + c2 x2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : y=c1x+c2x2

Differential Equations Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

सहायक समीकरण के विभिन्न मूलों के लिए अवकल समीकरण का हल (पूरक फलन) नीचे दिखाया गया है।

सहायक समीकरण के मूल

पूरक फलन

m1, m2, m3, … (वास्तविक और भिन्न मूल)

C1em1x+C2em2x+C3em3x+

m1, m1, m3, … (दो वास्तविक और समान मूल)

 

(C1+C2x)em1x+C3em3x+

m1, m1, m1, m4… (तीन वास्तविक और समान मूल)

(C1+C2x+C3x2)em1x+C4em4x+

α + i β, α – i β, m3, … (काल्पनिक मूलों का एक जोड़ा)

eαx(C1cosβx+C2sinβx)+C3em3x+

α ± i β, α ± i β, m5, … (समान काल्पनिक मूलों के दो जोड़े)

eαx((C1+C2x)cosβx+(C3+C4x)sinβx)+C5em5x+

गणना:

दिया है:

x2d2ydx2+4xdydx+2y=0

x = eरखने पर 

⇒ t = ln x

dydx=dydt.dtdx=dydt.1xxdydx=dydt=Dyx2d2ydx2=D(D1)y;x3d3ydx3=D(D1)(D2)y

अब, उपरोक्त अवकल समीकरण निम्न प्रकार बन जाती है

D(D - 1)y + 4 Dy + 2y = 0 ⇒ (D2 + 3D + 2)y = 0

⇒ D = -1, -2;

अब हल निम्न होगा  y = C1e-t + C2e-2t

x = eके मानों को रखने पर 

y=c1x+c2x2

यदि sin u=x3+y3x+y, तब xux + yuy ____ के बराबर होगा।

  1. 52tan u
  2. 32tan u
  3. 12cot u
  4. 32cot u

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 52tan u

Differential Equations Question 14 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिया है:

sinu=x3+y3x+y

xux+yuy=? 

अब,

u = f(x, y) लेकिन यह  नहीं है लेकिन f(u) घात n का समरूप है

∴ xdydx+ydudy=nf(u)f(u)

f(nu) = (nx)3+(ny)3nx+ny=n5/2.x3+y3x+y

⇒  f(nu) = n5/2 f(u);

इसलिए, घात 5/2 का समरूप;

∴ xdudx+ydudy=52×sinucosu

xux+yuy=52tanu

यदि Y = (x + 2)(x – 1) (x + 3) तो dydx ज्ञात करें। 

  1. 3x2 + 8
  2. 3x2 + 8x - 1
  3. 2x2 + 4x - 6
  4. 3x+ 8x + 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 3x+ 8x + 1

Differential Equations Question 15 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है कि:

Y = (x + 2)(x – 1) (x + 3)

Y = (x2 - x + 2x - 2)(x + 3)

Y = x3 + 3x2 + x2 + 3x - 2x - 6

Y = x3 + 4x2 + x - 6

dydx=3x2 + 8x + 1

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