Calculus MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Calculus - मोफत PDF डाउनलोड करा

समजा,

 $I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

भागांच्या एकत्रीकरणाद्वारे निराकरण करून आपल्याला मिळते,

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

जेथे C स्थिर आहे.

संकल्पना:

लाग्रांज सरासरी मूल्य प्रमेय:

जर f(x) वास्तविक मूल्य फंक्शन असेल तर –

• f(x) सतत बंद अंतरामध्ये आहे [a,b]
• (f(x) हे ओपन इंटर'वल मध्ये वेगळे करता येते (a,b)
• f(a) ≠ f(b)

नंतर x, c (a,b) असे किमान एक मूल्य अस्तित्वात आहे–

$f^{\prime }\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

भौमितिक व्याख्या:

• f(x) च्या आलेखाच्या a आणिb, f(a) ≠ f(b) या दोन बिंदुंमध्ये एक बिंदू अस्तित्वात आहे जिथे स्पर्शीका जीवेला समांतर आहे.
•  $\overline{AB}$

स्पष्टीकरण:

(a) हे भौमितिक व्याख्यांच्या संदर्भात सत्य आहे.

(b) असत्य आहे जर f(x) चे x च्या मुल्यासाठी समान मूल्य असेल तर ते f(a) ≠ f(b) उल्लंघन करेल.

समजा,

 $I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

भागांच्या एकत्रीकरणाद्वारे निराकरण करून आपल्याला मिळते,

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

जेथे C स्थिर आहे.

संकल्पना:

लाग्रांज सरासरी मूल्य प्रमेय:

जर f(x) वास्तविक मूल्य फंक्शन असेल तर –

• f(x) सतत बंद अंतरामध्ये आहे [a,b]
• (f(x) हे ओपन इंटर'वल मध्ये वेगळे करता येते (a,b)
• f(a) ≠ f(b)

नंतर x, c (a,b) असे किमान एक मूल्य अस्तित्वात आहे–

$f^{\prime }\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

भौमितिक व्याख्या:

• f(x) च्या आलेखाच्या a आणिb, f(a) ≠ f(b) या दोन बिंदुंमध्ये एक बिंदू अस्तित्वात आहे जिथे स्पर्शीका जीवेला समांतर आहे.
•  $\overline{AB}$

स्पष्टीकरण:

(a) हे भौमितिक व्याख्यांच्या संदर्भात सत्य आहे.

(b) असत्य आहे जर f(x) चे x च्या मुल्यासाठी समान मूल्य असेल तर ते f(a) ≠ f(b) उल्लंघन करेल.

समजा $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}$

$\therefore {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\mathrm{a}$

दिलेल्याप्रमाणे, 

$6{\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}(\mathrm{c})+\mathrm{f}(-3)=\mathrm{f}(3).$

$\Rightarrow 6\mathrm{a}=3\mathrm{a}+\mathrm{b}–(-3\mathrm{a}+\mathrm{b})$

$\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{a}$

∴ C चेमूल्य कोणतेही असू शकते $(-3,3)$

म्हणून, c साठी कोणतीही अट नाही

संकल्पना:

लाग्रांज सरासरी मूल्य प्रमेय:

जर f(x) वास्तविक मूल्य फंक्शन असेल तर –

• f(x) सतत बंद अंतरामध्ये आहे [a,b]
• (f(x) हे ओपन इंटर'वल मध्ये वेगळे करता येते (a,b)
• f(a) ≠ f(b)

नंतर x, c (a,b) असे किमान एक मूल्य अस्तित्वात आहे–

$f^{\prime }\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

भौमितिक व्याख्या:

• f(x) च्या आलेखाच्या a आणिb, f(a) ≠ f(b) या दोन बिंदुंमध्ये एक बिंदू अस्तित्वात आहे जिथे स्पर्शीका जीवेला समांतर आहे.
•  $\overline{AB}$

स्पष्टीकरण:

(a) हे भौमितिक व्याख्यांच्या संदर्भात सत्य आहे.

(b) असत्य आहे जर f(x) चे x च्या मुल्यासाठी समान मूल्य असेल तर ते f(a) ≠ f(b) उल्लंघन करेल.

समजा,

 $I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

भागांच्या एकत्रीकरणाद्वारे निराकरण करून आपल्याला मिळते,

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

जेथे C स्थिर आहे.

समजा,

 $I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

भागांच्या एकत्रीकरणाद्वारे निराकरण करून आपल्याला मिळते,

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

जेथे C स्थिर आहे.