एक प्रक्षेप्य की अधिकतम परास 16 km है। अपनी गति के उच्चतम बिंदु पर, यह दो समान द्रव्यमानों में विस्फोट हो जाता है। एक द्रव्यमान ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे गिरता है। विस्फोट के समय से दूसरे द्रव्यमान द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी होगी:

अवधारणा:

प्रक्षेप्य गति:

• यदि किसी वस्तु को किसी भी दिशा में प्रारंभिक वेग दिया जाता है और फिर गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से यात्रा करने दिया जाता है, तो वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है और प्रक्षेप्य की गति को प्रक्षेप्य गति कहा जाता है.
• उड़ान के दौरान गुरुत्वाकर्षण के अलावा कोई अन्य बल प्रक्षेप्य पर कार्य नहीं करता है। 

संवेग संरक्षण:

• यदि कणों के निकाय पर लगाया गया बल शून्य है, तो कणों की प्रणाली का कुल संवेग संरक्षित रहेगा। 

⇒ P₁ + P₂ + P₃ +...+P_n = स्थिरांक

गणना:

दिया गया है: R (अधिकतम परास) = 16 km

माना m = प्रक्षेप्य का द्रव्यमान

• प्रक्षेप्य की अधिकतम परास के लिए, प्रक्षेपण का कोण है,

⇒ θ = 45°

हम जानते हैं कि प्रक्षेप्य के उच्चतम बिंदु पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (V_v) शून्य होता है,

⇒ V_v = 0 m/s

वेग का क्षैतिज घटक (V_h) इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ V_h = u cosθ

⇒ Vh = u cos(45)

\(⇒ V_{h}=\frac{u}{\sqrt{2}}\) -----(1)

• प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई,

\(⇒ H=\frac{u^{2}sin^{2}\theta}{2g}\)

\(⇒ H=\frac{u^{2}}{4g}\) -----(2)

• प्रक्षेप्य की अधिकतम परास इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ R=\frac{u^{2}sin2\theta}{g}\)

\(⇒ R=\frac{u^{2}}{g}=16km\) -----(3)

जहाँ u = प्रक्षेपण का वेग

• उच्चतम बिंदु पर, प्रक्षेप्य दो समान द्रव्यमानों में विस्फोट हो जाता है। तो पहले और दूसरे भाग का द्रव्यमान इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ m_{1} = m_{2}​ =\frac{m}{2}\) -----(4)

माना V_1v = पहले भाग का ऊर्ध्वाधर वेग, V2v = दूसरे भाग का ऊर्ध्वाधर वेग, V1h = पहले भाग का क्षैतिज वेग और V2h = दूसरे भाग का क्षैतिज वेग,

चूँकि संघट्ट के बाद एक द्रव्यमान ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे गिरता है, ऐसा तभी होगा जब इस भाग का ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज वेग शून्य हो। तो -

⇒ V1v = 0 m/s

⇒ V1h = 0 m/s

• चूँकि प्रक्षेप्य पर कोई बाह्य बल कार्यरत नहीं होता है, इसलिए प्रक्षेप्य का संवेग संरक्षित रहेगा।
• उच्चतम बिंदु पर, विस्फोट से पहले ऊर्ध्वाधर दिशा में संवेग,

⇒ P_iv = mV_v

⇒ Piv = 0 kg-m/s     -----(5)

• उच्चतम बिंदु पर, विस्फोट से पहले क्षैतिज दिशा में संवेग,

⇒ Pih = mVh

\(⇒ P_{ih}=\frac{mu}{\sqrt{2}}\) -----(6)

• उच्चतम बिंदु पर, विस्फोट के बाद ऊर्ध्वाधर दिशा में संवेग,

⇒ Pfv = m₁V_1v + m₂V_2v

⇒ P_fv = (m₁ x 0 + m₂V_2v)

⇒ Pfv = m₂V_2v -----(7)

• उच्चतम बिंदु पर, विस्फोट के बाद क्षैतिज दिशा में संवेग,

⇒ Pfh = m1V1h + m2V2h

⇒ Pfh = (m1x0 + m2V2h)

⇒ Pfh = m2V2h -----(8)

• चूँकि प्रक्षेप्य पर कोई बाह्य बल कार्यरत नहीं होता है, इसलिए प्रक्षेप्य का संवेग संरक्षित रहेगा।

समीकरण 5 और समीकरण 7 से,

⇒ Pfv = P_iv

⇒ m2V2v = 0

⇒  V2v = 0 m/s

इसलिए दूसरे भाग का ऊर्ध्वाधर दिशा में भी कोई वेग नहीं है।

समीकरण 6 और समीकरण 8 से,

⇒ P_fh = P_ih

\(⇒ \frac{m}{2}V_{2h}=\frac{mu}{\sqrt{2}}\)

\(⇒ V_{2h}=\sqrt{2}u\)

• इसलिए विस्फोट के समय से धरातल तक पहुँचने के लिए दूसरे भाग का अभीष्ट समय गति के दूसरे समीकरण द्वारा दिया गया है,

\(⇒ S=Ut+\frac{1}{2}gt^{2}\)

जहाँ t = अभीष्ट समय और g = गुरुत्वीय त्वरण

\(⇒ H=V_{2v}t+\frac{1}{2}gt^{2}\)

\(⇒ \frac{u^{2}}{4g}=0× t+\frac{1}{2}gt^{2}\)

\(⇒ t=\frac{u}{\sqrt{2}g}\) sec

• इसलिए विस्फोट के समय से दूसरे द्रव्यमान द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी होगी,

⇒ x = V_2hxt

\(⇒ x=\sqrt{2}u\times\frac{u}{\sqrt{2}g}\)

\(⇒ x=\frac{u^{2}}{g}\) -----(9)

समीकरण 3 और समीकरण 9 से,

⇒ x = 16 km

• अतः विकल्प 2 सही है।