x-अक्ष के अनुदिश v₀ वेग से एक कण प्रक्षेपित किया जाता है। कण पर एक अवमंदन बल कार्य कर रहा है जो मूल से दूरी के वर्ग के समानुपाती है अर्थात ma = -αx²। वह दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ कण रुक जाता है:

अवधारणा:

• अवमंदन बल: अवमंदन बल F = -αx² द्वारा दिया गया है, जहाँ α एक समानुपातिक स्थिरांक है और x मूल से दूरी है।
• गति का समीकरण: न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, ma = -αx², जहाँ a कण का त्वरण है।
• त्वरण और बल संबंध: त्वरण a समय के सापेक्ष विस्थापन x का दूसरा अवकलज है: a = d²x/dt²।
• ऊर्जा विधि का उपयोग: कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) पर विचार किया जाता है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा K_i K_i = 1/2 m v₀² है।
• अवमंदन बल द्वारा किया गया कार्य: चर अवमंदन बल द्वारा किया गया कार्य W W = ∫₀^x_f F dx = -∫₀^x_f αx² dx है।

गणना:

चूँकि, a = vdv/dx

⇒ ${\int }_{{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}}^{{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}}\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{v}={\int }_{{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}}^{{\mathrm{X}}_{\mathrm{f}}}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{x}$

दिया गया है:- vi = v0

⇒ Vf = 0

⇒ Xi = 0

⇒ Xf = x

⇒ अवमंदन बल से, a = -αx2/m

⇒ ${\int }_{{\mathrm{V}}_{\mathrm{o}}}^{\mathrm{O}}\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{v}=-{\int }_{\mathrm{O}}^{\mathrm{X}}\frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{m}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ $-{\mathrm{v}}_0^2/2=(-\alpha /\mathrm{m})[{\mathrm{x}}^3/3]$

⇒ $\mathrm{x}=[3\mathrm{m}{\mathrm{v}}_0^2/2\alpha ]1/3$

इस प्रकार, सबसे उपयुक्त उत्तर (3) हो सकता है क्योंकि द्रव्यमान ‘m’ किसी भी विकल्प में नहीं दिया गया है।

∴ सही विकल्प 3 है।