নীচের কোন ফাংশনটি উৎপত্তিস্থলে অবিচ্ছিন্ন নয়?

ধারণা :

• একটি ফাংশন একটি প্রদত্ত মানতে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি ফাংশনের সেই মানটিতে হঠাৎ পরিবর্তন না হয়।
• যদি দুটি ফাংশন পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে এটি যোগফলের পার্থক্য, গুণফলটিও অবিচ্ছিন্ন হবে।
• একটি ফাংশন x = a এ অবিচ্ছিন্ন থাকে
  যদি বামপক্ষ = ডানপক্ষ = f(a)
  অর্থাৎ $\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)$
• যদি f(x) এবং g(x) পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে এটি f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) এবং $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)};g\left(x\right)\ne 0$ অবিচ্ছিন্ন থাকবে।

গণনা:

বিকল্প (A):

ধরুন f(x) = sin x

গ্রাফ থেকে, উৎপত্তিতে অর্থাৎ x = 0, sin x অবিচ্ছিন্ন।

বিকল্প (B):

ধরুন g(x) = x

গ্রাফ থেকে উৎপত্তিস্থল অর্থাৎ x = 0

g(x) = x অবিচ্ছিন্ন।

বিকল্প (C):

ধরি, h(x) = x sin x

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

যেহেতু f(x) এবং g(x) উৎপত্তিস্থলে পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন, তাই h(x)ও অবিচ্ছিন্ন হবে।

বিকল্প (D):

চলুন $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

যেহেতু sin x উৎপত্তিতে অবিচ্ছিন্ন এবং xও উৎপত্তিতে অবিচ্ছিন্ন এবং মান শূন্য।

অর্থাৎ $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$

উৎপত্তিস্থলে:

$h\left(x=0\right)=\frac{\sin \left(0\right)}{0}=\frac{0}{0}$ একটি অনির্ধারিত রূপ)

অতএব, আমরা এটি বলতে পারি।

h(x) উৎপত্তিস্থলে বিচ্ছিন্ন হবে কারণ x = 0 এ, h(x) অসংজ্ঞায়িত হবে।

সুতরাং, বিকল্প (D) সঠিক কারণ $\frac{\sin x}{x}$ উৎপত্তিস্থলে বিচ্ছিন্ন।