निम्नलिखित में से कौन सा फलन मूल पर संतत नहीं होता है?

संकल्पना:

• एक फलन को किसी दिए गए मान पर संतत कहा जाता है यदि फलन में उस मान पर अचानक परिवर्तन नहीं होता है।
• यदि दो फलन व्यक्तिगत रूप से संतत हैं तो यह संकलन अंतर है, गुणनफल भी निरंतर होगा।
• एक फलन x = a पर संतत है 
  यदि  L.H.L = R.H.L = f(a)
  अर्थात् $\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)$ 
• यदि f(x) और g(x) व्यक्तिगत रुप से संतत है तो इसके f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) और $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)};g\left(x\right)\ne 0$ संतत होंगे।

गणना:

विकल्प(A):

माना कि f(x) = sin x

ग्राफ से,मूल पर अर्थात्. x = 0, sin x संतत है।

विकल्प(B):

माना कि g(x) = x

ग्राफ से मूल पर अर्थात् x = 0

g(x) = x संतत है

विकल्प(C):

माना कि h(x) = x sin x

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

चूँकि f(x) और g(x) मूल पर व्यक्तिगत रूप से संतत है,तो h(x) भी संतत होगा।

विकल्प (D):

माना कि $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 

चूँकि sin x मूल बिंदु पर निरंतर है और x भी मूल बिंदु पर निरंतर है और मान शून्य हैं।अर्थात् $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$ 

मूल बिंदु पर:

$h\left(x=0\right)=\frac{\sin \left(0\right)}{0}=\frac{0}{0}$  एक अनिर्धार्य रुप है)

इस प्रकार,हम कह सकते हैं कि

h(x) मूल बिंदु पर असंतत होगा क्योंकि x = 0 पर, h(x) अनिश्चित होगा।

तो,विकल्प (D) सही है क्योंकि $\frac{\sin x}{x}$ मूल पर असंतत है।