Simple and Multiple Linear Regression MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Simple and Multiple Linear Regression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय: $R^2$ निर्धारण गुणांक को और ${\overline{R}}^2$ एक मानक रैखिक समाश्रयण मॉडल में समायोजित निर्धारण गुणांक को संदर्भित करता है।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य है। समायोजित $R^2$ मॉडल में स्वतंत्र चरों की संख्या को ध्यान में रखता है और आमतौर पर $R^2$ से कम होता है जब तक कि चरों को जोड़ने से डेटा में भिन्नता बेहतर ढंग से स्पष्ट नहीं हो जाती। इसलिए, ${\overline{R}}^2$ आमतौर पर $R^2$ से कम या उसके बराबर होता है।

विकल्प 2: यह सत्य है। जैसे-जैसे आप मॉडल में अधिक स्वतंत्र चर जोड़ते हैं, $R^2$ कभी नहीं घटता है; यह या तो बढ़ता है या समान रहता है, क्योंकि $R^2$ मॉडल द्वारा समझाई गई विचरण के अनुपात को मापता है, और अधिक चर जोड़ने से यह केवल बढ़ सकता है या अपरिवर्तित रह सकता है।

विकल्प 3: यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। समायोजित $R^2$ घट सकता है यदि अतिरिक्त स्वतंत्र चर अवलोकनों की संख्या के सापेक्ष पर्याप्त व्याख्यात्मक शक्ति का योगदान नहीं करते हैं। हालाँकि, यदि जोड़े गए चर मॉडल को महत्वपूर्ण रूप से बेहतर बनाते हैं, तो यह बढ़ भी सकता है।

विकल्प 4: यह असत्य है। समायोजित $R^2$ आमतौर पर धनात्मक या शून्य होता है, इसलिए इसका धनात्मक होना आवश्यक नहीं है।

सही विकल्प: 1) और 2) है। 

सही उत्तर विकल्प 1 है। 

हम शीघ्र से शीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के हल प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

संकल्पना:

मान लीजिए Y = β₀ +β₁x + ϵ एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल है जहाँ ϵ ∼ N(0, σ²) तो अनुमानक

$\widehat{{\beta }_1}=\frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sum (x-\overline{x}{)}^2}$ और $\widehat{{\beta }_0}=\overline{y}-\widehat{{\beta }_1}\overline{x}$

निष्पक्ष अनुमानक: α को β का निष्पक्ष अनुमानक कहा जाता है यदि E(α) = β

व्याख्या:

दिया गया है Yi = βxi + ϵi और

E(ϵi) = 0, Cov(ϵi, ϵk) = 0 यदि i ≠ k और Var(ϵi) = ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}^2{\sigma }^2$....(i)

⇒ $\frac{Y_i}{x_i}=\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$

var($\frac{Y_i}{x_i}$) = var($\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$) = $\frac{1}{x_i^2}var({ϵ}_i)$ = σ2 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

और E($\frac{Y_i}{x_i}$) = β + $\frac{1}{x_i}$E(ϵi) = β (चूँकि समीकरण (i) से E(ϵi) = 0)

इसलिए E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}(\beta +\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}(\beta \mathrm{n}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E(β + $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = β + 0 = β (समीकरण (i) से)

इसलिए β का सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$ है

विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

मान लीजिए Y = β₀ +β₁x + ϵ एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल है जहाँ ϵ ∼ N(0, σ²) तो अनुमानक

$\widehat{{\beta }_1}=\frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sum (x-\overline{x}{)}^2}$ और $\widehat{{\beta }_0}=\overline{y}-\widehat{{\beta }_1}\overline{x}$

निष्पक्ष अनुमानक: α को β का निष्पक्ष अनुमानक कहा जाता है यदि E(α) = β

व्याख्या:

दिया गया है Yi = βxi + ϵi और

E(ϵi) = 0, Cov(ϵi, ϵk) = 0 यदि i ≠ k और Var(ϵi) = ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}^2{\sigma }^2$....(i)

⇒ $\frac{Y_i}{x_i}=\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$

var($\frac{Y_i}{x_i}$) = var($\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$) = $\frac{1}{x_i^2}var({ϵ}_i)$ = σ2 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

और E($\frac{Y_i}{x_i}$) = β + $\frac{1}{x_i}$E(ϵi) = β (चूँकि समीकरण (i) से E(ϵi) = 0)

इसलिए E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}(\beta +\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}(\beta \mathrm{n}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E(β + $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = β + 0 = β (समीकरण (i) से)

इसलिए β का सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$ है

विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय: $R^2$ निर्धारण गुणांक को और ${\overline{R}}^2$ एक मानक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में समायोजित निर्धारण गुणांक को संदर्भित करता है।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य है। समायोजित $R^2$ मॉडल में स्वतंत्र चरों की संख्या को ध्यान में रखता है और आमतौर पर $R^2$ से कम होता है जब तक कि चरों को जोड़ने से डेटा में भिन्नता बेहतर ढंग से स्पष्ट नहीं हो जाती। इसलिए, ${\overline{R}}^2$ आमतौर पर $R^2$ से कम या उसके बराबर होता है।

विकल्प 2: यह सत्य है। जैसे-जैसे आप मॉडल में अधिक स्वतंत्र चर जोड़ते हैं, $R^2$ कभी नहीं घटता है; यह या तो बढ़ता है या समान रहता है, क्योंकि $R^2$ मॉडल द्वारा समझाई गई विचरण के अनुपात को मापता है, और अधिक चर जोड़ने से यह केवल बढ़ सकता है या अपरिवर्तित रह सकता है।

विकल्प 3: यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। समायोजित $R^2$ घट सकता है यदि अतिरिक्त स्वतंत्र चर अवलोकनों की संख्या के सापेक्ष पर्याप्त व्याख्यात्मक शक्ति का योगदान नहीं करते हैं। हालाँकि, यदि जोड़े गए चर मॉडल को महत्वपूर्ण रूप से बेहतर बनाते हैं, तो यह बढ़ भी सकता है।

विकल्प 4: यह असत्य है। समायोजित $R^2$ आमतौर पर धनात्मक या शून्य होता है, इसलिए इसका धनात्मक होना आवश्यक नहीं है।

सही विकल्प: 1) और 2)।

सही उत्तर विकल्प 1 है। 

हम शीघ्र से शीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।

संकल्पना:

मान लीजिए Y = β₀ +β₁x + ϵ एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल है जहाँ ϵ ∼ N(0, σ²) तो अनुमानक

$\widehat{{\beta }_1}=\frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sum (x-\overline{x}{)}^2}$ और $\widehat{{\beta }_0}=\overline{y}-\widehat{{\beta }_1}\overline{x}$

निष्पक्ष अनुमानक: α को β का निष्पक्ष अनुमानक कहा जाता है यदि E(α) = β

व्याख्या:

दिया गया है Yi = βxi + ϵi और

E(ϵi) = 0, Cov(ϵi, ϵk) = 0 यदि i ≠ k और Var(ϵi) = ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}^2{\sigma }^2$....(i)

⇒ $\frac{Y_i}{x_i}=\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$

var($\frac{Y_i}{x_i}$) = var($\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$) = $\frac{1}{x_i^2}var({ϵ}_i)$ = σ2 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

और E($\frac{Y_i}{x_i}$) = β + $\frac{1}{x_i}$E(ϵi) = β (चूँकि समीकरण (i) से E(ϵi) = 0)

इसलिए E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}(\beta +\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}(\beta \mathrm{n}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E(β + $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = β + 0 = β (समीकरण (i) से)

इसलिए β का सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$ है

विकल्प (3) सही है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के हल प्रदान करने का प्रयास करेंगे।