i = 1, …, n के लिए सरल रैखिक प्रतिगमन मॉडल Yi = βxi + ϵi पर विचार करें, जहां E(ϵi) = 0, Cov(ϵi, ϵk) = 0, यदि i ≠ k तथा Var(ϵi) = ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}^2{\sigma }^2$ हैं, तो β का सर्वश्रेष्ठ अनभिनत रैखिक आकलन है:

संकल्पना:

मान लीजिए Y = β₀ +β₁x + ϵ एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल है जहाँ ϵ ∼ N(0, σ²) तो अनुमानक

$\widehat{{\beta }_1}=\frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sum (x-\overline{x}{)}^2}$ और $\widehat{{\beta }_0}=\overline{y}-\widehat{{\beta }_1}\overline{x}$

निष्पक्ष अनुमानक: α को β का निष्पक्ष अनुमानक कहा जाता है यदि E(α) = β

व्याख्या:

दिया गया है Yi = βxi + ϵi और

E(ϵi) = 0, Cov(ϵi, ϵk) = 0 यदि i ≠ k और Var(ϵi) = ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}^2{\sigma }^2$....(i)

⇒ $\frac{Y_i}{x_i}=\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$

var($\frac{Y_i}{x_i}$) = var($\beta +\frac{{ϵ}_i}{x_i}$) = $\frac{1}{x_i^2}var({ϵ}_i)$ = σ2 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

और E($\frac{Y_i}{x_i}$) = β + $\frac{1}{x_i}$E(ϵi) = β (चूँकि समीकरण (i) से E(ϵi) = 0)

इसलिए E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}(\beta +\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E($\frac{1}{\mathrm{n}}(\beta \mathrm{n}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}})}$) = E(β + $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{ϵ}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$) = β + 0 = β (समीकरण (i) से)

इसलिए β का सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक $\frac{1}{\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{Y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}}$ है

विकल्प (3) सही है।