RMS Value of Time Varying Waveforms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for RMS Value of Time Varying Waveforms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

शिखर मान से वर्ग माध्य मूल मान का अर्थ है कि धारा शिखर मान का 1/√2 गुना हो जाती है।

इसलिए धारा के समीकरण से:

i = i₀ sin(10πt)

शिखर मान से वर्ग माध्य मूल मान में बदलने के लिए, हम सेट करते हैं:

1/√2 × i₀ = i₀ sin(100πt)

जो सरल करने पर निम्नवत होता है:

sin(π/4) = sin(10πt)

इस प्रकार, t के लिए हल करने पर:

t = 1/400 sec = 2.5 × 10-3 sec

सही उत्तर विकल्प 4: 2.5 x 10^-2 sec है। 

सिद्धांत

AC तरंग के RMS मान का सूत्र है:

$RMS=\frac{A}{\sqrt{2}}$

यहाँ, A AC तरंग के शिखर मान को दर्शाता है

गणना

दिया गया तरंग रूप एक ज्यावक्रीय तरंग को दर्शाता है जिसका अधिकतम मान 40 है अर्थात 40 sinωt

इस तरंग में 60 का DC मान जोड़ा गया है।

$f(t)=60+40sin\omega t$

RMS = $\sqrt{{60}^2+(\frac{40}{\sqrt{2}}{)}^2}$

RMS = 66.33 V

नोट: 66.33V के सबसे निकटतम मान 70V है लेकिन दिया गया उत्तर 57V था जो गलत था। इसलिए हमने सही हल के अनुसार उत्तर कुंजी बदल दी है।

व्याख्या:

एक अर्ध तरंग दिष्टकारी एक AC सिग्नल को DC में परिवर्तित करता है, तरंग के ऋणात्मक या धनात्मक आधे चक्र को पारित करके और दूसरे को अवरुद्ध करके।

अर्ध तरंग दिष्टकारी केवल एक डायोड का उपयोग करके आसानी से बनाए जा सकते हैं लेकिन पूर्ण तरंग दिष्टकारी की तुलना में कम कुशल होते हैं।

एक अर्ध तरंग दिष्टकारी के लिए निर्गत वोल्टता का RMS (वर्ग माध्य मान) मान सूत्र $V_{rms}=\frac{V_m}{2},$ का उपयोग करके गणना किया जाता है, जहाँ $V_m$ निर्गत का शिखर मान है।

$$\begin{gathered} V_{peak}=200V \\ {V}_{out,rms}=\frac{200}{2}=100V \end{gathered}$$

सही विकल्प (4) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है यानी 10 A, 12.2 A

अवधारणा:

दिए गए एसी करंट का औसत और आरएमएस (मूल माध्य वर्ग) मान ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करेंगे:

$\begin{array}{rl}{I}_{avg}& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}i(t)dt\end{array}$

$\begin{array}{rl}{I}_{rms}& =\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T[i(t){]}^{2}dt}\end{array}$

एक पूर्ण चक्र में $sin(wt)$ का अभिन्न अंग शून्य है, जिसके परिणामस्वरूप $I_{avg}=0$

डीसी सिग्नल के लिए, औसत मान सिग्नल के आयाम के बराबर है।

गणना करें:

दिया गया

$i=10+10sin314t$

$\therefore I_{avg}=10+0=10A$

एक साइनसॉइडल सिग्नल के लिए, : $RMS=\frac{A}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=7.07$

$\therefore I_{rms}=\sqrt{{10}^2+{7.07}^2}=12.24A$

धारणा:

RMS (वर्ग माध्य मूल) मान:

• RMS मान तरंग रूप के तापन प्रभाव पर आधारित होता है।
• वह मान जिस पर AC परिपथ में अपव्यय ताप DC परिपथ में अपव्यय ताप के समान होता है, rms मान कहलाता है, बशर्ते AC और DC दोनों में प्रतिरोध का समान मान हो और यह समान समय पर संचालित हो रहे हो।

• एक प्रत्यावर्ती मात्रा के RMS मान 'या' प्रभावी मान की गणना निम्न रूप में की गयी है:

  $V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{v}^2\left(t\right)dt}$

  T = समयावधि 

टिप्पणी:

• प्रत्यावर्ती धारा का औसत या माध्य मान स्थिर धारा का वह मान होता है जो एक निश्चित समय अंतराल में परिपथ के माध्यम से आवेश की समान मात्रा को प्रवाहित करता है जैसा कि यह समान समय अंतराल में समान परिपथ के माध्यम से प्रत्यावर्ती धारा द्वारा भेजी जाती है।
• अधिकतम मान (शीर्ष मान) और RMS मान के अनुपात को अधिकतम गुणक या शीर्ष गुणक के रूप में जाना जाता है।
• शीर्ष गुणक = (अधिकतम मान)/(RMS मान)
• RMS मान और औसत मान के अनुपात को रूप गुणांक के रूप में जाना जाता है।
• रूप गुणक = (RMS मान)/(औसत मान)

गणना:

आयताकार तरंग के लिए RMS मान औसत मान के बराबर होता है।

तरंग के लिए RMS मान = 100 V

महत्वपूर्ण मूल्यांकन:

संकल्पना:

•  AC परिपथ में वर्ग-माध्य- मूल धारा /वोल्टेज(rms) उस परिपथ की प्रभावी धारा/वोल्टेज होता है।
• एक AC परिपथ में विभव के अधिकतम मान को वोल्टेज का शिखर मान कहा जाता है। 
• एक चक्र के लिए AC परिपथ के विभव और धारा के औसत मान को औसत विभव और औसत धारा कहते हैं। 

अर्ध चक्र पर औसत धारा,$\left(I_{avg}\right)=\frac{2I}{\pi }$

पूर्ण चक्र पर औसत धारा = 0

$rmscurrent\left(I_{rms}\right)=\frac{I}{\sqrt{2}}$

जहाँ I परिपथ में अधिकतम /शिखर धारा है।

गणना:

दिया गया है: i = 50 sin 100 t A

∴ धारा का शीर्ष मान, I = 50 A

अर्ध चक्र पर औसत धारा = साइनसॉइडल धारा का औसत मान$=\frac{2I}{\pi }=\frac{2\times 50}{\pi }A$ 

∴ अर्ध चक्र पर औसत धारा = $\frac{100}{\pi }A$

पूर्ण चक्र पर औसत धारा = 0 A

Mistake Points 

दिए गए प्रश्न में AC (प्रत्यावर्ती धारा) तरंग का उल्लेख किया गया है, जिसमें धनात्मक अर्ध चक्र में शिखर मान 'I' और ऋणात्मक अर्ध चक्र में '-I' शामिल हैं।

∴ पूरे चक्र में औसत धारा (धनात्मक + ऋणात्मक अर्ध चक्र) = 0 एम्पीयर

इसलिए AC तरंग के औसत मान की गणना अर्ध चक्र में की जाती है, जो कि पूर्ण-तरंग दिष्टकारी के औसत मान के बराबर है = $\frac{2I}{\pi }$

अर्ध और पूर्ण-तरंग दिष्टकारी के औसत मान हैं:

$I_{avg}=\frac{I}{\pi }$ अर्ध-तरंग दिष्टकारी के लिए

$I_{avg}=\frac{2I}{\pi }$ पूर्ण-तरंग दिष्टकारी के लिए

ध्यान दें कि, अर्ध-तरंग दिष्टकारी में एक-अर्ध चक्र होता है और दूसरे अर्ध चक्र के लिए निष्क्रिय होता है। ताकि इसका औसत मान पूर्ण-तरंग दिष्टकारी के औसत मान का आधा हो।

जहां AC तरंग के औसत मान की गणना अर्ध चक्र में की जाती है जो पूर्ण-तरंग दिष्टकारी के औसत मान के बराबर होती है।

प्रतिरोधक में अपव्यय शक्ति $P=I_{rms}^{2}R$

दिया गया तरंग रूप त्रिकोणीय तरंग रूप है।

$I_{rms}=\frac{I_m}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}A$

अवधारणा:

एक साइन तरंग का rms मान

$V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$

गणना:

Vrms = 100 V

Vm = 100√2

Vm = 140 V

2Vm = 280 V (शीर्ष से शीर्ष)

Additional Information

रूप गुणक:

एक प्रत्यावर्ती धारा तरंगरूप का रूप गुणक RMS मान और औसत मान का अनुपात होता है। 

$FormFactor=\frac{RMSValue}{AverageValue}$

शीर्ष कारक

• शीर्ष कारक तरंगरूप के RMS मान से विभाजित तरंगरूप का शीर्ष आयाम है।

$PeakFactor=\frac{PeakAmplitude}{RMSValue}$

• वर्गाकार तरंगरूप के लिए रूप गुणक और शीर्ष कारक समान होता है और मान एक होता है। 

संकल्पना:

x(t) द्वारा दी गई आवधिक तरंग के लिए मूल आवर्तनांक 'T' के साथ, RMSमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$RMS=\sqrt{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}x{\left(t\right)}^{2}dt}$

गणना:

अनुक्रम T = 4 sec की आवर्त काल पर पुनरावर्ती हो रहा है।

∴ x(t) = ( 50 / 4) t = 12.5 t

जहाँ x(t), $0\le t\le T$ के बीच वक्र का फलन है 

तरंग का RMS मान, 

 $X_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{4}{\int }_0^4(12.5t{)}^{2}dt}$

$=\sqrt{(\frac{{12.5}^2}{4})\frac{t^3}{3}{|}_0^4}$

$=\frac{12.5\times 4}{\surd 3}$

$=\frac{50}{\surd 3}$

इस प्रकार, rms धारा $I=\frac{50}{\sqrt{3}}$A

Additional Information

शब्द RMS केवल समय-परिवर्ती ज्यावक्रीय वोल्टेज, धाराओं, या जटिल तरंगों को संदर्भित करता है जहां समय के साथ तरंग का परिमाण बदलता है।

RMS मान को "AC विद्युत की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक समान DC विद्युत के समान तापीय प्रभाव उत्पन्न करता है।"

धारणा:

एक ज्यावक्रीय प्रत्यावर्ती तरंगरूप के लिए

1. वोल्टेज का शीर्ष से शीर्ष तक मान (Vp-p) = 2 (शीर्ष मान)  ---(1)

2. वोल्टेज का शीर्ष मान (Vp) = √2 Vrms  ---(2)

3. वोल्टेज का RMS मान $\left(V_{rms}\right)={\displaystyle \frac{V_p}{\surd 2}}$

4. वोल्टेज का औसत मूल्य $\left(V_{avg}\right)={\displaystyle \frac{2V_p}{\pi }}$

गणना:

दिया हुआ:

Vrms = 2 V

समीकरण (2) से;

Vp = √2 × 2 V

समीकरण (1) से;

Vp-p = 2 × √2 × 2

∴ Vp-p = 5.656 V

वोल्टेज और धारा के ज्यावक्रीय प्रत्यावर्ती तरंग को लेने पर। 

तरंगरूप से:

$v=V_m\sin \left(\omega t\right)$

और,

$i=I_m\sin \left(\omega t+\varphi \right)$

जहाँ Vm और Im क्रमशः तात्कालिक वोल्टेज और धारा के अधिकतम मान हैं। 

v, i किसी अवधि t पर वोल्टेज और धारा का तात्कालिक मान है। 

ω रेडियन/सेकेंड में कोणीय आवृत्ति है। 

और, ω = 2πf  

f, Hz में आवृत्ति है।

मूल-माध्य-वर्ग (RMS) मान:

• एक प्रत्यावर्ती धारा का RMS मान उस स्थिर (DC) धारा द्वारा दिया जाता है जो किसी निश्चित समय के लिए दिए गए परिपथ में प्रवाहित होने पर उसी समय के लिए उसी परिपथ में प्रवाहित होने पर प्रत्यावर्ती धारा द्वारा उत्पन्न उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करता है।
• इसे प्रत्यावर्ती धारा के प्रभावी या आभासी मूल्य के रूप में भी जाना जाता है, पूर्व शब्द का अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जा रहा है।
• एक प्रत्यावर्ती वोल्टेज या धारा के RMS मान वास्तविक परिमाण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

प्रत्यावर्ती मात्रा का RMS मान इस प्रकार दिया गया है,

$V_{RMS}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$

$I_{RMS}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$

औसत मूल्य:

एक प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान उस स्थिर धारा द्वारा व्यक्त किया जाता है जो किसी भी परिपथ में उसी आवेश को स्थानांतरित करता है जो उसी समय के दौरान उस प्रत्यावर्ती धारा द्वारा स्थानांतरित किया जाता है।

प्रत्यावर्ती मात्रा का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

$V_{avg}=\frac{2V_m}{\pi }$

$I_{avg}=\frac{2I_m}{\pi }$

शीर्ष गुणांक ‘या’ अधिकतम गुणांक को एक प्रत्यावर्ती मात्रा के अधिकतम मान और R.M.S मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

C.F. ‘या’ P.F. = $\frac{MaximumValue}{R.M.SValue}$

एक ज्यावक्रीय तरंगरूप के लिए, शीर्ष गुणांक का मान 1.41 है।

∴ RMS मान = $\frac{MaximumValue}{1.41}=0.707\times Maximumvalue$

इसलिए, ज्यावक्रीय तरंगरूप के लिए,  धारा का RMS मान  धारा के अधिकतम मान का 0.707 गुना होगा।

अनुप्रयोग:

दिया गया है, RMS मान = 100 A

उपरोक्त अवधारणा से,

अधिकतम मान  = 1.41 × RMS मान 

या, अधिकतम मान = 1.41 × 100 = 141 A

अवधारणा:

RMS (वर्ग माध्य मूल) मान:

• RMS मान तरंग रूप के तापन प्रभाव पर आधारित होता है।
• वह मान जिस पर AC परिपथ में अपव्यय ताप DC परिपथ में अपव्यय ताप के समान होता है, rms मान कहलाता है, बशर्ते AC और DC दोनों में प्रतिरोध का समान मान हो और यह समान समय पर संचालित हो रहे हो।

प्रत्यावर्ती धारा का औसत या माध्य मान स्थिर धारा का वह मान होता है जो एक निश्चित समय अंतराल में परिपथ के माध्यम से आवेश की समान मात्रा को प्रवाहित करता है जैसा कि यह समान समय अंतराल में समान परिपथ के माध्यम से प्रत्यावर्ती धारा द्वारा भेजी जाती है।

मध्य-निर्देशांक विधि​:

• इसका उपयोग वर्ग माध्य मूल मान या माध्य वर्ग मान या वक्र/तरंगरुप के औसत मान की गणना करने के लिए किया जाता है।
• इसे चित्रीय (ग्राफिकल) विधि के नाम से भी जाना जाता है।
• इस पद्धति में, तरंगरुप को समान भागों या मध्य-कोटि की 'n' संख्याओं में विभाजित किया जाता है।
• तरंगरुप के साथ जितने अधिक मध्य-कोटि खींचे जाते है, उतना ही सटीक अंतिम परिणाम होगा।
• इसलिए प्रत्येक मध्य-कोटि की चौड़ाई n डिग्री होगी और प्रत्येक मध्य-कोटि की ऊंचाई तरंगरुप के तात्क्षणिक मान के बराबर होगी।

ज्यावक्रीय तरंगरुप के धनात्मक अर्ध-तरंग के लिए,

इस तरंगरुप से, RMS मान और औसत मान को निम्न रुप से निर्धारित किया जा सकता है,

V_RMS = $\sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2........+V_{12}^2}{12}}$

V_Average = $\frac{V_1+V_2.......+V_{12}}{12}$

Additional Information

समाकलन की विधि: इसका उपयोग गणितीय समीकरण के समाकलन को खोजने के लिए किया जाता है।

अनंत विधि : यह विभेदी समीकरण को विभेदी समीकरण के साथ हल करने के लिए संख्यात्मक विधि है, जिसमें अनंत असमानता व्युत्पन्न का अनुमान लगाते हैं।

n-स्ट्रिप्स विधि: इसका उपयोग एक-आयामी फ्रेडहोल्म समाकल समीकरणों के अनुमानित समाधान के लिए किया जाता है।