Rings & Ideals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rings & Ideals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

अभाज्य आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अभाज्य होता है यदि R/I एक पूर्णांकीय प्रांत (शून्य भाजक नहीं है) है। अर्थात्, किसी भी f(x), g(x) ∈ R के लिए, यदि f(x)g(x) ∈ I, तो या तो f(x) ∈ I या g(x) ∈ Iहोगा।

अधिकतम आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अधिकतम होता है यदि R/I एक क्षेत्र (प्रत्येक शून्येतर अवयव का एक गुणात्मक प्रतिलोम है) है। एक अधिकतम आदर्श हमेशा अभाज्य होता है, लेकिन इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है।

अकार्यक्षमता: ℚ[x] में एक बहुपद f(x) अकार्यक्षम है यदि इसे ℚ में गुणांकों वाले अचर बहुपदों में गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या:

x² + 5 का ℚ में कोई मूल नहीं है क्योंकि x² + 5 = 0 ⇒ x = ± √5i ∉ ℚ।

इसलिए x² + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है।

ℚ[x] में, एक अकार्यक्षम बहुपद द्वारा जनित एक आदर्श हमेशा अभाज्य होता है क्योंकि ℚ[x]/(x² + 5) में कोई शून्य भाजक नहीं है।

इसलिए, आदर्श x² + 5 एक अभाज्य आदर्श है।

अब, चूँकि x2 + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है, इसलिए ℚ[x]/(x2 + 5) एक क्षेत्र बनाता है।

इसलिए, आदर्श x2 + 5 एक अधिकतम आदर्श है।

(3) सत्य है।

संप्रत्यय:

वलय में गुणजावली:

• वलय की एक गुणजावली एक विशेष उपसमुच्चय है जो वलय के अवयवों द्वारा गुणन को अवशोषित करता है और योग के अंतर्गत संवृत होता है।
• परिभाषा: वलय R का एक अरिक्त उपसमुच्चय I को गुणजावली कहा जाता है यदि:
  • सभी a, b ∈ I के लिए, (a + b) ∈ I (योग के अंतर्गत संवृत)।
  • सभी r ∈ R और a ∈ I के लिए, (ra ∈ I और ar ∈ I) (गुणन को अवशोषित करता है)।
• संकेतन: ℤ योग और गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों के वलय को दर्शाता है।
• प्रमुख आदर्श: समुच्चय nℤ = {nk | k ∈ ℤ} , ℤ की एक गुणजावली है।
• गुणजावलियों का प्रतिच्छेदन: किन्हीं दो गुणजावलियों का सर्वनिष्ठ भी एक गुणजावली होती है।
• गुणजावलियों का सम्मिलन : दो आदर्शों का सम्मिलन आवश्यक रूप से गुणजावली नहीं होता है।
• ℤ_n (mod n निकाय): वलय ℤ_n = {0, 1, ..., n−1} योग और गुणन मॉड्यूलो n के साथ।
• अभाज्य n के लिए: ℤ_n एक क्षेत्र है ⇒ किसी उचित अतुच्छ गुणजावली का अस्तित्व नहीं है।

गणना:

दिया गया है, हमें गलत कथन की पहचान करनी है।

1) समुच्चय (−2ℤ) = {−2k | k ∈ ℤ} = 2ℤ, जो ℤ की एक प्रमुख गुणजावली है

$$-2Z=-2,0,2,-4,4,-6,6,...=2Z$$

निष्कर्ष:

• चूँकि 2ℤ ℤ में एक प्रमुख गुणजावली (2 द्वारा उत्पन्न) है,

• और −2ℤ = 2ℤ, यह भी ℤ का एक गुणजावली है।

⇒ यह (ℤ, +, ·) की एक मान्य गुणजावली है। 

2) 2ℤ और 3ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य),

⇒ 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, इसलिए गुणजावली नहीं है। 

• मान लीजिए a = 2 ∈ 2ℤ

• मान लीजिए b = 3 ∈ 3ℤ

जाँच: a + b = 2 + 3 = 5

अब, क्या 5 सम्मिलन 2ℤ ∪ 3ℤ में है?

• 5 2 से विभाज्य नहीं है ⇒ 2ℤ में नहीं है

• 5 3 से विभाज्य नहीं है ⇒ 3ℤ में नहीं है
  इसलिए, 5 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ है। 

इस प्रकार, 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, जो कि गुणजावली होने के लिए एक आवश्यक गुण है।

⇒ कथन सही है। 

3) ℤ₅ एक क्षेत्र है (5 अभाज्य है)

⇒ क्षेत्रों में कोई उचित अतुच्छ गुणजावली नहीं होती हैं। 

⇒ कथन सही है। 

4) 4ℤ और 5ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य)

⇒ 4ℤ ∩ 5ℤ = 20ℤ (ℤ का एक आदर्श भी है)

⇒ कथन कहता है कि यह आदर्श नहीं है ⇒ गलत

∴ गलत कथन: विकल्प 4 है। 

अन्य विकल्प सही क्यों हैं:

• विकल्प 1: (−2ℤ) = 2ℤ, ℤ की एक मान्य गुणजावली है।
• विकल्प 2: 2ℤ और 3ℤ व्यक्तिगत रूप से गुणजावली हैं, लेकिन उनका सम्मिलन योग के अंतर्गत संवृत नहीं है। 
• विकल्प 3: ℤ₅ एक क्षेत्र है, इसलिए इसकी कोई उचित गुणजावली नहीं हैं। 

व्याख्या:

(2): यदि सभी a ∈ R के लिए a² = a हो, तो एक वलय बूलीय वलय होता है।

इसलिए, [{0, 1}, +2, ×2] एक बूलीय वलय है।

विकल्प (2) सही कथन है।

(Z3, +3, ×3) एक क्षेत्र है, इसलिए विकल्प (3) सही कथन है।

प्रमेय द्वारा, प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत एक क्षेत्र होता है।

विकल्प (4) सही कथन है।

इसलिए, विकल्प (1) गलत कथन है।

संप्रत्यय:

एक क्रमविनिमेय वलय R में, एक अवयव r एक शून्य-भाजक होता है यदि कोई शून्येतर s ∈ R इस प्रकार है कि rs = 0 है। 

व्याख्या:

R = ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, ÷ 6, × 6)}

इसलिए, R = (ℤ₆, ÷, ×)

हम जानते हैं कि

ℤ6 एक क्रमविनिमेय वलय है।

ℤ6 में शून्य-भाजक 0, 2, 3 और 4 हैं क्योंकि 0 · 2 = 2 · 3 = 3 · 4 = 0

इसलिए, R शून्य-भाजकों वाला एक वलय है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

(A) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय

सम पूर्णांकों का समुच्चय \(2\mathbb{Z} \) मानक योग और गुणन के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय वलय बनाता है

हालाँकि, यह एक क्षेत्र नहीं है क्योंकि प्रत्येक शून्येतर अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है। 

इसलिए, यह (IV) क्रमविनिमेय वलय से मेल खाता है।

(B) समुच्चय \(\{a + ib : a, b \in \mathbb{Z} \} \)

यह गाउसी पूर्णांकों के समुच्चय \(\mathbb{Z}[i] \) को निरूपित करता है

गाउसी पूर्णांक एक पूर्णांकीय प्रांत (शून्य भाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय) बनाते हैं

इसलिए, यह (II) पूर्णांकीय प्रांत से सुमेलित है।

(C) परिमेय संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{Q} \)

परिमेय संख्याएँ \(\mathbb{Q} \) एक क्षेत्र बनाती हैं क्योंकि प्रत्येक शून्येतर परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम होता है

इसलिए, यह (I) क्षेत्र से सुमेलित है। 

(D) समुच्चय \(S = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & x \\ 0 & y \end{bmatrix} : x, y \in \mathbb{Q} \right\} \)

इस समुच्चय में परिमेय प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह होते हैं

इस समुच्चय में आव्यूह गुणन आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है। 

इसलिए, यह (III) अक्रमविनिमेय वलय से सुमेलित है। 

सही मिलान है:

(A - IV), (B - II), (C - I), (D - III)

⇒ विकल्प(4) सही उत्तर है।

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

संप्रत्यय:

उच्चिष्ठ गुणजावली : वलय R में एक उच्चिष्ठ गुणजावली I एक ऐसी गुणजावली है जिसके लिए भागफल वलय R/I एक क्षेत्र है।

अभाज्य गुणजावली : वलय R में एक अभाज्य गुणजावली P एक ऐसी गुणजावली है कि यदि दो अवयवों का गुणनफल P में है, तो कम से कम एक अवयव P में होना चाहिए।

व्याख्या:

\(R = \left\{ \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \mid a_n \in \mathbb{Z}, \text{ and } a_n \neq 0 \text{ for finitely many } n \in \mathbb{Z} \right\}\)

वलय में योग और गुणन इस प्रकार परिभाषित हैं:

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) + \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n X^n \right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (a_n + b_n) X^n \)

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_m X^m \right) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left( \sum_{n+m=k} a_n b_m \right) X^k\)

विकल्प 1:

इस वलय में योग स्पष्ट रूप से क्रमविनिमेय है क्योंकि किसी भी वलय में बहुपदों का योग क्रमविनिमेय होता है।

अब गुणन पर विचार करें। मानक बहुपद वलयों में, गुणन तब तक क्रमविनिमेय होता है जब तक कि

गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय (इस मामले में, पूर्णांक \( \mathbb{Z} \) ) से आते हैं।

चूँकि \( \mathbb{Z} \) गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है, और घातांक \(X^n\) क्रमविनिमेय गुणन नियमों का पालन करते हैं

(अर्थात, \(X^n X^m = X^{n+m} \)), वलय R भी गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है।

इसलिए, कथन R क्रमविनिमेय नहीं है असत्य है।

विकल्प 2:

गुणजावली \(X-1 \) उच्चिष्ठ होगी यदि R/\(X-1 \) एक क्षेत्र है।

हालाँकि, यह वर्णित R वलय में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि R/\(X-1 \) के एक क्षेत्र होने की संभावना नहीं है। 

(यह एक सरल वलय में कम हो सकता है, लेकिन क्षेत्र नहीं)।

विकल्प 3:

(X - 1, 2) कुछ बहुपद वलयों में, विशेष रूप से पूर्णांकों पर, एक मानक प्रकार की गुणजावली है। एक अभाज्य गुणजावली के लिए, यह शर्त होनी चाहिए कि अवयवों का गुणन गुणजावली के भीतर ही रहे।

विकल्प 4:

\( (X, 5)\) एक उच्चिष्ठ गुणजावली के रूप में: यदि \( (X, 5)\) उच्चिष्ठ है, तो भागफल R/\( (X, 5)\) एक क्षेत्र होना चाहिए।

जबकि कुछ वलयों में यह एक क्षेत्र हो सकता है, इसे अधिक सत्यापन की आवश्यकता है।

इसलिए, विकल्प 3) सही है।

संकल्पना​:

यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,

ab = ba ∀ a,b ∈ R. 

M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,

1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)

2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है) 

विश्लेषण​:

R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]

∴ R/M एकल के साथ एक वलय है

∴ 1 + M ≠ M

अर्थात, 1 ∉ M

अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।

∴ M ≠ R.

मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है​

ऐसा है कि M ⊆  I ⊆  R

माना, M ≠ I

∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M

∴ a + M ∉ M

अब, R/M एक क्षेत्र है।

∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है

∴ a + M व्युत्क्रमणीय है

∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि

(a + M) (b + M) = 1 + M

ab + M = 1 + M

ab – 1 ∈ M ⊆  I      ---(1)

a ∈ I, b ∈ R

∴ ab ∈ I          ---(2)  (∵ I एक गुणजावली है​)

(1) और (2) से हम लिख सकते हैं

ab – (ab – 1) ∈ I

∴ 1 ∈ I

अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है

∴ I = R

∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है

यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।

हल -

एक वलय  �  का तत्वUnknown node typ <merror><mtext>Unknown node type: span</mtext></merror> �  शून्यक्षम ​कहलाता है, यदि कोई धनात्मक पूर्णांक  मौजूद होता है, जिसे सूचकांक (या कभी-कभी कोटि) कहा जाता है, जैसे कि 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

हल- वलय Z[x,y] x और y का उत्पादक है। 

समरूपता के अंतर्गत x,y की प्रतिकृति

f: Z[x,y] → \( F_2{[x]}/({x^3+x^2+x+1})\) 

उपप्रांत का स्वेच्छ तत्व हो सकता है और विशिष्ट रूप से निर्धारित f हो सकता है। 

चूँकि वलय \(F_2{[x]}/({x^3+x^2+x+1})\) में 8 तत्व हैं तो वलय समरूपता की कुल संख्या है: 8 × 8 = 64 

अतः सही विकल्प विकल्प 1) है।​

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

इसका उत्तर हम प्रति-उदाहरणों के माध्यम से दे सकते हैं।

• विकल्प 1 और विकल्प 3 को हटाने के लिए हम R = (Z, +, .) लेते हैं जहाँ pZ किसी भी अभाज्य p के लिए अधिकतम है।
• विकल्प 4 को हटाने के लिए हम R = (F,+, .) लेते हैं, जहाँ F एक क्षेत्र है। और, एक क्षेत्र यूनिटी के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है जहां {0} एकमात्र प्रमुख गुणजावली है।
• इसलिए, विकल्प 2 ही एकमात्र सही विकल्प है। वास्तव में, R =   के सटीक दो उच्चिष्ठ गुणजावलियां हैं,  M = {0,2,4} और N = {0,3}

संप्रत्यय: वलय बहुपद वलय \(\mathbb{F}_2[t] \) का \( t^2(1 - t)^2 \) द्वारा जनित गुणजावली द्वारा भागफल है।

इसका अर्थ है कि वलय में प्रत्येक बहुपद \(p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2,\) के रूप का होता है,

जहाँ गुणांक \(a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{F}_2\) हैं, और उच्चतम घात पद गुणजावली \((t^2(1 - t)^2)\) द्वारा सीमित है, जो भागफल वलय में बहुपद की घात को सीमित करता है।

चूँकि बहुपद \((t^2(1 - t)^2)\) की घात 4 है, हम 3 या उससे कम घात वाले बहुपदों के भागफल वलय पर विचार कर रहे हैं।

व्याख्या:

\(\mathbb{F}_2 \) में दो अवयव हैं: 0 और 1।

वलय \(\mathbb{F}_2[t] / (t^2(1 - t)^2) \) में ऐसे अवयव होंगे जो \((t^2(1 - t)^2)\) के सापेक्ष बहुपद हैं। इस वलय की गणनीयता उन विभिन्न बहुपदों की संख्या से निर्धारित होगी जिनके गुणांक \(\mathbb{F}_2 \) से गुणजावली द्वारा लगाए गए संबंधों के अंतर्गत हो सकते हैं। हम जानते हैं कि,

अधिकतम 3 घात वाले संभावित बहुपदों की संख्या \(2^4 = 16\) है, क्योंकि प्रत्येक गुणांक \(a_0, a_1, a_2, a_3\) या तो 0 या 1 हो सकता है।

इस प्रकार, भागफल वलय में अवयवों की संख्या 16 है, और एक गुणजावली में अवयवों की संख्या इसका भाजक होगी।

गुणजावलीों की संभावित गणनीयता 16 के भाजक हैं, जो 1, 2, 4, 8, 16 हैं। विकल्पों के आधार पर, हमारे पास है,

विकल्प 1: 1: यह संभव है क्योंकि तुच्छ गुणजावली {0} की गणनीयता 1 है।

विकल्प 2: 8: यह संभव है क्योंकि यह वलय के आधे आकार की गुणजावली है।

विकल्प 3: 16: एक गुणजावली के रूप में संपूर्ण वलय की गणनीयता 16 है।

विकल्प 4: 24: यह संभव नहीं है क्योंकि 24, 16 का भाजक नहीं है।

इसलिए, विकल्प 1), 2) और 3) सही हैं।

संप्रत्यय -

(i) गुणजावली -

एक वलय (R) में एक आदर्श (I), (R) का एक ऐसा उपसमुच्चय होता है जिसके लिए:

किसी भी (a, b ∈ I) के लिए, (a - b ∈ I)। (घटाव के अंतर्गत संवृत)
किसी भी (r ∈ R) और (a ∈ I) के लिए, (ra) और (ar ∈ I) दोनों। (वलय अवयवों के साथ गुणन के अंतर्गत अवशोषक)

(ii) उच्चिष्ठ गुणजावली  -

एक गुणजावली  (M ⊂ R) उच्चिष्ठ होती है यदि (M) स्वयं और (R) के अलावा कोई अन्य गुणजावली  (I) नहीं है जहाँ (M ⊂ I ⊂ R) हो।

(iii) अभाज्य आदर्श -

एक क्रमविनिमेय वलय (R) में एक गुणजावली  (P) अभाज्य होता है यदि किन्हीं भी अवयवों (a, b ∈ R) के लिए, यदि (ab ∈ P) है, तो या तो (a ∈ P) या (b ∈ P) है। 

व्याख्या -

विकल्प (1) के लिए -

यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है कि I, R की एक उच्चिष्ठ गुणजावली है, इस अर्थ में कि R के अलावा I से बड़ी कोई अन्य गुणजावली नहीं है।

प्रश्न में दिए गए अर्थ में I का उच्चिष्ठ होना यह नहीं दर्शाता है कि यह समग्र वलय संरचना में उच्चिष्ठ है।

विकल्प (2) के लिए -

एक क्रमविनिमेय वलय R में एक गुणजावली I को अभाज्य कहा जाता है यदि किसी भी a, b ∈ R के लिए, यदि ab ∈ I है, तो या तो a ∈ I या b ∈ I है।

दी गई शर्त, कि I इस गुण के संबंध में उच्चिष्ठ है कि S ∩ I = Ø (जहाँ S एक गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय है जिसमें 0 नहीं है), एक अभाज्य आदर्श के रूप में जाना जाने वाले की एक प्रमुख विशेषता है।

विकल्प (3) के लिए -

I = (1), आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि (1) संपूर्ण वलय R है,

जो इस धारणा का खंडन करता है कि एक गुणजावली S के साथ प्रतिच्छेदन नहीं करने के संबंध में उच्चिष्ठ है (चूँकि S में शून्येतर अवयव हैं, और संपूर्ण वलय निश्चित रूप से S के साथ प्रतिच्छेदन करेगा)।

विकल्प (4) के लिए -

I = (0), आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि (0) सबसे छोटी गुणजावली है, और प्रश्न स्पष्ट रूप से बताता है कि I इस शर्त के संबंध में अधिकतम है कि यह S के साथ प्रतिच्छेदन नहीं करता है,

इसलिए R की संरचना और S के चुनाव के आधार पर (0) के अलावा कई गुणजावली हो सकती हैं जो इसे संतुष्ट करते हैं।

इसलिए, विकल्प (2) सही है।