Galois Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Galois Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Galois Theory MCQ Objective Questions
Galois Theory Question 1:
मान लीजिए f(x) = x 3 - 2 ∈ ℚ[X] और मान लीजिए K ⊂ ℂ ℚ पर f(X) का विभाजन क्षेत्र है।
मान लीजिए ω = e 2πi/3 है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 1 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 और 4 है।
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Galois Theory Question 2:
मान लीजिए E, F का गाल्वा समूह G के साथ परिमित बीजगणतीय गाल्वा विस्तार है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 2 Detailed Solution
व्याख्या -
परिणाम (1) का उपयोग करते हुए, F का एक विस्तार E उपस्थित है जहाँ G(E | F) = Q8 है और चूँकि Q8 का प्रत्येक उचित उपसमूह सामान्य उपसमूह है, इसलिए प्रत्येक उचित मध्यवर्ती क्षेत्र K, F का गाल्वा विस्तार है, लेकिन Q8 गैर-आबेलीय है।
इसलिए विकल्प (1) और (2) गलत हैं।
विकल्प (3) के लिए:
दिया गया है कि E में F और E सहित ठीक 3 मध्यवर्ती क्षेत्र हैं।
इसलिए, G में केवल 3 उपसमूह भी हैं और G परिमित है। अब, यदि दो अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ क्रम o(G) को विभाजित करती हैं, मान लीजिए p और q, तो G में कम से कम 4 उपसमूह होंगे। इसलिए o(G) = pr कुछ r ∈ ℕ और p अभाज्य के लिए भी यदि r ≥ 23, तो सिलो के पहले प्रमेय का उपयोग करके 3 से अधिक उपसमूह होंगे और यदि r = 1, तो G में केवल दो उपसमूह होंगे।
इस प्रकार o(G ) = p2 कुछ अभाज्य p के लिए।
G आबेली है और (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए:
दिया गया है कि [E : F = 99] इसलिए गाल्वा समूह G क्रम 99 का है
और क्रम 99 का प्रत्येक समूह आबेलीय है। (बाद में सिद्ध किया जाएगा)
इसलिए G का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है इसलिए प्रत्येक मध्यवर्ती क्षेत्र F का गाल्वा विस्तार है।
इसलिए, विकल्प (4) सही है।
दावा: क्रम 99 का प्रत्येक समूह आबेली है।
प्रमाण: मान लीजिए o(G) = 99 = 32.11, तो सिलो प्रथम प्रमेय से, एक अद्वितीय 3-SSG और एक अद्वितीय 11-SSG है, मान लीजिए क्रमशः H और K
अब o(HK) = \(\rm \frac{9.11}{1}=99\) = o(G)
और H ∩ K = {e} और \(H,K \unlhd G\)
इस प्रकार G, H और K का आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद है।
⇒ G ≅ H x K, जहाँ o(H) = 9 और o(K) = 11.S = ϕ
⇒ G दो आबेली समूहों के बाह्य प्रत्यक्ष उत्पाद के समरूप है।
⇒ G आबेली है।
इसलिए विकल्प (3) और (4) सही हैं।
Galois Theory Question 3:
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
(1) एक ऐसा विस्तार जिसकी कोटि परिमित हो, उसे परिमित क्षेत्र विस्तार कहते हैं।
(2) एक गैलॉइस विस्तार एक बीजीय क्षेत्र विस्तार E/F है जो प्रसामान्य और पृथक्करणीय है।
(3) एक परिमित क्षेत्र का प्रत्येक परिमित विस्तार गैलॉइस होता है।
∴ (3) से, विकल्प (3) सही है।
चूँकि F2 एक परिमित क्षेत्र है।
⇒ F2 के सभी परिमित विस्तार गैलॉइस हैं।
(4) एक द्विघाती विस्तार एक प्रसामान्य विस्तार है।
(5) यदि char(k) = 0 तो K का प्रत्येक बीजीय विस्तार पृथक्करणीय है।
(6) एक परिमित विस्तार एक बीजीय विस्तार है।
विकल्प (4) मान लीजिये E, Q का विस्तार इस प्रकार है कि [E ∶ Q] = 2
चूँकि, कोटि परिमित है ⇒ परिमित विस्तार ⇒ बीजीय विस्तार
साथ ही, char (Q) = 0 ⇒ E पृथक्करणीय है।
और विस्तार की कोटि 2 ⇒ E एक द्विघाती विस्तार है।
⇒ E एक प्रसामान्य विस्तार है।
∴ E प्रसामान्य और पृथक्करणीय दोनों विस्तार है।
∵ E कोटि 2 का एक स्वेच्छ विस्तार है।
⇒ Q का कोटि 2 का प्रत्येक क्षेत्र विस्तार एक प्रसामान्य और पृथक्करणीय विस्तार है और इसलिए गैलॉइस विस्तार है।
∴ Q का कोटि 2 का कोई क्षेत्र विस्तार जो गैलॉइस नहीं है।
विकल्प (4) सही नहीं है।
(1) मान लीजिये K = Q(\(\sqrt[3]{2}\)) Q पर
तब K, Q का एक परिमित और इसलिए बीजीय विस्तार है जिसकी कोटि 3 है और न्यूनतम बहुपद x3 − 2 है।
लेकिन f(x) = x3 − 2 के केवल Q में एक ही मूल है, Q में सभी मूल नहीं हैं।
⇒ f(x) Q में रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं होता है।
⇒ K एक प्रसामान्य विस्तार नहीं है।
⇒ K एक गैलॉइस विस्तार नहीं है।
∴ Q के सभी परिमित विस्तार गैलॉइस नहीं हैं।
विकल्प (1) सही नहीं है।
(2) K = Q\(\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\right)\) = Q(ξ1 + ξ−1), जहाँ ξ1 1 का एक आद्य 7वाँ मूल है।
या ξ = ei2π/7, ξ−1 = ξ6 = ei12π/7
इसका न्यूनतम बहुपद है,
f(x) = x3 + x2 − 2x − 1 = [x − (ξ + ξ6)] [x − (ξ2 + ξ5)] [x − (ξ3 + ξ4)]
∴ [K ∶ Q] = 3
इसके अलावा, f(x) का गैलॉइस समूह कोटि 3 का चक्रीय है।
⇒ K, Q का कोटि 3 का एक गैलॉइस विस्तार है।
विकल्प (2) सही है।
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Galois Theory Question 4:
मान लीजिए f(x) = x 3 - 2 ∈ ℚ[X] और मान लीजिए K ⊂ ℂ ℚ पर f(X) का विभाजन क्षेत्र है।
मान लीजिए ω = e 2πi/3 है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 4 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 और 4 है।
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Galois Theory Question 5:
मान लीजिए E, F का गाल्वा समूह G के साथ परिमित बीजगणतीय गाल्वा विस्तार है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 5 Detailed Solution
व्याख्या -
परिणाम (1) का उपयोग करते हुए, F का एक विस्तार E उपस्थित है जहाँ G(E | F) = Q8 है और चूँकि Q8 का प्रत्येक उचित उपसमूह सामान्य उपसमूह है, इसलिए प्रत्येक उचित मध्यवर्ती क्षेत्र K, F का गाल्वा विस्तार है, लेकिन Q8 गैर-आबेलीय है।
इसलिए विकल्प (1) और (2) गलत हैं।
विकल्प (3) के लिए:
दिया गया है कि E में F और E सहित ठीक 3 मध्यवर्ती क्षेत्र हैं।
इसलिए, G में केवल 3 उपसमूह भी हैं और G परिमित है। अब, यदि दो अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ क्रम o(G) को विभाजित करती हैं, मान लीजिए p और q, तो G में कम से कम 4 उपसमूह होंगे। इसलिए o(G) = pr कुछ r ∈ ℕ और p अभाज्य के लिए भी यदि r ≥ 23, तो सिलो के पहले प्रमेय का उपयोग करके 3 से अधिक उपसमूह होंगे और यदि r = 1, तो G में केवल दो उपसमूह होंगे।
इस प्रकार o(G ) = p2 कुछ अभाज्य p के लिए।
G आबेली है और (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए:
दिया गया है कि [E : F = 99] इसलिए गाल्वा समूह G क्रम 99 का है
और क्रम 99 का प्रत्येक समूह आबेलीय है। (बाद में सिद्ध किया जाएगा)
इसलिए G का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है इसलिए प्रत्येक मध्यवर्ती क्षेत्र F का गाल्वा विस्तार है।
इसलिए, विकल्प (4) सही है।
दावा: क्रम 99 का प्रत्येक समूह आबेली है।
प्रमाण: मान लीजिए o(G) = 99 = 32.11, तो सिलो प्रथम प्रमेय से, एक अद्वितीय 3-SSG और एक अद्वितीय 11-SSG है, मान लीजिए क्रमशः H और K
अब o(HK) = \(\rm \frac{9.11}{1}=99\) = o(G)
और H ∩ K = {e} और \(H,K \unlhd G\)
इस प्रकार G, H और K का आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद है।
⇒ G ≅ H x K, जहाँ o(H) = 9 और o(K) = 11.S = ϕ
⇒ G दो आबेली समूहों के बाह्य प्रत्यक्ष उत्पाद के समरूप है।
⇒ G आबेली है।
इसलिए विकल्प (3) और (4) सही हैं।
Galois Theory Question 6:
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Galois Theory Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
(1) एक ऐसा विस्तार जिसकी कोटि परिमित हो, उसे परिमित क्षेत्र विस्तार कहते हैं।
(2) एक गैलॉइस विस्तार एक बीजीय क्षेत्र विस्तार E/F है जो प्रसामान्य और पृथक्करणीय है।
(3) एक परिमित क्षेत्र का प्रत्येक परिमित विस्तार गैलॉइस होता है।
∴ (3) से, विकल्प (3) सही है।
चूँकि F2 एक परिमित क्षेत्र है।
⇒ F2 के सभी परिमित विस्तार गैलॉइस हैं।
(4) एक द्विघाती विस्तार एक प्रसामान्य विस्तार है।
(5) यदि char(k) = 0 तो K का प्रत्येक बीजीय विस्तार पृथक्करणीय है।
(6) एक परिमित विस्तार एक बीजीय विस्तार है।
विकल्प (4) मान लीजिये E, Q का विस्तार इस प्रकार है कि [E ∶ Q] = 2
चूँकि, कोटि परिमित है ⇒ परिमित विस्तार ⇒ बीजीय विस्तार
साथ ही, char (Q) = 0 ⇒ E पृथक्करणीय है।
और विस्तार की कोटि 2 ⇒ E एक द्विघाती विस्तार है।
⇒ E एक प्रसामान्य विस्तार है।
∴ E प्रसामान्य और पृथक्करणीय दोनों विस्तार है।
∵ E कोटि 2 का एक स्वेच्छ विस्तार है।
⇒ Q का कोटि 2 का प्रत्येक क्षेत्र विस्तार एक प्रसामान्य और पृथक्करणीय विस्तार है और इसलिए गैलॉइस विस्तार है।
∴ Q का कोटि 2 का कोई क्षेत्र विस्तार जो गैलॉइस नहीं है।
विकल्प (4) सही नहीं है।
(1) मान लीजिये K = Q(\(\sqrt[3]{2}\)) Q पर
तब K, Q का एक परिमित और इसलिए बीजीय विस्तार है जिसकी कोटि 3 है और न्यूनतम बहुपद x3 − 2 है।
लेकिन f(x) = x3 − 2 के केवल Q में एक ही मूल है, Q में सभी मूल नहीं हैं।
⇒ f(x) Q में रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं होता है।
⇒ K एक प्रसामान्य विस्तार नहीं है।
⇒ K एक गैलॉइस विस्तार नहीं है।
∴ Q के सभी परिमित विस्तार गैलॉइस नहीं हैं।
विकल्प (1) सही नहीं है।
(2) K = Q\(\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\right)\) = Q(ξ1 + ξ−1), जहाँ ξ1 1 का एक आद्य 7वाँ मूल है।
या ξ = ei2π/7, ξ−1 = ξ6 = ei12π/7
इसका न्यूनतम बहुपद है,
f(x) = x3 + x2 − 2x − 1 = [x − (ξ + ξ6)] [x − (ξ2 + ξ5)] [x − (ξ3 + ξ4)]
∴ [K ∶ Q] = 3
इसके अलावा, f(x) का गैलॉइस समूह कोटि 3 का चक्रीय है।
⇒ K, Q का कोटि 3 का एक गैलॉइस विस्तार है।
विकल्प (2) सही है।