वलय \(\rm R=\left\{\Sigma_{n \in Z} a_n X^n \left|a_n \in Z; \ and \ a_n \ne 0\ only\ for\ finitely\ many \ n \in Z\right.\right\}\) पर विचार करें जहाँ योग और गुणन \(\rm \Sigma_{n \in Z}a_n X^n+\rm \Sigma_{n \in Z}b_n X^n=\rm \Sigma_{n \in Z}(a_n+b_n)X^n\) द्वारा दिए गए हैं।

\(\rm \left(\rm \Sigma_{n \in Z}a_n X^n\right)\rm (\Sigma_{n \in Z}b_m X^m)=\rm \Sigma_{k \in Z}(\Sigma_{n+m=k}a_nb_m) X^k\)

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

उच्चिष्ठ गुणजावली : वलय R में एक उच्चिष्ठ गुणजावली I एक ऐसी गुणजावली है जिसके लिए भागफल वलय R/I एक क्षेत्र है।

अभाज्य गुणजावली : वलय R में एक अभाज्य गुणजावली P एक ऐसी गुणजावली है कि यदि दो अवयवों का गुणनफल P में है, तो कम से कम एक अवयव P में होना चाहिए।

व्याख्या:

\(R = \left\{ \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \mid a_n \in \mathbb{Z}, \text{ and } a_n \neq 0 \text{ for finitely many } n \in \mathbb{Z} \right\}\)

वलय में योग और गुणन इस प्रकार परिभाषित हैं:

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) + \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n X^n \right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (a_n + b_n) X^n \)

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_m X^m \right) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left( \sum_{n+m=k} a_n b_m \right) X^k\)

विकल्प 1:

इस वलय में योग स्पष्ट रूप से क्रमविनिमेय है क्योंकि किसी भी वलय में बहुपदों का योग क्रमविनिमेय होता है।

अब गुणन पर विचार करें। मानक बहुपद वलयों में, गुणन तब तक क्रमविनिमेय होता है जब तक कि

गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय (इस मामले में, पूर्णांक \( \mathbb{Z} \) ) से आते हैं।

चूँकि \( \mathbb{Z} \) गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है, और घातांक \(X^n\) क्रमविनिमेय गुणन नियमों का पालन करते हैं

(अर्थात, \(X^n X^m = X^{n+m} \)), वलय R भी गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है।

इसलिए, कथन R क्रमविनिमेय नहीं है असत्य है।

विकल्प 2:

गुणजावली \(X-1 \) उच्चिष्ठ होगी यदि R/\(X-1 \) एक क्षेत्र है।

हालाँकि, यह वर्णित R वलय में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि R/\(X-1 \) के एक क्षेत्र होने की संभावना नहीं है। 

(यह एक सरल वलय में कम हो सकता है, लेकिन क्षेत्र नहीं)।

विकल्प 3:

(X - 1, 2) कुछ बहुपद वलयों में, विशेष रूप से पूर्णांकों पर, एक मानक प्रकार की गुणजावली है। एक अभाज्य गुणजावली के लिए, यह शर्त होनी चाहिए कि अवयवों का गुणन गुणजावली के भीतर ही रहे।

विकल्प 4:

\( (X, 5)\) एक उच्चिष्ठ गुणजावली के रूप में: यदि \( (X, 5)\) उच्चिष्ठ है, तो भागफल R/\( (X, 5)\) एक क्षेत्र होना चाहिए।

जबकि कुछ वलयों में यह एक क्षेत्र हो सकता है, इसे अधिक सत्यापन की आवश्यकता है।

इसलिए, विकल्प 3) सही है।