Field & Field Extensions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Field & Field Extensions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

कोटि pn के एक परिमित क्षेत्र के लिए (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है), उचित उपक्षेत्र n के भाजकों के संगत होते हैं।

दिया गया है:

माना कि F कोटि 16384 का एक क्षेत्र है।

ज्ञात करना है: F के उचित उपक्षेत्रों की संख्या

व्याख्या:

F की कोटि, जो 16384 है, 2 की घात है (चूँकि 16384 = 2¹⁴)।

कोटि pⁿ के एक परिमित क्षेत्र के लिए (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है), उचित उपक्षेत्र n के भाजकों के संगत होते हैं।

यहाँ, n = 14 है,

इसलिए हम 14 के भाजक ज्ञात करते हैं: 1, 2, 7, 14।

प्रत्येक भाजक कोटि 2^d वाले एक उपक्षेत्र को दर्शाता है जहाँ d, 14 का भाजक है,

d = 14 को छोड़कर (जो स्वयं क्षेत्र F देगा, न कि उचित उपक्षेत्र)।

इस प्रकार, उचित उपक्षेत्रों की संख्या 14 के भाजकों की संख्या है, 14 को छोड़कर, जो 3 उचित उपक्षेत्र देता है।

उत्तर: F के उचित उपक्षेत्रों की संख्या 3 है।

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

1. परिमित क्षेत्रों के उपक्षेत्र: एक परिमित क्षेत्र \( \mathbb{F}_q \) में उपक्षेत्रों की संख्या q के भाजकों के संगत होती है।

विशेष रूप से, यदि \(q = p^n\) (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है), तो विभिन्न उपक्षेत्रों की संख्या n के भाजकों की संख्या के बराबर होती है।

2. उपक्षेत्रों की गणना: यदि \(q = p^n\), तो उपक्षेत्रों की संख्या \(d(n)\) है, जहाँ \(d(n)\) n के भाजकों की संख्या है।

हमें n इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है कि \(d(n)\)= 6 हो।

3. भाजक फलन: यदि हम n का अभाज्य गुणनखंडन जानते हैं तो भाजकों की संख्या \(d(n)\) की गणना की जा सकती है।

\( n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \implies d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)\)

व्याख्या:

विकल्प 1: \(q = 2^{18}\)

यहाँ, n = 18 है।

d(18) = (1 + 1)(2 + 1) = \(2 \times 3 = 6 (since 18 = 2^1 \cdot 3^2 )\).

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 2: \(q = 2^{32}\)

यहाँ, n = 32 है।

d(32) = 6

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 3: \(q = 2^{12} \)

यहाँ, n = 12 है।

d(12) = (2 + 1)(1 + 1) = \(3 \times 2 = 6 (since 12 = 2^2 \cdot 3^1 ).\)

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 4: \(q = 2^{243}\)

यहाँ, n = 243 है।

d(243) = 6

यह एक मान्य विकल्प है।

इसलिए, सभी विकल्प सही हैं।

अवधारणा:

यदि F एक परिमित क्षेत्र है तो (F*, ⋅) क्रम O(F) - 1 का एक चक्रीय समूह है।

स्पष्टीकरण:

𝔽27 आकार 27 के परिमित क्षेत्र को दर्शाता है।

प्रत्येक α ∈ 𝔽 27 के लिए, हम परिभाषित करते हैं

Aα = (1, 1 + α, 1 + α + α2, 1 + α + α2 + α3, ...}.

(1): अतः, ( 𝔽*27 , ⋅ ) क्रम 27 - 1 = 26 का एक चक्रीय समूह है।

∴ चक्रीय समूह का जनक = ϕ(26) = ϕ(2 × 13) = 26(1-1/2)(1 - 1/13)

= 26 × \(\frac12\times {12\over 13}\) = 12

इसलिए, α ∈ 𝔽 27 की संख्या इस प्रकार है कि ∣A α∣ = 26 = 12

अतः, विकल्प (1) सत्य है

(2): माना α ≠ 0

⇔ α ∈ 𝔽* 27 ,

मान लें α का क्रम k है तो

⇔ αk = 1 

⇔ αk - 1 = 0 

⇔ (α - 1)(αk-1 + αk-2 + ... + 1) = 0

⇔ α = 1 or αk-1 + αk-2 + ... + 1 = 0 

⇔ 0 ∈ Aα 

अतः, विकल्प (2) सत्य है

(3): Aα = (1, 1 + α, 1 + α + α2, 1 + α + α2 + α3, ..

यदि α = 1 तो A1 = {0, 1, 2} अतः, |A 1 | = 3

अतः विकल्प (3) गलत है

(4): \(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) = \(A_0\cap A_{α_1}\cap A_{α_2}\cap A_{α_{26}}\)

= \(\{1\}\cap A_{α_1}\cap A_{α_2}\cap A_{α_{26}}\) (जैसा कि A ₀ = {1})

= {1}

\(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) एक एकल अवयव समुच्चय है।

इसी प्रकार अन्य α के लिए भी हमें \(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) एकल अवयव समुच्चय प्राप्त होगा।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा -

बीजीय अगम प्रमेय - प्रत्येक क्षेत्र का एक बीजीय अगम होता है और जब क्षेत्र K के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर विचार किया जाता है, तो यह प्रमेय दर्शाता है कि C, K का एक बीजीय विस्तार है।

व्याख्या:

बीजीय अगम प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक क्षेत्र का एक बीजीय अगम होता है और जब क्षेत्र K के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर विचार किया जाता है, तो यह प्रमेय दर्शाता है कि C, K का एक बीजीय विस्तार है।

चूँकि K, ℂ का एक उचित उपक्षेत्र है और ℝ में समाहित नहीं है, इसलिए K में कुछ सम्मिश्र संख्याएँ होनी चाहिए।

इसलिए, बीजीय अगम प्रमेय द्वारा, ℂ, K का एक बीजीय विस्तार है।

अतः विकल्प 3 सही है।

अवधारणा -

बीजीय अगम प्रमेय - प्रत्येक क्षेत्र का एक बीजीय अगम होता है और जब क्षेत्र K के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर विचार किया जाता है, तो यह प्रमेय दर्शाता है कि C, K का एक बीजीय विस्तार है।

व्याख्या:

बीजीय अगम प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक क्षेत्र का एक बीजीय अगम होता है और जब क्षेत्र K के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर विचार किया जाता है, तो यह प्रमेय दर्शाता है कि C, K का एक बीजीय विस्तार है।

चूँकि K, ℂ का एक उचित उपक्षेत्र है और ℝ में समाहित नहीं है, इसलिए K में कुछ सम्मिश्र संख्याएँ होनी चाहिए।

इसलिए, बीजीय अगम प्रमेय द्वारा, ℂ, K का एक बीजीय विस्तार है।

अतः विकल्प 3 सही है।

प्रयुक्त संकल्पना:

\( a+b \sqrt{D}\) के रूप का एक बीजगणितीय पूर्णांक जहाँ D वर्ग मुक्त है, एक द्विघात क्षेत्र बनाता है और इसे \( \mathbb{Q}(\sqrt{D})\) द्वारा दर्शाया जाता है। यदि D>0 है, तो क्षेत्र को वास्तविक द्विघात क्षेत्र कहा जाता है, और यदि D<0 है, तो इसे एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र कहा जाता है। \( \mathbb{Q}(\sqrt{1})\) में पूर्णांकों को केवल पूर्णांक कहा जाता है। \( \mathbb{Q}(\sqrt{-1})\) में पूर्णांकों को गॉसियन पूर्णांक कहा जाता है, और \( \mathbb{Q}(\sqrt{-3})\) में पूर्णांकों को आइन्स्टीन पूर्णांक कहा जाता है।

सरल द्विघात क्षेत्र: यदि द्विघात क्षेत्र में सभी बीजगणितीय पूर्णांकों को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो द्विघात क्षेत्र को सरल द्विघात क्षेत्र कहा जाता है।

अवधारणा:

यदि F एक परिमित क्षेत्र है तो (F*, ⋅) क्रम O(F) - 1 का एक चक्रीय समूह है।

स्पष्टीकरण:

𝔽27 आकार 27 के परिमित क्षेत्र को दर्शाता है।

प्रत्येक α ∈ 𝔽 27 के लिए, हम परिभाषित करते हैं

Aα = (1, 1 + α, 1 + α + α2, 1 + α + α2 + α3, ...}.

(1): अतः, ( 𝔽*27 , ⋅ ) क्रम 27 - 1 = 26 का एक चक्रीय समूह है।

∴ चक्रीय समूह का जनक = ϕ(26) = ϕ(2 × 13) = 26(1-1/2)(1 - 1/13)

= 26 × \(\frac12\times {12\over 13}\) = 12

इसलिए, α ∈ 𝔽 27 की संख्या इस प्रकार है कि ∣A α∣ = 26 = 12

अतः, विकल्प (1) सत्य है

(2): माना α ≠ 0

⇔ α ∈ 𝔽* 27 ,

मान लें α का क्रम k है तो

⇔ αk = 1 

⇔ αk - 1 = 0 

⇔ (α - 1)(αk-1 + αk-2 + ... + 1) = 0

⇔ α = 1 or αk-1 + αk-2 + ... + 1 = 0 

⇔ 0 ∈ Aα 

अतः, विकल्प (2) सत्य है

(3): Aα = (1, 1 + α, 1 + α + α2, 1 + α + α2 + α3, ..

यदि α = 1 तो A1 = {0, 1, 2} अतः, |A 1 | = 3

अतः विकल्प (3) गलत है

(4): \(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) = \(A_0\cap A_{α_1}\cap A_{α_2}\cap A_{α_{26}}\)

= \(\{1\}\cap A_{α_1}\cap A_{α_2}\cap A_{α_{26}}\) (जैसा कि A ₀ = {1})

= {1}

\(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) एक एकल अवयव समुच्चय है।

इसी प्रकार अन्य α के लिए भी हमें \(∩_{α∈𝔽_{27}}A_{α}\) एकल अवयव समुच्चय प्राप्त होगा।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

दिया गया है:

चार कथन दिए गए हैं जिनमें हमें यह ज्ञात करना है कि कौन सा यूक्लिडीय डोमेन नहीं है।

प्रयुक्त संकल्पना:

यूक्लिडीय  डोमेन: मान लीजिए कि R एक समाकल डोमेन है, अर्थात, R शून्य भाजकों के बिना एक क्रमविनिमेय वलय है। तब R को एक यूक्लिडीय वलय कहा जाता है यदि प्रत्येक शून्येतर अवयव a \(\in\) R को हम एक अऋणात्मक पूर्णांक d(a) निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे:

1.   सभी a, b \(\in\) R, दोनों शून्येतर, d(ab) ≥ d(a) के लिए।
2.   किसी भी a, b ∈ IFrame R और b \(\neq\) 0 के लिए, q, r \(\in\) R ऐसे शामिल हैं कि a = qb + r जहां या तो r = 0 या d(r) < d(b) है।

हल:

विकल्प 1: Z[i] गाउसीय पूर्णांकों का एक वलय है जो एक यूक्लिडीय  डोमेन है।

मान लीजिए (G, +, .) गाउसीय पूर्णांकों का वलय है जहाँ G = {x + iy : x, y \(\in\) Z}

मान लीजिए कि G के शून्येतर अवयवों पर d फलन को d(x + iy) = x2 + y2 \(\forall\) 0 + i0 \(\neq\) x + iy \(\in\) G के रूप में परिभाषित किया गया है।

अब यदि x + iy G का एक शून्येतर अवयव है तो इसे अऋणात्मक पूर्णांक परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार हमने G के प्रत्येक शून्येतर अवयव को एक अऋणात्मक पूर्णांक निर्दिष्ट किया जाता है।

यदि x + iy और m + in, G के दो शून्येतर अवयव हैं, तब d[ (x + iy) (m +in)] = d [(xm - ny) + i(my + xn)]

⇒ (xm - ny)² + (my + xn)²

⇒ x² m² + n² y² + m² y² + x² n²

⇒ (x² + y²) (m² + n²)

⇒ ≥ x² + y² {चूँकि m² + n² ≥ 1}

इस प्रकार d[(x + iy) (m + in)] ≥ d (x + iy)

अब ​G में विभाजन कलन-विधि के अस्तित्व को दर्शाने के लिए।

माना \(\alpha\) \(\in\) G और मान लीजिए कि \(\beta\) G का एक शून्येतर अवयव है। मान लीजिए  \(\alpha\) = x + iy और \(\beta\) = m + in है। तो समीकरण द्वारा एक सम्मिश्र संख्या परिभाषित कीजिये।

\(\gamma\) = \(\frac{\alpha}{\beta}\) = \(\frac{x + iy}{m + in}\)= \(\frac{(x + iy) (m - in)}{m^2 + n^2}\)= p + iq जहाँ p, q परिमेय संख्याएँ हैं।

  यहाँ \(\gamma\)​​ आवश्यक रूप से गाउसीय पूर्णांक नहीं है।

साथ ही ​​\(\beta\) से विभाजन भी संभव \(\beta\) \(\neq\) 0 है।

मान लीजिए कि p' और q' क्रमशः p और q के निकटतम पूर्णांक हैं। तो स्पष्टत है | कि   | p - p' | ≤ \(\frac{1}{2}\), | q - q' | ≤ \(\frac{1}{2}\).

मान लीजिए \(\gamma\)'=p' + iq' है। तो \(\gamma\)' एक गाउसीय पूर्णांक है।

अब  \(\gamma\) = \(\frac{\alpha}{\beta}\) ⇒ \(\alpha\) = \(\gamma\)\(\beta\) ⇒ \(\alpha\) = \(\gamma\)' \(\beta\) + \(\gamma\)\(\beta\) - \(\gamma\)' \(\beta\).

अत:  \(\alpha\) = \(\gamma' \beta + (\gamma - \gamma') \beta\)..........................(1)

अतः यह एक गाउसीय पूर्णांक भी है।

अब यदि p और q दोनों पूर्णांक हैं तो p = p', q = q'।

तो = (p - p') + i(q - q') = 0 + i0. इस प्रकार \((\gamma - \gamma') \beta\) = 0 + i0

यदि p और q दोनों पूर्णांक नहीं हैं, तो \((\gamma - \gamma') \beta\) एक शून्येतर गाउसीय पूर्णांक है और हमारे पास है

d[\((\gamma - \gamma') \beta\)] = d [{(p - p') + i(q - q')} (m + in)]

⇒ [(p - p')2 + (q - q')2] (m2 + n2) = [(p - p')2 + (q - q')2] d(\(\beta\))

⇒ ≤ (1/4 + 1/4) d(\(\beta\))

⇒ 1/2d(\(\beta\)) < d(\(\beta\)).

इस प्रकार \(\alpha\) = \(\gamma' \beta + (\gamma - \gamma') \beta\) है, जहां \(\gamma\)' और \((\gamma - \gamma') \beta\) गाउसीय पूर्णांक हैं और या तो \((\gamma - \gamma') \beta\)= 0 या d[\((\gamma - \gamma') \beta\)] < d(\(\beta\)) है।

इसलिए गाउसीय पूर्णांक एक यूक्लिडीय डोमेन है।

विकल्प 2: N(a) = 1 के मानक N के साथ प्रत्येक क्षेत्र F एक यूक्लिडीय डोमेन है।

चूँकि N(a) = 1 के मानक N के साथ प्रत्येक क्षेत्र F, यूक्लिडीय डोमेन की दोनों शर्तों को संतुष्ट करेगा, इसलिए यह एक यूक्लिडीय डोमेन है।

विकल्प 3: पूर्णांकों का वलय एक यूक्लिडीय डोमेन है।

मान लीजिए (z, +, .) पूर्णांकों का वलय है जहाँ Z = {........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} .

मान लीजिए कि Z के शून्येतर अवयवों पर d फलन को d(a) = |a| \(\forall\) 0 \(\neq\) a \(\in\) Z के रूप में परिभाषित किया गया है। 

  अब यदि0 \(\neq\) a \(\in\) Z है, तो |a| एक शून्येतर पूर्णांक है। इस प्रकार हमने प्रत्येक शून्येतर अवयव को एक शून्येतर पूर्णांक निर्दिष्ट किया है

a \(\in\) Z.

[d (- 5)] = | - 5 | = 5, d(- 1) = | - 1 | = 1

  इसके अलावा यदि a, b \(\in\) Z और दोनों शून्येतर हैं, तो

|ab| = |a| |b|

⇒ |ab| ≥ |a| {चूँकि |b| ≥ 1 यदि 0 \(\neq\) b \(\in\) Z}

⇒ d(ab) ≥ d(a).

अंततः, हम जानते हैं कि यदि a \(\in\) Z और 0 \(\neq\) b है तो ऐसे दो पूर्णांक q और r शामिल हैं।

a = qb + r जहां 0 ≤ r < |b|

या तो r = 0 या 1 ≤ r < |b|

⇒ या तो r = 0 या d(r) < d(b).

अतः पूर्णांकों का वलय एक यूक्लिडीय डोमेन है।

विकल्प 4: N(a) = |a| द्वारा दिए गए निरपेक्ष मान के अंतर्गत परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है।

चूँकि परिमेय संख्या का क्षेत्र एक समाकल डोमेन नहीं है क्योंकि इसमें शून्य विभाजक नहीं है, इसलिए यह यूक्लिडीय डोमेन नहीं है।

 \(\therefore\) विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:

1. परिमित क्षेत्रों के उपक्षेत्र: एक परिमित क्षेत्र \( \mathbb{F}_q \) में उपक्षेत्रों की संख्या q के भाजकों के संगत होती है।

विशेष रूप से, यदि \(q = p^n\) (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है), तो विभिन्न उपक्षेत्रों की संख्या n के भाजकों की संख्या के बराबर होती है।

2. उपक्षेत्रों की गणना: यदि \(q = p^n\), तो उपक्षेत्रों की संख्या \(d(n)\) है, जहाँ \(d(n)\) n के भाजकों की संख्या है।

हमें n इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है कि \(d(n)\)= 6 हो।

3. भाजक फलन: यदि हम n का अभाज्य गुणनखंडन जानते हैं तो भाजकों की संख्या \(d(n)\) की गणना की जा सकती है।

\( n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \implies d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)\)

व्याख्या:

विकल्प 1: \(q = 2^{18}\)

यहाँ, n = 18 है।

d(18) = (1 + 1)(2 + 1) = \(2 \times 3 = 6 (since 18 = 2^1 \cdot 3^2 )\).

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 2: \(q = 2^{32}\)

यहाँ, n = 32 है।

d(32) = 6

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 3: \(q = 2^{12} \)

यहाँ, n = 12 है।

d(12) = (2 + 1)(1 + 1) = \(3 \times 2 = 6 (since 12 = 2^2 \cdot 3^1 ).\)

यह एक मान्य विकल्प है।

विकल्प 4: \(q = 2^{243}\)

यहाँ, n = 243 है।

d(243) = 6

यह एक मान्य विकल्प है।

इसलिए, सभी विकल्प सही हैं।

व्याख्या:

\(F_p\) में अवयव {0,1,2,.....p -1} होते हैं।

यदि आप दिए गए समुच्चय E को देखें तो यह \(F_p*F_p\) का उचित उपसमुच्चय है।

विकल्प 1:

मान लीजिये P विषम अभाज्य संख्या है ऐसी कि

P \(\equiv\) 2 (mod 3)

मान लीजिये P = 5

क्षेत्र \(Z_5 = F_5\) लेते हैं; \(Z_5\) = { 0, 1, 2, 3, 4 }

E, \(Z_5 * Z_5\) का उपसमुच्चय है।

E= {(x,y) \(\in\) \(F_p * F_p\) ; \(y^2=x^3+1\) }

मान लीजिये x = 0

\(y^2 = 1\); \(y= \pm\) 1

y = 1; y = 4

x = 1 ; \(y^2 \neq 2\) (संभव नहीं)

x = 2 \(y^2= 9; y = \pm3\)

y = 3, y = 2

x = 3, \(y^2=28, y^2=3 (mod Z_5)\)

\(\nexists\) कोई y \(\in\) \(Z_5\) ऐसा कि \(y^2=3\)

x = 4, \(y^2= 64+1=65 =0 ;y=0\)

E = {(0,1),(0,4), (2,3),( 2,2), (4,0)}

E में कम से कम दो अवयव और अधिकतम 2p अवयव हैं।

विकल्प (1) और (2) सही हैं।

विकल्प (1) में दिए गए तर्क के समान ही, विकल्प (3) और (4) गलत हैं।

अवधारणा:

कोटि pn के एक परिमित क्षेत्र के लिए (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है), उचित उपक्षेत्र n के भाजकों के संगत होते हैं।

दिया गया है:

माना कि F कोटि 16384 का एक क्षेत्र है।

ज्ञात करना है: F के उचित उपक्षेत्रों की संख्या

व्याख्या:

F की कोटि, जो 16384 है, 2 की घात है (चूँकि 16384 = 2¹⁴)।

कोटि pⁿ के एक परिमित क्षेत्र के लिए (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है), उचित उपक्षेत्र n के भाजकों के संगत होते हैं।

यहाँ, n = 14 है,

इसलिए हम 14 के भाजक ज्ञात करते हैं: 1, 2, 7, 14।

प्रत्येक भाजक कोटि 2^d वाले एक उपक्षेत्र को दर्शाता है जहाँ d, 14 का भाजक है,

d = 14 को छोड़कर (जो स्वयं क्षेत्र F देगा, न कि उचित उपक्षेत्र)।

इस प्रकार, उचित उपक्षेत्रों की संख्या 14 के भाजकों की संख्या है, 14 को छोड़कर, जो 3 उचित उपक्षेत्र देता है।

उत्तर: F के उचित उपक्षेत्रों की संख्या 3 है।

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।