Random Variables Basics MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Random Variables Basics - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

పద్ధతి: 

రాండమ్ వేరియబుల్ 'x'ని విశ్లేషించడానికి రెండు విధులు ఉపయోగించబడతాయి.

1) PDF (సంభావ్యత పంపిణీ పద్ధతి)

2) pdf (సంభావ్యత సాంద్రత పద్ధతి)

CDF మరియు pdf వీటికి సంబంధించినవి:

$CDF=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}PDFdx$  ----(1)

PDF లక్షణాలు:

1) $f_X\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }xϵR$

∴ CDF విలువ 0 మరియు 1 మధ్య పరిమితంగా ఉంటుంది

2) $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X\left(x\right)dx=P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=1$      ----(2)

ఇక్కడ PX అనేది CDF

$P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ x\to \mathrm{\infty }\end{array}{P}_X\left(x\right)$

∴ సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి CDF ఎల్లప్పుడూ మార్పు లేకుండా పెరిగే అంశంగా ఉంటుంది.

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

$\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{F}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{c}{\sqrt{x}},& 0<x<4\\ 0,& otherwise\end{array}$

సమీకరణం (2) నుంచి:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{c}{\sqrt{x}}dx=1$

$[2c\sqrt{x}{]}_0^4=1$

4c = 1

$c=\frac{1}{4}$

కావున సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

సూత్రము

విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2

సాధన

E(X) = μx = μ

⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)

⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6

⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

⇒ 7/2

E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)

⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6

⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)

⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)

⇒ 91/6

విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2

⇒ 91/6 – (7/2)2

⇒ 91/6 – 49/4

∴ విస్తృతి X 35/12

ఇచ్చినది

P(3) = P(4)

భావన:  

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా 

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది. 

పాయిజన్ పంపిణీ  f(x) = (e-λ × λx)/x! 

x = 0, 1, 2, 3---- మరియు  λ = సగటు 

లెక్కింపు 

ఇక్కడ x = 3 and 4

⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4 

∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4

ఇచ్చిన

పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9

లెక్కింపు

విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం

∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9

లెక్కింపు 

యాదృచ్చిక వేరియబుల్ అంచనా విలువ మనకు తెలుసు 

f(x) = ∑xipi

 I = 1, 2, 3,-----n

f(x) = P1x1 + P2x2 + P3x3 + P4x4 + P5x5

⇒ f(x) = 0.1 × 2 + 0.3 × 4 + 0.4 × 6 + 0.1 × 8 + 0.1 × 10

⇒ 0.2 + 1.2 + 2.4 + 0.8 + 1

∴ f(x) = 5.6

ఇచ్చినది

P(3) = P(4)

భావన:  

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా 

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది. 

పాయిజన్ పంపిణీ  f(x) = (e-λ × λx)/x! 

x = 0, 1, 2, 3---- మరియు  λ = సగటు 

లెక్కింపు 

ఇక్కడ x = 3 and 4

⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4 

∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4

ఇచ్చిన

పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9

లెక్కింపు

విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం

∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9

సూత్రము

విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2

సాధన

E(X) = μx = μ

⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)

⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6

⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

⇒ 7/2

E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)

⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6

⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)

⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)

⇒ 91/6

విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2

⇒ 91/6 – (7/2)2

⇒ 91/6 – 49/4

∴ విస్తృతి X 35/12

లెక్కింపు 

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్= నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ సంపూర్ణ సుష్ట ఆకారంతో వస్తుంది అంటే పంపిణీ వక్రరేకను మధ్యలో విభజించి రెండు సమాన బహగలను ఉత్పత్తి చేయవచ్చు.  

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రక్రియ అనేది  కింది విధంగా సూచించబడుతుంది.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2$

f(x) = సంభావ్యత సాంద్రత ప్రక్రియ 

σ = ప్రామాణిక విచలనం 

μ = సగటు

సాధారణ పంపిణీలో కేంద్రం గురించి సమరూపత మరియు దానిలో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ 

∴ నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ  

లెక్కింపు 

యాదృచ్చిక వేరియబుల్ అంచనా విలువ మనకు తెలుసు 

f(x) = ∑xipi

 I = 1, 2, 3,-----n

f(x) = P1x1 + P2x2 + P3x3 + P4x4 + P5x5

⇒ f(x) = 0.1 × 2 + 0.3 × 4 + 0.4 × 6 + 0.1 × 8 + 0.1 × 10

⇒ 0.2 + 1.2 + 2.4 + 0.8 + 1

∴ f(x) = 5.6

పద్ధతి: 

రాండమ్ వేరియబుల్ 'x'ని విశ్లేషించడానికి రెండు విధులు ఉపయోగించబడతాయి.

1) PDF (సంభావ్యత పంపిణీ పద్ధతి)

2) pdf (సంభావ్యత సాంద్రత పద్ధతి)

CDF మరియు pdf వీటికి సంబంధించినవి:

$CDF=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}PDFdx$  ----(1)

PDF లక్షణాలు:

1) $f_X\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }xϵR$

∴ CDF విలువ 0 మరియు 1 మధ్య పరిమితంగా ఉంటుంది

2) $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X\left(x\right)dx=P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=1$      ----(2)

ఇక్కడ PX అనేది CDF

$P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ x\to \mathrm{\infty }\end{array}{P}_X\left(x\right)$

∴ సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి CDF ఎల్లప్పుడూ మార్పు లేకుండా పెరిగే అంశంగా ఉంటుంది.

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

$\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{F}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{c}{\sqrt{x}},& 0<x<4\\ 0,& otherwise\end{array}$

సమీకరణం (2) నుంచి:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{c}{\sqrt{x}}dx=1$

$[2c\sqrt{x}{]}_0^4=1$

4c = 1

$c=\frac{1}{4}$

కావున సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

ఇచ్చినది

P(3) = P(4)

భావన:  

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా 

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది. 

పాయిజన్ పంపిణీ  f(x) = (e-λ × λx)/x! 

x = 0, 1, 2, 3---- మరియు  λ = సగటు 

లెక్కింపు 

ఇక్కడ x = 3 and 4

⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4 

∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4

ఇచ్చిన

పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9

లెక్కింపు

విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం

∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9

సూత్రము

విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2

సాధన

E(X) = μx = μ

⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)

⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6

⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

⇒ 7/2

E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)

⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6

⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)

⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)

⇒ 91/6

విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2

⇒ 91/6 – (7/2)2

⇒ 91/6 – 49/4

∴ విస్తృతి X 35/12

లెక్కింపు 

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్= నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ సంపూర్ణ సుష్ట ఆకారంతో వస్తుంది అంటే పంపిణీ వక్రరేకను మధ్యలో విభజించి రెండు సమాన బహగలను ఉత్పత్తి చేయవచ్చు.  

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రక్రియ అనేది  కింది విధంగా సూచించబడుతుంది.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2$

f(x) = సంభావ్యత సాంద్రత ప్రక్రియ 

σ = ప్రామాణిక విచలనం 

μ = సగటు

సాధారణ పంపిణీలో కేంద్రం గురించి సమరూపత మరియు దానిలో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ 

∴ నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ