Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 2, 2025

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Latest Integration by Parts MCQ Objective Questions

Integration by Parts Question 1:

∫ esinx sin 2x dx = _______ + C.

  1. esinx (sin x + 1)
  2. 2esinx (sin x - 1)
  3. 2esinx (sin x + 1)
  4. esinx (sin x - 1)
  5. esinx (sin x)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2esinx (sin x - 1)

Integration by Parts Question 1 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

sin2x=2sinxcosx
खंडश: समाकलन से: udv=uvvdu

गणना:

esinxsin2xdx=esinx(2sinxcosx)dx

⇒ मान लीजिए, sinx=t, तब cosxdx=dt

समाकल बन जाता है, et(2t)dt=2tetdt

2tetdt=2(tetetdt)=2(tetet)+C

2((sinx)esinxesinx)+C=2esinx(sinx1)+C

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Integration by Parts Question 2:

Solve: 0π4x.sec2xdx

  1. π4+log2
  2. π4log2
  3. 1+log2
  4. 112log2
  5. 112log4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : π4log2

Integration by Parts Question 2 Detailed Solution

Consider, I=0π4xsec2xdx,

Solving the indefinite integral,

,

I1=xsec2xdx

,

Applying integral by parts,

,

I1=xtanxtanxdx

,

I1=xtanx+lncosx+C

,

The value of the indefinite integral,

,

I=[xtanx+lncosx]0π4

,

I=[π4tanπ4+lncosπ4][0ln(cos0)]

,

I=π4+ln12

Integration by Parts Question 3:

समाकल (1+x1x)ex+1xdx  बराबर है:

  1. (x1)ex+1x+c
  2. xex+1x+c
  3. (x+1)ex+1x+c
  4. xex+1x+c
  5. इनमे से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : xex+1x+c

Integration by Parts Question 3 Detailed Solution

गणना:

(1+x1x)ex+1xdx

e(x+1x)dx+x(11x2)e(x+1x)dx

खंडश: समाकलन का उपयोग करने पर,

e(x+1x)dx+xe(x+1x)e(x+1x)dx

xe(x+1x)+c

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Integration by Parts Question 4:

ex(2x+12x)dx=

  1. 12xex+C
  2. exx+C
  3. 12xex+C
  4. exx+C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : exx+C

Integration by Parts Question 4 Detailed Solution

अवधारणा:

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

  • जब एक समाकल में एक समग्र फलन शामिल होता है, तो आंतरिक फलन को एक नया चर मानकर प्रतिस्थापन इसे सरल कर सकता है।
  • यदि हमारे पास ∫ ef(x) f'(x) dx के रूप का एक समाकल है, तो यह सीधे ef(x) + C में समाकलित होता है।
  • चरघातांकी फलन ex: यह एक ऐसा फलन है जो अपने स्वयं के अवकलज के बराबर होता है।
  • महत्वपूर्ण सूत्र: ∫ ef(x) f'(x) dx = ef(x) + C

 

गणना:

दिया गया है,

समाकल = ex(2x+12x)dx

मान लीजिए, u = √x

⇒ u = x1/2

⇒ अवकलन करने पर, du/dx = (1/2)x-1/2

⇒ du = (1/2√x) dx

⇒ dx = 2√x du

अब समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = ∫ ex x (2x + 1)/(2√x) x (2√x) du

⇒ समाकल = ∫ ex (2x + 1) du

अब, ध्यान दें कि हमारे पास अभी भी ex और (2x + 1) में x पद हैं।

इस प्रकार, यहाँ वास्तव में किसी प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है।

मूल समाकल को फिर से लिखने पर:

समाकल = ∫ ex x (2x + 1)/(2√x) dx

भिन्न को विभाजित करने पर:

समाकल = (1/2) ∫ (2x/√x + 1/√x) ex dx

⇒ (1/2) ∫ (2x1/2 + x-1/2) ex dx

अब मान लीजिए, t = √x

⇒ t = x1/2

⇒ x = t²

⇒ dx = 2t dt

t के पदों में सब कुछ प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = (1/2) ∫ (2t + 1/t) e × 2t dt

प्रसार करने पर:

समाकल = (1/2) × 2 ∫ (2t² + 1) e dt

⇒ समाकल = ∫ (2t² + 1) e dt

अब समाकल को विभाजित करें:

समाकल = ∫ 2t² e dt + ∫ e dt

∫ 2t² e dt के लिए:

d/dt (e) = 2t e

हमें t² पदों की आवश्यकता है। इसलिए विचार करें:

मान लीजिए हम (t e) को अवकलित करते हैं:

⇒ d/dt (t e) = e + t × 2t e

⇒ d/dt (t e) = e + 2t² e

इस प्रकार,

e + 2t² e = d/dt (t e)

इस प्रकार,

∫ (2t² + 1) e dt = ∫ d/dt (t e) dt

⇒ t e + C

वापस t = √x प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ √x ex + C

∴ इसलिए, अंतिम उत्तर exx+C है। 

Integration by Parts Question 5:

∫ esinx sin 2x dx = _______ + C.

  1. esinx (sin x + 1)
  2. 2esinx (sin x - 1)
  3. 2esinx (sin x + 1)
  4. esinx (sin x - 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2esinx (sin x - 1)

Integration by Parts Question 5 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

sin2x=2sinxcosx
खंडश: समाकलन से: udv=uvvdu

गणना:

esinxsin2xdx=esinx(2sinxcosx)dx

⇒ मान लीजिए, sinx=t, तब cosxdx=dt

समाकल बन जाता है, et(2t)dt=2tetdt

2tetdt=2(tetetdt)=2(tetet)+C

2((sinx)esinxesinx)+C=2esinx(sinx1)+C

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Top Integration by Parts MCQ Objective Questions

xcos1x1x2 dx का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. x1x2cos1x+C
  2. x+1x2cos1x+C
  3. xcos1x+C
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x1x2cos1x+C

Integration by Parts Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

यदि हम x = f(t) रखते हैं, तो dx = f'(t) dt और ∫ f(x) dx = ∫ f[f(t)] f'(t) dt है। 

ddxcos1x=11x2.

गणना:

माना कि I = xcos1x1x2 dx है। 

हम cos-1 x = t ⇒ x = cos t और 11x2 dx = dt रखते हैं। 

⇒ I = - ∫ t cos t dt

खंडशः समाकलन से, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ I = -t ∫ cos t + ∫ (1 × ∫ cos t dt) dt

⇒ I = -t sin t + ∫ sin t dt + C

⇒ I = - t sin t - cos t + C

= I = x1x2cos1x+C

∫ ex(sin x - cos x) dx का मान क्या है?

  1. - ex cos x + C
  2. ex sin x + C
  3. ex sec x + C
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : - ex cos x + C

Integration by Parts Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • खंडशः समाकलन:

    ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

  • ∫ sin x dx = - cos x + C

 

गणना:

माना कि I = ​​∫ ex(sin x - cos x) dx है। 

⇒ I = ∫ ex sin x dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = ex ∫ sin x dx - ∫ [ex ∫ sin x dx] dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = - ex cos x dx + ∫ ex cos x dx - ∫ ex cos x dx + C

⇒ I = - ex cos x + C

जैसा कि हम जानते हैं, ∫ ex [f(x) + f'(x)]dx = ex f(x) + c

माना  f(x) = -cos x

इसलिए, f'(x) = sin x

अब , I =  ∫ ex(sin x - cos x) dx

=  ​​∫ ex(- cos x + sin x) dx

∫ ex [f(x) + f'(x)]dx

=  ex f(x) + c

- ex cos x + C

निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:

cos(ln(x))xdx

  1. sin(ln(x)) + C
  2. cos(ln(x)) + C
  3. cosxx2+C
  4. sinxx2+C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : sin(ln(x)) + C

Integration by Parts Question 8 Detailed Solution

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धारणा:

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

  • यदि दिया गया समाकलन g(f(x))f(x)dx रूप का है जहाँ g(x) और f(x) दोनों अवकलनीय फलन हैं तो हम f(x) = u को प्रतिस्थापित करते हैं जिसका अर्थ है f’ (x)dx = du।
  • इसलिए, समाकल g(u)du बन जाता है जिसे सामान्य सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है।

 

समाधान:

दी गई समस्या में ln(x)=u प्रतिस्थापित करें इसलिए dxx=du

दिया गया समाकल बन जाता है,

cosudu=sinu+C

u=ln(x) को पुनःप्रतिस्थापित करें।

cos(lnx)xdx=sin(lnx)+C

मूल्यांकन कीजिए: xlnxdx

  1. x22lnxxlnx+2xC
  2. x22lnx+xlnx+x+C
  3. x22lnxxlnxx+C
  4. x22lnxx24+C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : x22lnxx24+C

Integration by Parts Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडश समाकलन:

खंडश समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

uvdx=uvdx(dudxvdx)dx

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

  • ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

दिए गए फलन में u = x और v = ln xdx है। 

खंडश: समाकलन निम्न है

xlnxdx=lnxxdx1xx22dx

=x22lnxx2dx

=x22lnxx24+C

e5 log x dx को हल कीजिए। 

  1. 6 log x + C
  2. e+ C
  3. x6/6 + C
  4. x5/5 + ex + C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x6/6 + C

Integration by Parts Question 10 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:

1. a logx = log (xa)

2. elog(n)  = n

3. ∫xndx = xn+1n+1+C

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

I = e5 log x

या, I = elog(x5) = x5

अतः, ∫x5 dx = x6/6 + C

ex(1+sinx)(1+cosx)dx बराबर है : 

  1. ex· log(1 + cos x) + C.
  2. e· tan(x2)+ C
  3. e· cot x + C
  4. e·2 log(tanx2)+ C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : e· tan(x2)+ C

Integration by Parts Question 11 Detailed Solution

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सूत्र:

ex[f(x)+f(x)]dx=exf(x)+C

गणना​:

माना I=ex.1+sinx1+cosxdx

⇒ I=ex.1+2sinx2cosx22cos2x2dx

⇒ I=ex.[12cos2x2+2sinx2cosx22cos2x2]dx

⇒ I=ex.[12sec2x2+tanx2]dx

उपरोक्त समाकलितex[f(x)+f(x)]dx रूप का है। 

f(x)=tanx2

 f(x)=12sec2x2

  I=exf(x)+c

I=extanx2+c

sin1xdx का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. xcos1x+1x2+c
  2. xsin1x1x2+c
  3. xcos1x1x2+c
  4. xsin1x+1x2+c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : xsin1x+1x2+c

Integration by Parts Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडशः समाकलन

ILATE नियमों का प्रयोग करने पर 

I → व्युत्क्रम फलन

L → Log फलन

A → बीजगणितीय फलन

T → त्रिकोणमितीय फलन

E → घातांकीय फलन

u.vdx=uvdx[(dudx)vdx]dx

गणना:

I=sin1xdx

sin1x.1dx[d(sin1x)dx1dx]dx

sin1x.1dx[d(sin1x)dx(1dx)]dx

x.sin1x[1(1x2).x]dx

1 – x2 = t2 रखने पर

⇒ -2x dx = 2t dt

⇒ x dx = -t dt

अब, I =  x.sin1x1t2(t)dt

x.sin1x+1dt

x.sin1x+t + c

t ⇒ t=1x2 का मान रखने पर

I = xsin1x+1x2+c

xlogx dx का मान है:-

  1. x2logx2x24+C
  2. xlogx2x4+C
  3. x2logx14x+C
  4. (logx)22x24+C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2logx2x24+C

Integration by Parts Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा-

खंडशः सूत्र द्वारा समाकलन -: 

uv dx=uvdx(uvdx)dx

गणना-

xlogx dx

log x को पहले फलन और x को दूसरे फलन के रूप में मानकर खंडशः सूत्र का प्रयोग करने पर, 

logxxdx(ddx(logx))(xdx)dx

logx(x22)1x×x22dx

x22logx12xdx

x2logx2x24+C

∴ xlogx dx=x2logx2x24+C

समाकल 12logx dx का मूल्यांकन करें।

  1. 2 log 2 - 1
  2. 2 log 2 + 1
  3. 2 log 2 - 3
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2 log 2 - 1

Integration by Parts Question 14 Detailed Solution

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अवधारणा:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो abf(x) dx=[g(x)]ab = g(b) - g(a)

 

गणना:

पहले खंडशः समाकल के तहत अभिव्यक्ति को समाकलित करें।

I = ∫ log x dx =  ∫ (1)(log x) dx

पहले फलन के रूप में log x और दूसरे फलन के रूप में 1 को मानते हुए हमें मिलता है:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [1x ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

निश्चित समाकल की सीमाएं डालते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

12logx dx

[x(logx)x]12

= (2 log 2 - 2) - (0 - 1)

= 2 log 2 - 1

xtan1xdx का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. 12[x2tan1xx]+c
  2. 12[(x2+x)tan1xx]+c
  3. 12[(x2+1)tan1x(x+1)]+c
  4. 12[(x2+1)tan1xx]+c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 12[(x2+1)tan1xx]+c

Integration by Parts Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

खंडशः समाकलन: खंडशः समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडशः समाकलन के लिए सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

⇒ uvdx=uvdx(dudx×vdx)dx + C

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम में विशेष रूप से इस नियम की वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

I = xtan1xdx

I = tan1xxdx(11+x2xdx)dx+c

I = x2tan1x212(x21+x2)dx+c

I = x2tan1x212(111+x2)dx+c

I = 12[x2tan1x(xtan1x)]+c

I = \boldsymbol12[(x2+1)tan1xx]+c

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