Integration using Substitution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Substitution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

d(u × v) = u × dv + v × du

गणना:

\(\rm ∫ \frac{e^x(x+1)}{\cos^2(xe^x)}dx\)

माना, xe^x = t 

t के संबंध में अवकल निम्नानुसार है:

(xe^x + e^x) dx = dt 

ex (x + 1) dx = dt 

अब, ∫(1/cos²t) dt

⇒ ∫sec²t dt 

⇒ tant + c

∴​ \(\rm ∫ \frac{e^x(x+1)}{\cos^2(xe^x)}dx\) = tan(xe^x) + c

प्रयुक्त सूत्र:

cos2x = cos²x - sin²x

tanx = sinx/cosx

\(\rm \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \) = sin^-1x + c

गणना:

माना,

I = \(\rm ∫\frac{\sec x}{√{\cos 2x}}dx\)

⇒ I =  \(\rm \int\frac{\sec x}{\sqrt{\cos^2x-sin^2x}}dx\)

⇒ I = \(\rm \int\frac{\sec x}{cosx\sqrt{1-tan^2x}}dx\)

⇒ I = \(\rm \int\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-tan^2x}}dx\)

माना tanx = t 

t के सापेक्ष में अवकलन 

⇒ I = (sec²x) dx = dt

⇒ I = \(\rm \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt\)

⇒ sin^-1t + c

∴ sin^-1(tanx) + c

हल

⇒ \(\int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} \)

पद को उसके संयुग्मी से विभाजित और गुणा करते हैं

⇒ \(\int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} \) × \(1 - sinx \over1 + sinx\)dx

⇒ \(\int {\frac{{1-sinx}}{{1 - \sin^2 x}}} \)  ...(1 - sin²x = cos²x)

⇒ \(\int {\frac{{1-sinx}}{{cos^2 x}}} \) = \(\int {\frac{{1}}{{cos^2 x}}}- {\frac{{sinx}}{{cos^2 x}}}\) 

चूँकि, (1/cos²x = sec²x and sin/cos²x = tan x × sec x) 

⇒ ∫(sec²x - tan x sec x) dx

⇒ ∫sec²x dx - ∫tan x sec x dx

⇒ tan x - sec x + c

सही विकल्प 2 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

\(\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=\sin ^{-1}x+C \)

2 sin x cos x =sin 2x

गणना:

माना \(I=\displaystyle​\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}dx\) . . .(1)

अब, sin x - cos x = t रखने पर 

⇒​ ( sin x + cos x ) dx = dt

और (sin x - cos x)² = t²

⇒ 1 - 2 sin x cos x =  t2

⇒ 1 - sin 2x =  t2

⇒ 1 - t2  =  sin 2x

सभी मानों को (1) में रखने पर 

\(I=\displaystyle​\int \frac{dt}{\sqrt{1 -t^2}}\)

\(I=\sin ^{-1}t+C \)

\(I=\sin ^{-1}(\sin x - \cos x)+C \)

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \sin^{-1 } \left(\frac{x}{a} \right ) + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\)

= \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-(5x)^2}}dx\)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac {dt}{5}\)

अब, 

I = \(\rm \frac {1}{5}\int \frac {1}{\sqrt{4^2-t^2}} dt\)

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac t 4 \right)\) + c

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac {5x} {4} \right)\) + c

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sqrt{2x+3}\;dx\)

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = \(\rm \int \sqrt{t^2}\; \times tdt\)

= \(\rm \int t^2 \;dt\)

= \(\rm \frac {t^3}{3} + c\)

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = \(\rm \frac {(2x+3)^{3/2}}{3} + c\)

संकल्पना:

\(\rm \int \sin x \; dx = -\cos x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sin 5x\;dx \)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac{dt}{5} \)

अब,

I = \(\rm \frac 1 5 \int \sin t\;dt \)

= \(\rm \frac 1 5 (-\cos t) + c\)

= \(\rm \frac{-\cos 5x}{5} + c\)

अवधारणा:

\(\rm \int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4})d(x^2)\) .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2})du\)

= u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\) + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C है

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sqrt{4x-3}\;dx\)

माना कि 4x - 3 = t² है 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 4dx = 2tdt

⇒ dx =\(\rm \frac t 2\)dt

अब, 

I = \(\rm \int \sqrt{t^2}\; \times \frac t 2 dt\)

= \(\frac12 \rm \int t^2 \;dt\)

= \(\rm \frac {t^3}{6} + c\)

= \(\rm \frac {(4x-3)^{3/2}}{6} + c\)

अवधारणा:

समाकल का गुण:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C

गणना:

माना I = \(\rm \int{x\over1+x^2} \;dx\)

I = \(\rm \frac 12 \int{2x\over1+x^2} \;dx\)

माना 1 + x 2 = t

⇒ 2x dx = dt

I = \(\rm \frac 12 \int{1\over t } dt\)

= \(\rm \frac 12 \log t + c\)

= \(\rm \frac 12 \log (1 + x^2) + c\)

= \(\rm \log \sqrt{(1 + x^2)} + c\)             [∵ n log m = log mn]

गणना:

दिया हुआ:\(I_1 = \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{dx}{\log x}\) और \(I_2 = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{x} dx\)

⇒ \(I_1 = \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{dx}{\log x}\) , log x = z रखें

जैसे कि x = e^z

जैसे कि dx = e^z dz 

जब x = e, z = loge तब

x = e², z = log e² = 2 log e = z 

जैसे कि I₁ = \(\displaystyle\int_{1}^{2}\)(e^z dz) / z =  \(\displaystyle\int_{1}^{2}\)(e^x/z) dx = I2 

जैसे कि I₁ = I₂

⇒ I1 - I2 = 0 

संकल्पना:

sin 2x = 2sin x cos x

∫(1/x)dx = log x + c

∫tanx dx = sec²x + c  

गणना:

माना कि I = \(\smallint \frac{2}{{\sin 2{\rm{x}}.\log \left( {{\rm{tanx}}} \right)}}\)         ....(1)

log (tan x) = t लेने पर

\(\rm \frac1 {\tan x}(se{c^2}x)dx = dt\)

⇒ \( \frac{{{\rm{cosx}}}}{{{\rm{sinx}}.{\rm{\;co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}} = {\rm{dt}}\)

⇒ \( \frac{1}{{{\rm{sinx}}.{\rm{cosx}}}}{\rm{dx}} = {\rm{dt}}\)

⇒ dx = sin x.cos x dt

समीकरण (i) में log (tan x) और dx का मान रखने पर 

अब, I = \(\rm \smallint \frac{2}{{2sinx.cosx.t}}\;sinx.cosx\;dt\)

= ∫ \(\rm \frac 1 t\)dt

= log t + c

= log [log(tan x)] + c

अवधारणा:

\(\rm \int \frac{1}{1+x^2}dx=tan^{-1}x+c\)

\(\rm x^{-1}=\frac1x\)

गणना:

माना, I = \(\rm \int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx\)

= \(\rm \int \frac{1}{e^x+\frac{1}{e^{x}}}dx\)                    (∵ \(\rm x^{-1}=\frac1x\))

= \(\rm \int \frac{e^x}{e^{2x}+{1}}dx\)

अब, माना ex = t

⇒ ex dx = dt

∴ I = \(\rm \int \frac{dt}{t^2+{1}}\)

= \(\rm tan^{-1}t+c\)                         (∵ \(\rm \int \frac{1}{1+x^2}dx=tan^{-1}x+c\) )

= \(\rm tan^{-1}(e^x)+c\)                     (∵ ex = t)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{x}dx = \log |x| + c\)

गणना:

I = ∫ cot 2x dx

\(=\rm \int \frac{\cos 2x}{\sin 2x}dx\)

माना कि sin 2x = t है। 

x के संबंध में अवकलज करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2 cos 2x dx = dt

⇒ cos 2x dx = \(\rm \frac {dt}{2}\)

\(\rm I =\rm \frac 1 2\int \frac{1}{t}dt\)

= \(\rm \frac 1 2 \log |t| + c\)

= \(\rm \frac 1 2 \log |\sin 2x| + c\)