Harmonic Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Harmonic Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

मान लीजिये α अभीष्ट मूल है।

मूलों का योग = \(\frac{-B}{A} = \frac{-b^2(c^2-a^2)}{a^2(b^2-c^2)}\)

⇒ α + α = \( = \frac{-b^2(c^2-a^2)}{a^2(b^2-c^2)}\)

⇒ α = \( \frac{b^2(c^2-a^2)}{2a^2(c^2-b^2)}\)

∴ विकल्प (c) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ a² (b² - c ² ) x² + b ² (c ² - a ² ) x + c ² (a ² - b ² ) = 0...(i)

अब समीकरण के मूल समान हैं:

तब D =0

⇒ [b² (c ² - a² )]² - 4a ² c ² (b ² - c ² ) (a ² - b ² ) = 0

⇒ b⁴ (c ² - a ² )² - 4a ² c ² (b ² - c ² ) (a ² - b ² ) = 0

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ b⁴ (c² + a² )² = 4a ⁴ c ⁴

⇒ b ² (a ² + c ² ) = 2a ² c ²

⇒ \(\frac{2}{b^2} = \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{c^2}\)

⇒ a² , b ² और c ² हरात्मक श्रेणी (HP) में हैं

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है,

x, y, z गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में हैं

इस प्रकार,

⇒ y² = xz

⇒ \(2lny = lnx + lnz\)

lnx, ln y और lnz समांतर श्रेढ़ी (AP) में हैं। 

⇒ (1 + lnx), (1 + lny) और (1 + lnz) समांतर श्रेढ़ी (AP) में हैं। 

⇒ \(\frac{1}{1+lnx}, \frac{1}{1+lny}, \frac{1}{1+lnz}\) हरात्मक श्रेढ़ी (HP) में हैं। 

अवधारणा:

AM-GM-HM असमिका का उपयोग करते हुए, AM ≥ GM ≥ HM

समिका तब होती है जब सभी संख्याएँ समान हों।

गणना:

दिया गया है, a, b, c, d, हरात्मक श्रेणी में है

⇒ b, a और c के बीच का HM है, और c, b और d के बीच का HM है।

a और c के बीच AM = \(\frac{1}{2}\) (a + c)

b और d के बीच AM = \(\frac{1}{2}\) (b + d)

अब, चूँकि AM > HM है,

⇒ a + c > 2b …(i) 

इसके अलावा, c, b और d के बीच HM है

⇒ b + d > 2c …(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(a + c) + (b + d) > 2(b + c)

⇒ a + d > b + c 

∴ यदि a, b, c, d ∈ R+ तथा a, b, c, d हरात्मक श्रेणी में है, तो b + c < a + d है। 

सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

यदि a1, a2, …, an HP में हैं, तो \(\frac{1}{a_1}\) , \(\frac{1}{a_2}\) , …, \(\frac{1}{a_n}\) AP में हैं।

गणना:

दिया गया है, HP का p वाँ पद q है और q वाँ पद p है।

⇒ संगत AP का p वाँ पद \(\frac{1}{q}\) है और q वाँ पद \(\frac{1}{p}\) है

∴ T_p = \(\frac{1}{q}\) और T_q = \(\frac{1}{p}\)

a + (p - 1)d = \(\frac{1}{q}\) … (i)

a + (q - 1)d = \(\frac{1}{p}\) … (ii)

(i) में से (ii) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

∴d = \(\frac{1}{pq}\)

d का मान (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

ए = \(\frac{1}{pq}\)

∴ (p + q) ^वाँ पद = T _p+q

= a + (p+q - 1)d

= \(\frac{1}{pq}\) + (pq - 1) \(\frac{1}{pq}\)

= \(\frac{1}{p}\) + \(\frac{1}{q}\)

= \(\frac{p+q}{pq}\)

⇒ संगत HP में पद = \(\frac{p q}{p+q}\)

∴ (p + q) ^वाँ पद \(\frac{p q}{p+q}\) होगा।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

किसी भी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्‍तकर D = b² - 4ac होगा, तो द्विघात समीकरण के-

I. भिन्न और वास्तविक शून्यक होंगे, यदि D > 0.

II. वास्तविक और समान शून्यक होंगे, यदि D = 0.

III.सम्मिश्र शून्यक और एक दूसरे के संयुग्मी होंगे, यदि D < 0.

यदि a, b और c, HP में है तो, हरात्मक माध्य होगा -

\(b = \frac{{2ac}}{{a + c}}\)

गणना:

दिया गया है: a (b - c) x² + b (c - a) x + c (a - b) = 0 के शून्यक बराबर है ⇒ विविक्‍तकर , D = 0.

दी गई समीकरण की द्विघात समीकरण  ax2 + bx + c = 0. से तुलना करने पर, हमे प्राप्त होगा a’ = a (b - c) , b’ = b (c - a) और c’ = c (a - b)

चूँकि,विविक्‍तकर ,D = 0.

⇒ D = b² - 4ac = b² × (c - a) ² - 4 × a (b - c) × c (a - b) = 0

⇒ D = (bc + ab - 2ac) ² = 0

⇒ bc + ab - 2ac = 0

⇒ b × (a + c) = 2ac

\(\Rightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक ज्यामितीय श्रेणी है। 

• सार्व अनुपात = r = \(\frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{{{\rm{a}}_1}}} = \frac{{{{\rm{a}}_3}}}{{{{\rm{a}}_2}}} = \ldots = \frac{{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{a}}_{{\rm{n}} - 1}}}}\)
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 

गणना:

दिया गया है: अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ..... एक ज्यामितीय श्रेणी है। 

यहाँ, हमें यह ज्ञात करना है कि दिए गए अनुक्रम का कौन-सा पद 4374 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, एक ज्यामितीय श्रेणी के सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm {a_n} = a{r^{n\; - \;1}}\)

यहाँ, a = 2, r = 3 और माना कि an = 4374 है। 

⇒ 4374 = (2) ⋅ (3)n - 1

⇒ 3^n-1 = 2187

⇒ 3n-1 = 3⁷

∴ n - 1= 7

इसलिए, n = 8

अतः 4374 दिए गए अनुक्रम का आठवां पद है। 

Additional Information

• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {{{\rm{r}}^{\rm{n}}} - 1} \right)}}{{{\rm{r}} - {\rm{\;}}1}}\); जहाँ r >1
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = \(\frac{{{\rm{a\;}}\left( {1 - {\rm{\;}}{{\rm{r}}^{\rm{n}}}} \right)}}{{1 - {\rm{\;r}}}}\); जहाँ r <1
• अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग = \({{\rm{s}}_\infty } = {\rm{\;}}\frac{{\rm{a}}}{{1{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{\rm{\;}}\) ; |r| < 1

संकल्पना:

यदि a, b, c हरात्मक श्रेणी में हैं, तो \(\rm b = \frac{2ac}{a+c}\) है। 

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

संख्याओं का एक अनुक्रम हरात्मक श्रेणी तब कहलाता है यदि पदों के व्युत्क्रम समांतर श्रेणी में होते हैं। 

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac 1 2, \frac 1 x, \frac 1 {8}\) हरात्मक श्रेणी में हैं। 

अनुक्रम \(\rm \frac 1 2, \frac 1 x, \frac 1 {8}\) हरात्मक श्रेणी में हैं, इसलिए इसके व्युत्क्रम 2, x, 8 समांतर श्रेणी में हैं। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

⇒ 2x = 2 + 8

⇒ 2x = 10

∴ x = 5

अवधारणा:

यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं ⇔ \( \rm b =\frac{a+c}{2}\)

यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं ⇔ b² = ac 

यदि a, b, c हरात्मक श्रेणी में हैं ⇔ \(\rm b =\frac{2ac}{a+c} \) 

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm x^a=y^b=z^b\) और x, y और z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

∴ y² = xz        .... (1)

माना, \(\rm x^a=y^b=z^c =k\)

\(\rm ⇒ x=(k)^{\frac1a},\ y=(k)^{\frac1b},\ z=(k)^{\frac1c}\)

(1) से,

\(\rm (k)^{\frac2b}= (k)^{\frac1a}\times(k)^{\frac1c}\)

\(\rm (k)^{\frac2b}= (k)^{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\)

\(⇒ \rm \frac{2}{b}=\frac1a+ \frac1c\)

\(⇒ \rm \frac{2}{b}= \frac{a+c}{ac}\)

\(\Rightarrow \rm b =\frac{2ac}{a+c} \)

∴ a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।

अतः, विकल्प (3) सही है।

दिया गया है:

पहली शृंखला के लिए nवाँ पद = दूसरी शृंखला के लिए nवाँ पद।

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी: 

• समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक सूची है जिसमें प्रत्येक पद पहले पद को छोड़कर पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
• इस निश्चित संख्या को AP का सार्व अंतर कहा जाता है और यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

AP पर विचार करते हैं, जिसका पहला पद 'a' है, सार्व अंतर 'd' है और इसमें n पदों की संख्या है।

a, a + d, a + 2d, a + 3d........a + (n - 1)d

अत:, AP का nवाँ पद दिया गया है

T_n = a + (n - 1)d

गणना:

पहली शृंखला पर विचार करते है:

3 + 10 + 17 + ... 

a = 3 और d = 10 - 3 = 7

AP का nवाँ पद दिया गया है

(T_n)₁ = 3 + (n - 1) × 7 

⇒ (Tn)1 = 7n - 4       .......(1)

दूसरी शृंखला पर विचार करते है:

63 + 65 + 67 + ....

a = 63 और d = 2

AP का nवाँ पद दिया गया है

(Tn)₂ = 63 + (n - 1) × 2

⇒ (Tn)₂ = 2n + 61      .......(2)

प्रश्नानुसार

(Tn)1 = (Tn)2

⇒ 7n - 4 = 2n + 61

⇒ 5n = 65

⇒ n = 13

अत: दी गई शृंखला के लिए 13वाँ पद बराबर होगा।

Additional Information

शृंखला के n पदों का योग, जिसका पहला पद a और सार्व अंतर d है।

\(S_n = \frac{n}{2}[ 2a + (n - 1)d]\)

अवधारणा :

तीन संख्याएँ x, y, और z हरात्मक श्रेणी में हैं यदि और केवल यदि: y = \(\frac{2xz}{x+z}\)

तो, \(\rm {1\over x}\ , {1\over y} \ and \ {1\over z}\) समान्तर श्रेणी में हैं यदि और केवल यदि:  \(\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\)

गणना:

दिया गया है: तीन संख्याएँ 5, p और 10 हरात्मक श्रेणी में हैं

तो, \(\rm {1\over 5}\ , {1\over p} \ and \ {1\over 10}\) समान्तर श्रेणी में हैं

अब, अवधारणा के अनुसार

⇒ 2 ⋅\(\rm {1\over p}\) = \(\rm {1\over 5} + \rm {1\over 10}\)

⇒ 2 ⋅\(\rm {1\over p}\) = \(\rm \frac {2\ + \ 1}{10}\)

⇒ p = \(\rm 20\over 3\) 

⇒ \(\frac{2}{p}=\frac{3}{10}\)

संकल्पना:

माना कि a एक समांतर श्रेणी का पहला पद और d सार्व अंतर है। तो एक समांतर श्रेणी के nवें पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

a_n = a + (n - 1) × d.

सूचना: यदि I एक अनुक्रम का अंतिम पद है, तो l = a_n = a + (n - 1) × d है। 

गणना:

यहाँ हमें दो अंकों वाली ऐसी संख्या ज्ञात करनी है जो 7 से विभाज्य हैं। 

अर्थात् 14, 21,............,98 एक समांतर श्रेणी का अनुक्रम है, जिसमें पहला पद a = 14, सार्व अंतर d = 7 और अंतिम पद I = 98 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि I अनुक्रम का अंतिम पद है, तो l = an = a + (n - 1) × d है। 

⇒ 98 = 14 + (n - 1) × 7

⇒ 84 = 7(n - 1)

⇒ 12 = n - 1

⇒ n = 13

संकल्पना:

यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तब b2 = ac

यदि b - a = c - b, तब a, b, c, AP में हैं। 

यदि 1/a, 1/b, 1/c, AP में हैं तब a, b, c, HP में हैं।

\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

गणना:

यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तब b2 = ac

अत: दोनों पक्षों को x2 से गुणा करके और दोनों पक्षों के लघुगणक को आधार x लेकर 

\({\log _x}({x^2}{b^2}) = {\log _x}({x^2}ac)\)

\({\log _x}({x^2}{b^2}) = {\log _x}(xa\cdot xc)\)

\(2{\log _x}xb = {\log _x}xa + {\log _x}xc\)

\({\log _x}xb - {\log _x}xa = {\log _x}xc - {\log _x}xb\)

अत: logx ax, logx bx और logx cx, AP में हैं। 

\(\frac{1}{{{{\log }_{ax}}x}},\frac{1}{{{{\log }_{bx}}x}},\frac{1}{{{{\log }_{cx}}x}}\) भी AP में हैं। 

\({\log _{ax}}x,{\log _{bx}}x,{\log _{cx}}x\), HP में हैं।

संकल्पना:

दो संख्याओं a और b के बीच हरात्मक माध्य निम्न द्वारा दिया गया है:

हरात्मक माध्य = \(\rm \frac{2ab}{a+b}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \frac {a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n}\) a और b का हरात्मक माध्य है

खोजने के लिए: n

जैसा कि हम जानते हैं,

दो संख्याओं a और b के बीच हरात्मक माध्य निम्न द्वारा दिया गया है:

हरात्मक माध्य = \(\rm \frac{2ab}{a+b}= \rm \frac {a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n}\)

\(\Rightarrow \rm 2ab \times (a^n + b^n) = (a+b)(a^{n + 1} + b^{n + 1}) \\ \Rightarrow 2a^{n + 1}b + 2a^nb^{n + 1} = a^{n + 2} + b^{n + 2}+a^{n + 1}b + 2a^nb^{n + 1} \\ \Rightarrow a^{n + 2} + b^{n + 2} - a^{n + 1}b - a^nb^{n + 1} =0 \\ \Rightarrow a^{n + 1}(a-b) -b^{n + 1}(a-b)=0 \\ \Rightarrow (a^{n + 1}-b^{n + 1}) (a-b) = 0 \\\therefore (a^{n + 1}-b^{n + 1}) = 0\)

यह तभी संभव है जब n + 1 = 0 हो

इसलिए, एन = -1

संकल्पना:

• यदि गुणोत्तर श्रेणी में a, b और c तीन पद हैं तब b2 = ab और इसके विपरीत
• यदि तीन पद a, b, c हरात्मक श्रेणी में हैं, तो b = \(\rm \frac{2ac}{a + c}\) और इसके विपरीत
• जब तीन राशियाँ समान्तर श्रेणी में होती हैं, तो बीच वाली को अन्य दो का अंकगणितीय माध्य कहा जाता है।
• यदि समान्तर श्रेणी में a, b और c तीन पद हैं तो b = \(\rm \frac{a + c}{2}\) और इसके विपरीत
• यदि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं तो 1/a, 1/b, 1/c हरात्मक श्रेणी में हैं और इसके विपरीत

गणना:

\(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) हरात्मक श्रेणी में हैं

(b + c), (c + a) और (a + b) समान्तर श्रेणी में हैं

⇒ 2(c + a) = b + c + a + b    

⇒ 2c + 2a = 2b + a + c     -----(i)

⇒ 2c + 2a - 2b - a - c = 0

⇒ 2b = c + a

अतः, a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं

अब, मान लीजिए (b + c)2, (c + a)2, (a + b)2 GP में हैं

(c + a)2 = √[(b + c).(a + b)]2

⇒ c2 + a2 + 2ac = (b + c).(a + b)

⇒ c2 + a2 + 2ac = ab + b2 + ac + bc

⇒ c2 + a2 - b2 + ac - ab - bc = 0

यहाँ से हम a, b और c के बीच संबंध की जाँच करने में असमर्थ हैं

तो, हमारी धारणा गलत थी

इसलिए, (b + c)2, (c + a)2, (a + b)2 गुणोत्तर श्रेणी में नहीं हैं

∴ केवल पहला विकल्प सही है।