Arithmetic Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Arithmetic Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 11, 2025
Latest Arithmetic Progressions MCQ Objective Questions
Arithmetic Progressions Question 1:
यदि log102, log10(2x - 1) तथा log10(2x + 3) एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हों, तो निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 1 Detailed Solution
Arithmetic Progressions Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
एक समान्तर श्रेणी के 5 क्रमागत पदों का गुणनफल 229635 है। पहला, दूसरा और पाँचवाँ पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
सभी पाँच पदों का योग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
समीकरण (ii) में d का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ 5 x 6 = 2a
⇒ a = 15
इस प्रकार, पद हैं 3, 9, 15, 21 और 27
इसलिए आवश्यक योग = 3 + 9 + 15 + 21 + 27 = 75
∴ विकल्प (c) सही है
Arithmetic Progressions Question 3:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
एक समान्तर श्रेणी के 5 क्रमागत पदों का गुणनफल 229635 है। पहला, दूसरा और पाँचवाँ पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
समांतर श्रेणी का सार्व अंतर क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये कि समांतर श्रेणी के अभीष्ट पद a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d हैं
⇒ (a - 2d) (a - d) a (a + d) (a + 2d) = 2,29,635
⇒ a(a 2 - d2 ) (a 2 - 4d2 ) = 2,29,635.....(i)
अब a - 2d, a - d और a + 2d गुणोत्तर श्रेणी में हैं
⇒ (a - d)2 = a2 - 4d2
⇒ 5d2 - 2ad = 0
⇒ d(5d - 2a) = 0
⇒ 5d = 2a......(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ d = 6
∴ विकल्प (d) सही है।
Arithmetic Progressions Question 4:
एक समान्तर श्रेणी (AP) में, प्रथम p पदों के योग का प्रथम q पदों के योग से अनुपात p2 : q2 है। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
\(\frac{S_p}{S_q} =\frac{p^2}{q^2}\)
⇒ \(\frac{\frac{p}{2}[2a +(p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a+(q-1)d]}\) = p2/q2
⇒ \(\frac{2a+(p-1)d}{2a+(q-1)d} =\frac{p}{q}\)
⇒ 2aq +q(p - 1)d = 2ap + p(q - 1)d
⇒ 2a(q - p) = d(p - q)
⇒ 2a = -d or d = -2a
इस प्रकार, सार्व अंतर प्रथम पद के ऋणात्मक दोगुने के बराबर है। प्रश्न में थोड़ी गड़बड़ है। यदि अनुपात p2:q2 की जगह p:q होता तो उत्तर C सही होता।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प C है (यदि प्रश्न में दिया गया अनुपात सही होता)।
Arithmetic Progressions Question 5:
यदि किसी श्रेणी के प्रथम n पदों का योग n(2n+1) है, तो nवाँ पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है,
Sn = n(2n + 1), Sn-1 = (n - 1)(2n - 1)
n वाँ पद = Sn - Sn - 1
= n(2n + 1) - (n - 1)(2n-1)
= 4n - 1
∴ विकल्प (a) सही है।
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श्रृंखला 5 + 9 + 13 + … + 49 का योग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 6 Detailed Solution
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समांतर श्रेणी (AP):
- संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।
- यदि एक समांतर श्रेणी का पहला पद a है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d. - उपरोक्त श्रृंखला के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
Sn = \(\rm \dfrac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]=\left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times n\)
गणना:
दी गयी श्रृंखला 5 + 9 + 13 + … + 49 है, जो पहला पद a = 5 और सार्व अंतर d = 4 के साथ एक समांतर श्रेणी है।
माना कि अंतिम पद 49, nवां पद है।
∴ a + (n - 1)d = 49
⇒ 5 + 4(n - 1) = 49
⇒ 4(n - 1) = 44
⇒ n = 12.
और, इस समांतर श्रेणी का योग है:
S12 = \(\rm \left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times 12\)
= \(\rm \left (\dfrac{5+49}{2} \right )\times 12\) = 54 × 6 = 324.
उस समांतर श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका nवां पद 5n + 1 है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 7 Detailed Solution
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समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,
n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)
गणना:
हम जानते हैं कि, समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,
n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)
दिया गया है, दी गयी श्रृंखला का nवां पद an = 5n + 1 है।
n = 1 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
a1 = 5(1) + 1 = 6.
हम जानते हैं कि
n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)
⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (6 + 5n + 1)
⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (7+ 5n)
दी गई श्रेढ़ियों S1 और S2 के मध्य सभी उभयनिष्ठ पदों का योग क्या है?
S1 = 2, 9, 16, .........., 632
S2 = 7, 11, 15, .........., 743
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है:
दो श्रेढ़ियाँ अर्थात् S1 और S2 दी गई हैं।
प्रयुक्त सूत्र:
an = a + ( n - 1 ) d
Sn = n/2 [2a + (n - 1) d ]
जहाँ,
श्रेढ़ी में an = nवां पद, n = पदों की संख्या, a = श्रेढ़ी में पहला पद, d = सार्व अंतर, Sn = योग
गणना:
यहाँ, श्रेढ़ी S1 और S2 समान्तर श्रेणी में हैं।
इसलिए, श्रेढ़ी एक निश्चित सार्व अंतर (दूसरा पद - पहला पद) को क्रमागत पदों में जोड़कर आगे बढ़ेगी
S1 = 2 , 9 , 16 , 23, 30 , 37 , 44 , 51 ,........ 632 [चूँकि यहाँ d = 7, इसलिए, अगला पद प्राप्त करने के लिए पिछले पद में 7 जोड़ना है ]
S2 = 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51 , ......... 743 [यहाँ d = 4 ]
अब, हम एक तीसरी श्रेढ़ी S3 लेते हैं जो उभयनिष्ठ श्रेढ़ी है [इसमें केवल दोनों श्रेढ़ियों की उभयनिष्ठ संख्याएँ होंगी]
इसलिए, S1 और S2 श्रेढ़ी से, यहाँ पहला उभयनिष्ठ पद = 23, दूसरा उभयनिष्ठ पद = 51, d = (51 - 23) = 28 है
इसलिए, तीसरा पद प्राप्त करने के लिए दूसरे पद में 28 जोड़ें और इसी प्रकार आगे
S3 = 23 , 51 , .................. \(\le\) 632 [चूंकि, 632, 743 से कम है इसलिए उनके बीच उभयनिष्ठ 632 से कम होना चाहिए]
अब, यहाँ a = 23, d = 28 है
⇒ an = a + ( n - 1) d \(\le\) 632
⇒ 23 + ( n - 1) × 28 \(\le\) 632
⇒ ( n - 1) × 28 \(\le\) ( 632 - 23 )
⇒ ( n - 1) × 28 \(\le\) 609
⇒ n -1 \(\le\) 609 /28
⇒ n - 1 \(\le\) 21.75
⇒ n \(\le\) 22 .75
जैसा कि n को 22.75 के बराबर या उससे कम होना चाहिए। अतः, n = 22 लें
अब, जैसा कि हम जानते हैं कि,
Sn = n/2 [2a + (n - 1) d]
⇒ Sn = 22/2 [2 × 23 + (22 - 1) 28] = 11 [46 + 21 × 28 ]
⇒ 11 [46 + 588 ] = 11 × 634 = 6974
इसलिए, श्रेढ़ी के सभी उभयनिष्ठ पदों का योग 6974 है।
समांतर श्रेणियाँ 3, 7, 11, ... और 1, 6, 11, ... दोनों का उभयनिष्ठ दसवां पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 9 Detailed Solution
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समांतर श्रेणी:
- उन संख्याओं की श्रृंखला को समांतर श्रेणी कहा जाता है जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है।
- यदि एक समांतर श्रेणी का a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d
- किसी दो समांतर श्रेणी के लिए सामान्य पद स्वयं समांतर श्रेणी का निर्माण करती है, जिसके साथ सार्व अंतर दो समांतर श्रेणी के सार्व अंतर के ल.स. के बराबर है।
गणना:
दिए गए दो समांतर श्रेणी 3, 7, 11, ... और 1, 6, 11, ..., के लिए सार्व अंतर क्रमशः 4 और 5 हैं और 11 पहला सामान्य पद है।
दोनों श्रृंखला के लिए सामान्य पदों का सार्व अंतर निम्न होगा: (4 और 5) का ल.स. = 20
दोनों समांतर श्रेणी के लिए सामान्य आवश्यक दसवां पद = a + (n - 1)d
= 11 + (10 - 1) × 20
= 11 + 180
= 191
यदि संख्या n - 3, 4n - 2, 5n + 1 समांतर श्रेणी में हैं तो n का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 10 Detailed Solution
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यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं तो 2b = a + c है।
गणना:
दिया गया है:
n - 3, 4n - 2, 5n + 1 समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए, 2 × (4n - 2) = (n - 3) + (5n + 1)
⇒ 8n - 4 = 6n - 2
⇒ 2n = 2
∴ n = 1
किसी AP के (p + q)वें और (p – q)वें पदों का योगफल बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 11 Detailed Solution
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AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: Tn = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।
गणना:
जैसा कि हम जानते हैं कि, AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: Tn = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।
माना कि a पहला पद है और d सार्व अंतर है।
\(\Rightarrow \;{a_{p + q}} = a + \left( {p + q - 1} \right) \times d\) ...1)
\(\Rightarrow \;{a_{p - q}} = a + \left( {p - q - 1} \right) \times d\) ...2)
(1) और (2) को जोड़कर हम प्राप्त करते हैं
\(\Rightarrow \;{a_{p + q}} + {a_{p - q}} = 2\;a + 2\;\left( {p - 1} \right)d = 2 \times \left[ {a + \left( {p - 1} \right)d} \right] = 2 \times {a_p}\)100 से 400 के बीच में 6 से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है।
- सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1
- समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है।
- पहले n पदों का योग = Sn =\(\rm \frac n 2\) [2a + (n − 1) × d]= \(\rm \frac n 2\)(a + l)
जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद
गणना:
यहाँ पहला पद = a = 102 (पहला पद 100 से बड़ा है जो 6 से विभाज्य है।)
400 से कम अंतिम पद 396 है, जो 6 से विभाज्य है।
समांतर श्रेणी में पद; 102, 108, 114 … 396
अब
पहला पद = a = 102
सार्व अंतर = d = 108 - 102 = 6
nवां पद = 396
चूँकि हम जानते हैं, समांतर श्रेणी का nवां पद = an = a + (n – 1) d
⇒ 396 = 102 + (n - 1) × 6
⇒ 294 = (n - 1) × 6
⇒ (n - 1) = 49
∴ n = 50
अब,
योग = \(\rm \frac n 2\)(a + l) = \(\rm \frac {50}{2}\)(102 + 396) = 25 × 498 = 12450
यदि एक AP का पहला पद 2 है और पहले पांच पदों का योग अगले पांच पदों के योग के एक-चौथाई के बराबर है तो पहले दस पदों का योग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 13 Detailed Solution
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आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि A.P. है
सार्व अंतर "“d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1
AP का nवाँ पद = an = a + (n – 1) d
पहले n पदों का योग (S) = \(\frac{n}{2}[2a+(n-1)d)]\)
साथ ही, S = (n/2)(a + l)
जहाँ,
a = पहला पद,
d = सार्व अंतर,
n = पदों की संख्या,
an = nवाँ पद,
l = अंतिम पद
गणना:
दिया गया है, a1 = 2 ...(1)
S5 = \(1\over4\)(S10 - S5)
⇒ 4S5 = S10 - S5
⇒ 4S5 + S5 = S10
⇒ 5S5 = S10
⇒ 5 × \(5\over2\)[2a1 + (n5 - 1)d] = \(10 \over2\) [2a1 + (n10 - 1)d]
[∵ n5 = 5 और n10 = 10]
⇒ 5 × \(5\over2\)[a1 + a1 + 4d] = \(10 \over2\) [a1 + a1 + 9d]
⇒ 5 × [2a1 + 4d] = 2 × [2a1 + 9d]
⇒ 10a1 + 20d = 4a1 + 18d
⇒ 6a1 = 2d
⇒ a1 = \(\rm-d\over3\)
∴ d = -3a1 = - 3 × 2 = - 6
इसलिये,
S10 = \(10 \over2\) [a1 + a1 + 9d]
⇒ 5[2a1 + 9d]
⇒ 5[4 - 54] = -250
∴ S10 = 5 × (-50) = - 250.
यदि एक समांतर श्रेणी का चौथा पद शून्य है, तो \(\rm \dfrac{t_{25}}{t_{11}}\) का मान क्या है, जहाँ tn समांतर श्रेणी के nवें पद को दर्शाता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है।
- सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1
- समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है।
- पहले n पदों का योग = Sn =\(\rm \frac n 2\) [2a + (n − 1) × d]= \(\rm \frac n 2\)(a + l)
जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद
गणना:
माना कि समांतर श्रेणी का पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है।
दिया गया है: एक समांतर श्रेणी का चौथा पद शून्य है।
⇒ a4 = 0
⇒ a + (4 - 1) × d = 0
⇒ a + 3d = 0
∴ a = -3d .... (1)
ज्ञात करना है: \(\rm \dfrac{t_{25}}{t_{11}}\)
\(\rm \Rightarrow \dfrac{t_{25}}{t_{11}} = \dfrac {a+24d}{a+10d}\\=\dfrac {-3d+24d}{-3d+10d}\\=\dfrac {21d} {7d}=3\)
समांतर श्रेणी 2, 6, 10, ...,146 का मध्य पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Arithmetic Progressions Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an समांतर श्रेणी में है।
- सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1
- समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है।
गणना:
दी गयी श्रृंखला 2, 6, 10, ...,146 है।
पहला पद, = 2, अंतिम पद, an = 146, an
सार्व अंतर d = 4, इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है।
an = a + (n – 1) d
146 = 2 + (n - 1) (4)
⇒ n - 1 = 144/4
⇒ n = 36 + 1 = 37
इसलिए, दी गयी श्रृंखला में पदों की संख्या = 37
मध्य पद = (37 + 1)/2 = 19वां पद
a19 = 2 + (19 - 1) × 4
= 2 + 72
= 74
अतः विकल्प (3) सही है।