First order Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for First order Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

$x\log x\frac{dy}{dx}+y=4\log x$

दोनों ओर x log x से भाग देने पर

(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x

यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:

(dy/dx) + P(x)y = Q(x)

जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x

समाकलन गुणक दिया गया है:

$I.F=e^{\int P(x)dx}=e^{\int (1/(xlogx))dx}$

u = log x

तो du = (1/x) dx

इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|

इसलिए, समाकलन गुणक है:

$I.F=e^{ln|logx|}=|logx|$

समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:

|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x

|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x

∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx

y |log x| = 2(log x)² + C

जहाँ C समाकलन अचर है

y = (2(log x)² + C) / |log x|

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:

y = 2 log x + C / |log x|

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

यदि $\frac{dy}{dx}+Py=Q$

जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब

$e^{\int Pdx}$
इसका समाकलन गुणक है और

इसका हल इस प्रकार दिया गया है

y $\cdot$(I.F.)=∫Q(I.F.) dx+ C

व्याख्या:

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x\frac{dy}{dx}$ + y = $x^3{y}^6$

⇒ $\frac{dy}{dx}$ + $\frac{1}{x}$ y = $x^3{y}^6$

दोनों पक्षों को $y^6$ से भाग देने पर:

⇒ $y^{-6}$ $\frac{dy}{dx}$ + $\frac{1}{x}$ $y^{-5}$ = $x^2$

$y^{-5}=u$ रखने पर,

तब $\frac{du}{dx}$ = (-5) $y^{-6}$ $\frac{dy}{dx}$

अब $-\frac{1}{5}$ $\frac{du}{dx}$ + $\frac{1}{x}$u = $x^2$

⇒ $\frac{du}{dx}$ - $\frac{5}{x}$u = -5 $x^2$

यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:

I.F= $e^{-5logx}$ = $\frac{1}{x^5}$

सामान्य हल होगा:

$u$$\frac{1}{x^5}$ = $\int -5x^2\cdot \frac{1}{x^5}dx$ + C

जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।

अब u का मान y के पदों में रखने पर:

$y^{-5}$ $\cdot$ $\frac{1}{x^5}$ = $\int -5\cdot \frac{1}{x^3}dx$ + C

⇒ $y^{-5}$ $x^{-5}$ = $\frac{5}{2}$ $x^{-2}$ + C

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

$\frac{dy}{dx}=1+y\sec x$

$\frac{dy}{dx}-y\sec x=1$

जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

जहाँ $P(x)=-\sec x\text{और}Q(x)=1$

$\text{Integrating Factor (I.F.)}=e^{\int -\sec xdx}=e^{-\log |\sec x+\tan x|}=\frac{1}{\sec x+\tan x}$

अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;

$y\times \text{I.F.}=\int (Q\times \text{I.F.})dx+C$

$y\left(\frac{1}{\sec x+\tan x}\right)=\int \frac{1}{\sec x+\tan x}dx+C$

⇒ $\frac{y}{\sec x+\tan x}=\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx+C$

⇒ $\frac{y}{\sec x+\tan x}=\arctan (\sin x)+C$

$y(0)=0$

$0=\arctan (0)+C\Rightarrow C=0$

⇒ $y=(\sec x+\tan x)\arctan (\sin x)$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=(\sec \frac{\pi }{6}+\tan \frac{\pi }{6})\arctan (\sin \frac{\pi }{6})$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}})\arctan \left(\frac{1}{2}\right)$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\arctan \left(\frac{1}{2}\right)$

इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।

संकल्पना:

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि

स्पष्टीकरण:

दिया गया ODE

-x dy + y dx + $e^{1/x}$ dx = 0

⇒ (y + $e^{1/x}$)dx - x dy = 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर,

M = y + e^1/x, N = -x

⇒ M_y = 1, N_x = -1

चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।

अब, M_y - N_x = 2

(1): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{N}}=\frac{2}{-\mathrm{x}}$ = f(x) 

⇒ IF = $e^{-\int \frac{2}{x}dx}=\frac{1}{x^2}$ 

(1) सत्य है। 

(2): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{M}}=\frac{2}{\mathrm{y}+{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$ = f(x,y), y का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$  कोई भी I.F. जो कि केवल y का एक फलन है।

(2) असत्य है। 

(3): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}-\mathrm{x}\mathrm{M}}=\frac{-2}{\mathrm{y}(-\mathrm{x})-\mathrm{x}(\mathrm{y}+{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}})}=\frac{2}{-2\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$, u = x.y का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$ कोई भी I.F जो केवल u का एक फलन है। 

(3) असत्य है। 

(4): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}+\mathrm{x}\mathrm{M}}=\frac{2}{\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$

${\mathrm{x}}^2\left(\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}+\mathrm{x}\mathrm{M}}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$ , $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$ कोई भी I.F जो केवल u का फलन है, u = $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

(4) असत्य है। 

संकल्पना:

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि

स्पष्टीकरण:

दिया गया ODE

-x dy + y dx + $e^{1/x}$ dx = 0

⇒ (y + $e^{1/x}$)dx - x dy = 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर,

M = y + e^1/x, N = -x

⇒ M_y = 1, N_x = -1

चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।

अब, M_y - N_x = 2

(1): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{N}}=\frac{2}{-\mathrm{x}}$ = f(x) 

⇒ IF = $e^{-\int \frac{2}{x}dx}=\frac{1}{x^2}$ 

(1) सत्य है। 

(2): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{M}}=\frac{2}{\mathrm{y}+{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$ = f(x,y), y का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$  कोई भी I.F. जो कि केवल y का एक फलन है।

(2) असत्य है। 

(3): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}-\mathrm{x}\mathrm{M}}=\frac{-2}{\mathrm{y}(-\mathrm{x})-\mathrm{x}(\mathrm{y}+{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}})}=\frac{2}{-2\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$, u = x.y का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$ कोई भी I.F जो केवल u का एक फलन है। 

(3) असत्य है। 

(4): $\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}+\mathrm{x}\mathrm{M}}=\frac{2}{\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$

${\mathrm{x}}^2\left(\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y}}-{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{Y}\mathrm{N}+\mathrm{x}\mathrm{M}}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}}$ , $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$का फलन नहीं है। 

⇒ $\nexists$ कोई भी I.F जो केवल u का फलन है, u = $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

(4) असत्य है। 

व्याख्या:

$x\log x\frac{dy}{dx}+y=4\log x$

दोनों ओर x log x से भाग देने पर

(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x

यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:

(dy/dx) + P(x)y = Q(x)

जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x

समाकलन गुणक दिया गया है:

$I.F=e^{\int P(x)dx}=e^{\int (1/(xlogx))dx}$

u = log x

तो du = (1/x) dx

इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|

इसलिए, समाकलन गुणक है:

$I.F=e^{ln|logx|}=|logx|$

समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:

|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x

|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x

∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx

y |log x| = 2(log x)² + C

जहाँ C समाकलन अचर है

y = (2(log x)² + C) / |log x|

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:

y = 2 log x + C / |log x|

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

यदि $\frac{dy}{dx}+Py=Q$

जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब

$e^{\int Pdx}$
इसका समाकलन गुणक है और

इसका हल इस प्रकार दिया गया है

y $\cdot$(I.F.)=∫Q(I.F.) dx+ C

व्याख्या:

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x\frac{dy}{dx}$ + y = $x^3{y}^6$

⇒ $\frac{dy}{dx}$ + $\frac{1}{x}$ y = $x^3{y}^6$

दोनों पक्षों को $y^6$ से भाग देने पर:

⇒ $y^{-6}$ $\frac{dy}{dx}$ + $\frac{1}{x}$ $y^{-5}$ = $x^2$

$y^{-5}=u$ रखने पर,

तब $\frac{du}{dx}$ = (-5) $y^{-6}$ $\frac{dy}{dx}$

अब $-\frac{1}{5}$ $\frac{du}{dx}$ + $\frac{1}{x}$u = $x^2$

⇒ $\frac{du}{dx}$ - $\frac{5}{x}$u = -5 $x^2$

यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:

I.F= $e^{-5logx}$ = $\frac{1}{x^5}$

सामान्य हल होगा:

$u$$\frac{1}{x^5}$ = $\int -5x^2\cdot \frac{1}{x^5}dx$ + C

जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।

अब u का मान y के पदों में रखने पर:

$y^{-5}$ $\cdot$ $\frac{1}{x^5}$ = $\int -5\cdot \frac{1}{x^3}dx$ + C

⇒ $y^{-5}$ $x^{-5}$ = $\frac{5}{2}$ $x^{-2}$ + C

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

$\frac{dy}{dx}=1+y\sec x$

$\frac{dy}{dx}-y\sec x=1$

जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

जहाँ $P(x)=-\sec x\text{और}Q(x)=1$

$\text{Integrating Factor (I.F.)}=e^{\int -\sec xdx}=e^{-\log |\sec x+\tan x|}=\frac{1}{\sec x+\tan x}$

अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;

$y\times \text{I.F.}=\int (Q\times \text{I.F.})dx+C$

$y\left(\frac{1}{\sec x+\tan x}\right)=\int \frac{1}{\sec x+\tan x}dx+C$

⇒ $\frac{y}{\sec x+\tan x}=\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx+C$

⇒ $\frac{y}{\sec x+\tan x}=\arctan (\sin x)+C$

$y(0)=0$

$0=\arctan (0)+C\Rightarrow C=0$

⇒ $y=(\sec x+\tan x)\arctan (\sin x)$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=(\sec \frac{\pi }{6}+\tan \frac{\pi }{6})\arctan (\sin \frac{\pi }{6})$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}})\arctan \left(\frac{1}{2}\right)$

⇒ $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\arctan \left(\frac{1}{2}\right)$

इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।