Orthogonal Trajectories MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonal Trajectories - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 11, 2025
Latest Orthogonal Trajectories MCQ Objective Questions
Orthogonal Trajectories Question 1:
समीकरण x2 + y2 = C, जहाँ C एक स्वेच्छ स्थिरांक है, का लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Trajectories Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया समीकरण है, x2 + y2 = C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2y dy/dx = 0
dy/dx = -x/y
लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र के लिए, dy/dx को -dx/dy से प्रतिस्थापित करने पर,
- dx/dy = -x/y
⇒ dy / y = dx / x
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
ln y = ln x + ln C , जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है
⇒ ln y = ln (x C)
⇒ y = C x
इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।
Orthogonal Trajectories Question 2:
कार्डिऑइड r = a(1 - cos θ) का लंबकोणीय प्रक्षेप पथ क्या है, जहाँ a प्राचल है?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Trajectories Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
⇒ r = a(1 - cos θ)---------(1)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
⇒\(\frac{dr}{d\theta} = a(\sin\theta)\)
⇒\(a = \frac{1}{\sin \theta}\times \frac{dr}{d\theta} \)
समीकरण 1 में a का मान रखने पर,
⇒\(r = \frac{1}{\sin\theta}\frac{dr}{d\theta}(1-\cos\theta)\)
\(\frac{dr}{d\theta} \) को \(-r^2\frac{d\theta}{dr}\) से प्रतिस्थापित करने पर,
⇒\(r = -\frac{r^2}{\sin\theta} \frac{d\theta}{dr}(1-\cos\theta)\)
⇒ \( \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} d\theta = \frac{dr}{r} \)
\(u = 1 - \cos\theta \) प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,
हम अवकलन करते हैं, \(du = \sin\theta d\theta \)
इसलिए, \( \frac{du}{u} = \frac{dr}{r} \)
⇒ \(\int \frac{du}{u} = \int \frac{dr}{r} \)
\( \ln |u| = \ln |r| + C \)
वापस प्रतिस्थापित करने पर,
\(u = 1 - \cos\theta \)
\(\ln |r| = \ln |1-\cos\theta| + C \)
\(\ln r - \ln |1-\cos\theta| = c \)
⇒ \( \ln(\frac{r}{ 1-\cos\theta}) = C \)
\(\frac{r}{1-\cos\theta} = e^c=a \)
\(r = a(1-\cos\theta) \)
अतः विकल्प 1 सही है।
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Orthogonal Trajectories Question 3:
समीकरण x2 + y2 = C, जहाँ C एक स्वेच्छ स्थिरांक है, का लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र है:
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Trajectories Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया समीकरण है, x2 + y2 = C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2y dy/dx = 0
dy/dx = -x/y
लंबकोणीय प्रक्षेपवक्र के लिए, dy/dx को -dx/dy से प्रतिस्थापित करने पर,
- dx/dy = -x/y
⇒ dy / y = dx / x
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
ln y = ln x + ln C , जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है
⇒ ln y = ln (x C)
⇒ y = C x
इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।
Orthogonal Trajectories Question 4:
कार्डिऑइड r = a(1 - cos θ) का लंबकोणीय प्रक्षेप पथ क्या है, जहाँ a प्राचल है?
Answer (Detailed Solution Below)
Orthogonal Trajectories Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
⇒ r = a(1 - cos θ)---------(1)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
⇒\(\frac{dr}{d\theta} = a(\sin\theta)\)
⇒\(a = \frac{1}{\sin \theta}\times \frac{dr}{d\theta} \)
समीकरण 1 में a का मान रखने पर,
⇒\(r = \frac{1}{\sin\theta}\frac{dr}{d\theta}(1-\cos\theta)\)
\(\frac{dr}{d\theta} \) को \(-r^2\frac{d\theta}{dr}\) से प्रतिस्थापित करने पर,
⇒\(r = -\frac{r^2}{\sin\theta} \frac{d\theta}{dr}(1-\cos\theta)\)
⇒ \( \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} d\theta = \frac{dr}{r} \)
\(u = 1 - \cos\theta \) प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,
हम अवकलन करते हैं, \(du = \sin\theta d\theta \)
इसलिए, \( \frac{du}{u} = \frac{dr}{r} \)
⇒ \(\int \frac{du}{u} = \int \frac{dr}{r} \)
\( \ln |u| = \ln |r| + C \)
वापस प्रतिस्थापित करने पर,
\(u = 1 - \cos\theta \)
\(\ln |r| = \ln |1-\cos\theta| + C \)
\(\ln r - \ln |1-\cos\theta| = c \)
⇒ \( \ln(\frac{r}{ 1-\cos\theta}) = C \)
\(\frac{r}{1-\cos\theta} = e^c=a \)
\(r = a(1-\cos\theta) \)
अतः विकल्प 1 सही है।