At a point MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for At a point - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

किसी फलन की सीमा केवल तभी अस्तित्व में होती है जब उसके बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा अस्तित्व में होती है और बराबर होती हैं और एक सीमित मान होता है।

गणना:

कथन I: \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\) अस्तित्व में है। 

बाएं हाथ की सीमा = \(\lim\limits_{x \to 0} -\frac{1}{h}\) = -∞ 

दाहिने हाथ की सीमा = \(\lim\limits_{x \to 0} +\frac{1}{h}\) = +∞ 

बाएं हाथ की सीमा ≠ दाहिने हाथ की सीमा 

इसलिए,  \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\) अस्तित्व में नहीं है। ​

कथन I गलत है।

कथन I: \(\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}\) अस्तित्व में नहीं है। ​

बाएं हाथ की सीमा = \(\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}\) = e^-∞ = 0

दाहिने हाथ की सीमा = \(\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}\) = e^∞ = ∞

बाएं हाथ की सीमा ≠ दाहिने हाथ की सीमा

 \(\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}\) अस्तित्व में नहीं है। ​

कथन II सही है।

∴ केवल कथन II सही है।

गणना

\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2}{x}\left\{\sin \left(k_{1}+1\right) x+\sin \left(k_{2}-1\right) x\right\}=4\)

⇒ 2(k₁ + 1) + 2(k₂ - 1) = 4

⇒ k₁ + k₂ = 2

⇒ \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x} \ln \left(\frac{2+k_{1} x}{2+k_{2} x}\right)=4\)

⇒ \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \ln \left(1+\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right) x}{2+k_{2} x}\right)=2\)

⇒ \(\frac{\mathrm{k}_{1}-\mathrm{k}_{2}}{2}=2\)

⇒ k₁ - k₂ = 4

∴ k₁ = 3, k₂ = - 1

\(\mathrm{k}_{1}^{2}+\mathrm{k}_{2}^{2}=9+\mathrm{l}=10\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

माना y = f(x) एक फलन है। तब,

फलन सतत होता है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}^{-}}{}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a^+}}{ }}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{}}\)

गणना:

f(x) = \(\rm \left\{\begin{matrix} \rm 12x + 3 λ, \, x\ne1 \\ \rm 0, \, x=1 \end {matrix} \right.\)

चूँकि, f(x) x =1 पर सतत है

⇒ lim_x→112x + 3λ = 0

⇒ 12(1) + 3λ = 0 ⇒ 12 + 3λ = 0

⇒ λ = -4

∴ विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm f(x) = \left\{ \begin{matrix} \rm \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}; & \rm x \ne 0 \\ \rm K; & \rm x = 0 \end{matrix}\right.\)

चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2- \frac {\sin^{-1} x} x}{2 +\frac {\tan^{-1} x} x} = \frac {2-1}{2+1} = \frac 1 3\)

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)

⇒ K = \(\dfrac{1}{3}\)

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) , जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l \neq f\left( a \right)\)

तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।

तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें

⇒ 32 + 3k - 3 = 0.

⇒ 6 + 3k = 0.

⇒ k = - 2.

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

फलन निरंतर होने के लिए:

LHL = RHL = f(x)

जहाँ LHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x - α) और RHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x + α)

गणना:

दिया गया है कि f(x) निरंतर फलन है

LHL = f(x) = RHL

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) f(1 - α) = f(1)

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b(1 - α)] = 5

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b - bα] = 5

a + b = 5

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{ksin(π -x)}{π -x} & if & x \neq π \\ 1 & if & x =π \end{matrix}\right.\) x = π पर निरंतर है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि कोई फलन f बिंदु पर निरंतर है तब\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\)

\(\Rightarrow \rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{ksin(π-x)}{π-x} = f(π) = 1\)

∵ \(\rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{ksin(π-x)}{π-x} = \frac{0}{0}\) , हम एल-हास्पिटल के नियम का उपयोग कर सकते हैं।

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{-kcos(π-x)}{-1} = 1\)

⇒ \(\rm \frac{kcos(π-π)}{1} = 1\) 

⇒ k cos(0) = 1

⇒ k = 1.

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकलित भाग को इंगित करता है जो x का निकटतम और छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है

• सामान्य तौर पर, यदि n≤ x ≤ n+1 तब [x] = n (n ∈ पूर्णांक)
• इसका अर्थ है कि यदि [n, n+1) में स्थित है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा।

गणना​:

दिया गया:

f(x) = \(\left\lbrace \begin{matrix}\dfrac{\sin [\rm x]}{[\rm x]}, \ \ [\rm x] \neq 0 \\\ 0, \ \ [\rm x] = 0\end{matrix} \right.\)

f(x) = \( \left\lbrace \begin{matrix}\dfrac{\rm \sin (-1)}{-1} = \sin 1, \ \ -1 \leq \rm x < 0 \\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rm \ \ 0 \leq x <1\end{matrix} \right.\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \sin 1\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) =0\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) \ne \rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)\)

तो, \(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\) मौजूद नहीं है

संकल्पना:

एक फलन की निरंतरता:

• फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर तब कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है। ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

फलन की अवकलनीयता:

• यदि एक फलन f(x) का अवकलज a पर निरंतर है, तो फलन f(x) बिंदु x = a पर अवकलनीय है। इसका अर्थ है कि f'(a) मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\).

उच्चिष्ठ/निम्निष्ट:

• यदि f(x) में एक बिंदु x = a पर स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ट है, तो इसे या तो क्रांतिक बिंदु [f'(a) = 0] या गैर-अवकलनीय का एक बिंदु है। 

​

गणना:

माना कि हम x = 0 पर फलन के निरंतरता और अवकलनीयता (उच्चिष्ठ/निम्निष्ट) की जाँच करते हैं। 

निरंतरता:

\(\rm f(x) = \left \{ \begin{matrix} \rm x^2; & \rm x \leq 0 \\ \rm 2\sin x; & \rm x > 0 \end{matrix}\right.\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}x^2\) = 0² = 0.

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}2\sin x\) = 2 sin 0 = 0.

f(0) = 0² = 0.

∵ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)\) = f(0), फलन f(x), x = 0 पर निरंतरता है। 

अवकलनीयता:

\(\rm f'(x) = \left \{ \begin{matrix} \rm 2x; & \rm x \leq 0 \\ \rm 2\cos x; & \rm x > 0 \end{matrix}\right.\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}2x\) = 2×0 = 0.

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}2\cos x\) = 2 cos 0 = 2.

∵ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f'(x)\neq\lim_{x\to 0^-}f'(x)\), फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। 

चूँकि, फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, इसलिए हम बिंदु पर उच्चिष्ठ/निम्निष्ट के संभावनाओं की जाँच करते हैं।

फलन f(x) = x2, (-∞, 0] में निरंतर वर्धमान फलन है और इसका निम्निष्ट x = 0 पर 02 = 0 है। 

फलन f(x) = 2sin x, \(\rm \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) निरंतर वर्धमान फलन है और इसका x = 0 पर निम्निष्ट 2 sin 0 = 0 है। 

∴ फलन f(x) में x = 0 पर स्थानीय निम्निष्ट है।      

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) , जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm f(x)= \frac{x^2-5x-6}{x^2 +5x-6}\)

यहाँ, हमें x का मान ज्ञात करना है जिसके लिए f(x) निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l \neq f\left( a \right)\)

तो, फलन f(x) के लिए, यदि भाजक x = a पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f(a) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना x का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक 0 है।

⇒ x2 + 5x - 6 = 0

⇒ (x + 6) (x - 1) = 0

⇒ x = -6, 1

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

अवकलनीय फलन:

• यदि किसी बिंदु पर ग्राफ का तीक्ष्ण किनारा है, तो उस बिंदु पर फलन अवकलनीय नहीं होता है।
• यदि ग्राफ में किसी बिंदु पर विराम है, तो उस बिंदु पर फलन अवकलनीय नहीं होता है।
• यदि किसी ग्राफ में किसी बिंदु पर एक लंबवत स्पर्शरेखा रेखा होती है, तो उस बिंदु पर फलन भिन्न नहीं होता है।

गणना​:

दिया गया है कि,

f(x) = |x| - 1     ----(1)

चरण: 1

चरण: 2

:

चरण: 3

स्पष्ट रूप से हम देख सकते हैं कि,

f(x) x = 1 पर संतत है और 

f(x) x = 0 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि x = 0 पर एक किनारा है।

∴ केवल कथन 1 सही है।

Additional Information

• अवकलनीय फलन वे फलन होते हैं जिनके अवकलज मौजूद हैं।
• यदि कोई फलन अवकलनीय है, तो वह संतत है।
• यदि कोई फलन संतत है, तो यह आवश्यक रूप से अवकलनीय नहीं है।
• एक अलग-अलग फलन के ग्राफ में ब्रेक, कोने या क्यूप्स नहीं होते हैं।

संकल्पना:

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है      (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

निरंतरता: फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर तब कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख एकल अखंडित वक्र है। 

f(x), x = a पर निरंतर है

⇔ \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

दिया गया है

⇒ \(\rm f(x)= \frac{x}{2} - 1\)  0 ≤  x ≤  π के लिए

\(\rm \Rightarrow f(x) = \begin{Bmatrix} -1 & 0 ≤ x < 2 \\ 0 & 2 ≤ x ≤ \pi \end{Bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow tan\: {f(x)} = \begin{Bmatrix} \rm tan(-1) & 0 ≤ \rm x < 2 \\\rm tan (0) & 2 ≤ \rm x ≤ \pi \end{Bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2^{-}}tan\: {f(x)} = - tan (1) \)

\(\rm \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2^{+}}tan\: {f(x)} = 0 \)

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{2}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} \ne {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{2}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} \)

तो, tan f(x) x = 2 पर निरंतर नहीं है

संकल्पना:

• हम जानते हैं कि f(x), x = c पर निरंतर है यदि 

LHL = RHL = f(c) का मान अर्थात् \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( {\rm{c}} \right)\)

• \(\sqrt {{{\rm{x}}^2}} = \left| {\rm{x}} \right|\)

• \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \left| {\rm{x}} \right|{\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x,\;x < 0}\\ {x,\;x \ge 0} \end{array}} \right.\)

गणना:

दिया गया है: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2}} }},{\rm{\;x}} \ne 0}\\ {0.{\rm{\;x}} = 0} \end{array}} \right.\) 

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2}} }}\)

\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - \frac{{\rm{x}}}{{\left| {\rm{x}} \right|}}\)

\({\rm{LHL}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - \frac{{\rm{x}}}{{ - {\rm{x}}}} = 1\)                      (∵ |x| = -x, यदि x < 0है।)

\({\rm{RHL}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - \frac{{\rm{x}}}{{\rm{x}}} = - 1\)                    (∵ |x| = x, यदि  x > 0 है।)

यहाँ, LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) अनिरंतर है।