यदि \(\rm f(x) = \left \{ \begin{matrix} \rm x^2; & \rm x \leq 0 \\ \rm 2\sin x; & \rm x > 0 \end{matrix}\right.\) है, तो x = 0 किसका एक बिंदु है?

संकल्पना:

एक फलन की निरंतरता:

• फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर तब कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है। ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

फलन की अवकलनीयता:

• यदि एक फलन f(x) का अवकलज a पर निरंतर है, तो फलन f(x) बिंदु x = a पर अवकलनीय है। इसका अर्थ है कि f'(a) मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\).

उच्चिष्ठ/निम्निष्ट:

• यदि f(x) में एक बिंदु x = a पर स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ट है, तो इसे या तो क्रांतिक बिंदु [f'(a) = 0] या गैर-अवकलनीय का एक बिंदु है। 

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गणना:

माना कि हम x = 0 पर फलन के निरंतरता और अवकलनीयता (उच्चिष्ठ/निम्निष्ट) की जाँच करते हैं। 

निरंतरता:

\(\rm f(x) = \left \{ \begin{matrix} \rm x^2; & \rm x \leq 0 \\ \rm 2\sin x; & \rm x > 0 \end{matrix}\right.\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}x^2\) = 0² = 0.

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}2\sin x\) = 2 sin 0 = 0.

f(0) = 0² = 0.

∵ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)\) = f(0), फलन f(x), x = 0 पर निरंतरता है। 

अवकलनीयता:

\(\rm f'(x) = \left \{ \begin{matrix} \rm 2x; & \rm x \leq 0 \\ \rm 2\cos x; & \rm x > 0 \end{matrix}\right.\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}2x\) = 2×0 = 0.

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}2\cos x\) = 2 cos 0 = 2.

∵ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f'(x)\neq\lim_{x\to 0^-}f'(x)\), फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। 

चूँकि, फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, इसलिए हम बिंदु पर उच्चिष्ठ/निम्निष्ट के संभावनाओं की जाँच करते हैं।

फलन f(x) = x2, (-∞, 0] में निरंतर वर्धमान फलन है और इसका निम्निष्ट x = 0 पर 02 = 0 है। 

फलन f(x) = 2sin x, \(\rm \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) निरंतर वर्धमान फलन है और इसका x = 0 पर निम्निष्ट 2 sin 0 = 0 है। 

∴ फलन f(x) में x = 0 पर स्थानीय निम्निष्ट है।