यदि अंतराल [0, π] पर \(\rm f(x)= \frac{x}{2} - 1\) हो तो \(\rm \mathop {\lim} \limits_{x\to 2} tan [f(x)] = \)

जहाँ [⋅] महत्तम पूर्णांक फलन है।

संकल्पना:

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है      (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

निरंतरता: फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर तब कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख एकल अखंडित वक्र है। 

f(x), x = a पर निरंतर है

⇔ \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

दिया गया है

⇒ \(\rm f(x)= \frac{x}{2} - 1\)  0 ≤  x ≤  π के लिए

\(\rm \Rightarrow f(x) = \begin{Bmatrix} -1 & 0 ≤ x < 2 \\ 0 & 2 ≤ x ≤ \pi \end{Bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow tan\: {f(x)} = \begin{Bmatrix} \rm tan(-1) & 0 ≤ \rm x < 2 \\\rm tan (0) & 2 ≤ \rm x ≤ \pi \end{Bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2^{-}}tan\: {f(x)} = - tan (1) \)

\(\rm \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2^{+}}tan\: {f(x)} = 0 \)

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{2}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} \ne {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{2}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;}} \)

तो, tan f(x) x = 2 पर निरंतर नहीं है