दो कणों को समान गति u से एक ही बिंदु से इस प्रकार प्रक्षेपित किया जाता है कि उनके परास R समान हैं, लेकिन भिन्न अधिकतम ऊँचाई, h₁ और h₂ है। निम्न में से कौन सा सही है?

अवधारणा:

क्षैतिज परास में प्रक्षेप्य का कोण, क्षैतिज दूरी में अधिकतम अंतराल होता है।

$\mathrm{R}=\frac{{\mathrm{u}}^2\sin 2\theta }{\mathrm{g}}$

प्रक्षेप्य द्वारा तय किए गए अधिकतम ऊर्ध्वाधर अंतराल की ऊँचाई।

$\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{v}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{2\mathrm{g}}$

गणना:

दो कणों को एक ही बिंदु से समान गति से, समान परास और भिन्न ऊँचाई में प्रक्षेपित किया जाता है।

माना दोनों कण p₁ और p₂ हैं।

तो, कण p1 के प्रक्षेप्य का कोण θ है और कण p2 का 90 - θ है

प्रक्षेप्य गति का परास निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm{R}=\frac{{\mathrm{u}}^2\sin 2\theta }{\mathrm{g}}$

∵ [sin 2θ = 2 sin θ cos θ]

$\mathrm{R}=\frac{2{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{g}}$

प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई निम्न सूत्र द्वारा दिया जाती है:

$\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{v}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{2\mathrm{g}}$

कण p1: (गति ‘u’)

अब, कण p₁ की प्रक्षेप्य गति का परास है:

$\Rightarrow {\mathrm{R}}_1=\frac{2{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{g}}$

अब, कण p1 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

$\Rightarrow {\mathrm{h}}_1=\frac{{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{2\mathrm{g}}$

$\Rightarrow 2{\mathrm{h}}_1=\frac{{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{\mathrm{g}}$ (1)

कण p2: (गति ‘u’)

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति का परास है:

$\Rightarrow {\mathrm{R}}_2=\frac{2{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{g}}$

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

$\Rightarrow {\mathrm{h}}_2=\frac{{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\left(90-\theta \right)}{2\mathrm{g}}$

$\Rightarrow {\mathrm{h}}_2=\frac{{\mathrm{u}}^2{\cos }^2\theta }{2\mathrm{g}}$

$\Rightarrow 2{\mathrm{h}}_2=\frac{{\mathrm{u}}^2{\cos }^2\theta }{\mathrm{g}}$ ---- (2)

दोनों कणों का परास समान है।

अब, विकल्पों से, R2, h₁ और h₂ से संबंधित है।

इसलिए,

$\Rightarrow {\mathrm{R}}^2=\frac{4{\mathrm{u}}^4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }{{\mathrm{g}}^2}$

$\Rightarrow {\mathrm{R}}^2=4\left(\frac{{\mathrm{u}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{\mathrm{g}}\right)\times \left(\frac{{\mathrm{u}}^2{\cos }^2\theta }{\mathrm{g}}\right)$

उपर्युक्त समीकरण में समीकरण (1) और (2) प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ R2 = 4(2h1)(2h2)