मूलबिंदु से A और B तक के सदिश = 2î - 3ĵ + 2k̂ और = 2î + 3ĵ + k̂ हैं, तब त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल कितना है?

अवधारणा:

दो भुजाओं $\overrightarrow{a}$ और  $\overrightarrow{b}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल  $\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$ होता है। 

आकलन

त्रिभुज  $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$  और $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$   की भुजाएँ क्रमशः = 2î − 3ĵ + 2k̂ और = 2î + 3ĵ + k̂ हैं। 

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल  $\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$ है,

⇒ $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$

⇒  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = (- 3 - 6)î - (2 - 4)ĵ + (6 + 6)k̂  = - 9î + 2ĵ + 12k̂

⇒  $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sqrt{(-9{)}^2+2^2+(12{)}^2}$ = $\sqrt{81+4+144}=\sqrt{229}$

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$ = $\frac{\sqrt{229}}{2}$ है।  

सही उत्तर विकल्प 4 है।