यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम है, तो ∠A किसके बराबर है?

गणना:

दिया गया,

\(AB + AC = 3\)

मान लीजिए \(AB = x\) और \(AC = 3 - x\) 

तब,

\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3 - x)^2 - x^2} = \sqrt{9 - 6x} \)

त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

\(A = \tfrac12\,x\,\sqrt{9 - 6x} \)

अधिकतम करने के लिए, सेट अप करते हैं

\(A^2 = \tfrac14\,x^2\,(9 - 6x)\)

\(\displaystyle \frac{d(A^2)}{dx} = \tfrac14\bigl(2x(9 - 6x) + x^2(-6)\bigr) = \frac{18x(1 - x)}{4} = 0 \)

अतः, \(x = 1\) (x=0 को छोड़कर, इसलिए 

\(BC = \sqrt{9 - 6}= \sqrt{3},\quad AC = 3 - 1 = 2\)

इसलिए,

\(\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{3}\)

∴ \(\angle A = \frac{\pi}{3}\) 

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।