एक समतल में गतिमान कण के प्रक्षेप पथ को ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) में समीकरणों \(r=r_0 e^{β t} \text { और } \frac{d \theta}{d t}=ω\) द्वारा व्यक्त किया गया है, जहाँ पैरामीटर r₀, β और ω धनात्मक हैं। माना v_r और a_r क्रमशः त्रिज्यीय दिशा में वेग और त्वरण को दर्शाते हैं। हालाँकि, इस प्रक्षेप पथ के लिए ________।

व्याख्या:

हम पहले ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग सदिश लिखेंगे और त्रिज्यीय वेग और त्रिज्यीय त्वरण लिखेंगे और अवकलन करके हमें वांछित हल प्राप्त होगा।

दिया गया है -\(r=r_0 e^{β t} \text { और } \frac{d \theta}{d t}=ω\) _________1

ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग त्रिज्यीय और अनुप्रस्थ वेग के योग द्वारा दिया जाता है।

\(v=v_r+v_t=\dot r \hat{r}+r\dot \theta \hat{\theta}\)

त्रिज्यीय वेग \(v_r=\dot r\)

त्रिज्यीय त्वरण \(a_r=(\ddot {r}-r\dot \theta^2)\)

अब, \(r=r_0 e^{β t} \) और \(\dot r=r_0 \beta e^{β t} \)

\(\frac{d v_r}{d t}=\)\(\beta ^2r_0 \beta e^{β t} \) => \(\frac{d v_r}{d t}\)\(>0\)

\(\ddot r=r_0 \beta^2 e^{β t} \) और \(\ddot \theta^2=\omega^2\)

\(a_r=\)\(\beta ^2r_0 \beta e^{β t} \) \(-r\omega^2\)\(=\)\(\beta ^2r_0 \ e^{β t} \)\(-r_0 \omega^2e^{β t}\)\(=\)\(r_0 \ e^{β t} (\beta^2-\omega^2)\)

यदि \(\beta=\omega\), \(a_r=0\) पैरामीटरों के कुछ विकल्पों के लिए।

इसलिए, सही उत्तर -\(\frac{d v_r}{d t}>0\) है हालाँकि, \(a_r=0\) पैरामीटरों के कुछ विकल्पों के लिए।