Classical Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classical Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

उत्तर : (2)

हल :

यहाँ n एक विषम धनात्मक पूर्णांक होगा।

\(\rm V=-\int F d x \Rightarrow V=\frac{1}{2} k_{1} x^{2}+\frac{k_{2}}{n+1} x^{n+1}\)

x = 0 के इर्द-गिर्द सीमित छोटे दोलनों के लिए, विभव x = 0 के सापेक्ष सममित होना चाहिए, इसलिए n एक विषम धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।

उत्तर : (1)

हल :

\(\rm \frac{d}{d t}(\vec{r} \times \vec{v})=\frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{v}+\vec{r} \times \frac{d \vec{v}}{d t}=\vec{r} \times \frac{d \vec{v}}{d t} \quad \because \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{v}=0\)

\(\Rightarrow(\vec{r} \times \vec{a})=\frac{d}{d t}(\vec{r} \times \vec{v}) \quad \because \vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}, \vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}\)

\(\rm I=\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\vec{r} \times \vec{a}) d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{d t}(\vec{r} \times \vec{V}) d t \Rightarrow I=[\vec{r} \times \vec{V}]_{t_{1}}^{t_{2}} \Rightarrow I=\vec{r}_{2} \times \vec{V}_{2}-\vec{r}_{1} \times \vec{V}_{1}\)

\(\rm \vec{L}=\overline{\bar{I}} \vec{\omega} \)

\(\left(\begin{array}{l} l \\ l \\ l \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2 I & 0 & 0 \\ 0 & 2 I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{array}\right) \Rightarrow \omega_{x}=\frac{l}{2 I}, \omega_{y}=\frac{l}{2 I}, \omega_{z}=\frac{l}{I}\)

\(\rm \vec{L}=l \hat{x}+l \hat{y}+l \hat{z}, \vec{\omega}=\frac{l}{2 I} \hat{x}+\frac{l}{2 I} \hat{y}+\frac{l}{I} \hat{z}\)

\(\rm \cos \theta=\frac{\vec{L} \cdot \vec{\omega}}{L \omega}\) = \(\rm \frac{\frac{l^2}{2I}+\frac{l^2}{2I}+\frac{l^2}{I}}{\sqrt{l^{2}+l^{2}+l^{2}} \sqrt{\frac{l^2}{4I^2}+ \frac{l^2}{4I^2}+\frac{l^2}{2I^2}}}\) = \(\rm \frac{\frac{4l^2}{2I}}{l \sqrt{3} \sqrt{\frac{6l^2}{4I^2}}}=\frac{\frac{4l^2}{2I}}{\frac{l^2}{2I}\sqrt{18}}=\frac{4}{\sqrt{18}}=\frac{4}{3 \sqrt{2}} \)

\(\Rightarrow \cos \theta=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

(i) \(\rm L_{1}^{z}=x_{1} p_{y 1}-y_{1} p_{x 1}\)

\(\rm H=\frac{p_{1 x}^{2}+p_{1 y}^{2}}{2 m}+\frac{p_{2 x}^{2}+p_{2 y}^{2}}{2 m}+k\left[x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}\right]\)

\(\rm {\left[L_{1}^{z}, H\right]=x_{1}\left[p_{y 1}, y_{1}^{z}\right] k+p_{y 1}\left[x_{1}+\frac{p_{x 1}^{2}}{2 m}\right]-y_{1}\left[p_{x 1}, x_{1}^{2}\right] k-p_{x 1}\left[y_{1}, \frac{p_{y 1}^{2}}{2 m}\right]} \)

\(\rm \Rightarrow\left[L_{1}^{z}, H\right]=-2 x_{1} y_{1} k+\frac{p_{y 1} p_{x 1}}{m}+2 x_{1} y_{1} k-\frac{p_{x 1} p_{y 1}}{m} \)

\(\rm \Rightarrow\left[L_{1}^{z}, H\right]=0\), Similarly \(\rm \left[L_{2}^{z}, H\right]=0\)

(ii) \(\rm \left[p_{1 z}+p_{2 z}, H\right]=k\left[p_{1 z}, z_{1}^{2}\right]-2 k z_{2}\left[p_{1 z}, z_{1}\right]+k\left[p_{2 z}, z_{2}^{2}\right]-2 k z_{1}\left[p_{2 z}, z_{2}\right] \)

\(\rm \Rightarrow [p_{1 z}+p_{2 z}, H]=-2 k z_{1}+2 k z_{2}-2 k z_{2}+2 k z_{1} \Rightarrow[p_{1 z}+p_{2 z}, H]=0\)

⇒ [p_1z + p_2z, H] = -2kz₁ + 2kz₂ - 2kz₂ + 2kz₁ ⇒ [p_1z + p_2z, H] = 0

So, \(\rm L_{1}^{z}, L_{2}^{z}\) and p_1z + p_2z are conserved quantities during the dynamics of the system. 

हल:

F₃ = F₃(p, Q, t)

∂F₃/∂p = -q, ∂F₃/∂Q = -P

⇒ Q = log(1 + q^1/2 cos p) ⇒ e^Q = 1 + q^1/2 cos p

⇒ (e^Q - 1) / cos p = q^1/2 ⇒ q = ((e^Q - 1)²) / cos² p

⇒ P = 2(1 + q^1/2 cos p) q^1/2 sin p ⇒ P = 2e^Q q^1/2 sin p ⇒ 2e^Q(e^Q - 1) tan p

⇒ ∂F₃/∂p = -q = -((e^Q - 1)² / cos² p) ⇒ F₃ = -∫(e^Q - 1)² sec²p dp

⇒ F₃ = - (e^Q - 1)² tan p + f₁(Q) ........A

∂F₃/∂Q = -P = -2(e^2Q - e^Q) tan p

F₃ = -2 ∫ (e^2Q - e^Q) tan p + f₂(p)

= - (e^Q - 1)² tan p + tan p + f₂(p) ....(B)

A और B की तुलना करने पर: f₁(Q) = 0, f₂(p) = -tan p

इसलिए F₃ = - (e^Q - 1)² tan p

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

Concept:

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a projectile, and its path is called its trajectory.

Calculation:

v = \(\sqrt{2gh} \) and v = e\(\sqrt{2gh} \)

0 = (ev)² - 2gh₁

h₁ = \({e^2 × 2gh\over 2g}\) = e²h

Similarly, h₂ = e⁴h

H = h + 2h₁ + 2h₂ +...∞ 

= h + 2(e²h + e⁴h + ... ∞)

= h + 2e²h(\({1\over 1-e^2}\))

= h × (\({1+ e^2 \over 1-e^2}\))

The coefficient of restitution between the ball and the floor is 0.5.

e = 0.5

H = 5h/3

The correct answer is option (2).

अवधारणा:

हम कोणीय संवेग सूत्र का उपयोग कर रहे हैं जो \(\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}\) है और फिर \(x,y,z,\) समतलों के लिए इस सूत्र का उपयोग कर रहे हैं।

\(L,\omega\) और \(I\) के मानों के लिए आव्यूह का उपयोग करके हमें कोणीय संवेग के परिमाण और दिशा का मान प्राप्त होता है।

व्याख्या:

एक वृत्ताकार डिस्क \(xy\) समतल में केंद्र के रूप में मूलबिंदु के साथ घूम रही है।

दिया गया है,

• \(\omega=\omega_0(\hat j+\hat k)\) जहाँ \(\omega\) कोणीय वेग है
• \(I_0\) जड़त्व आघूर्ण है

हम कोणीय संवेग के लिए सूत्र का उपयोग कर रहे हैं

• \(\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}\)
• \(I_{xx}=I_{yy}=I_0\)

कोणीय संवेग को \(x,y,z,\) समतलों में दर्शाने के लिए हम कोणीय संवेग \(L\) के लिए सदिश संकेतन का उपयोग करेंगे,

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\begin{bmatrix}I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} &I_{yy} & I_{yz} \\[0.3em] I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}\omega_x\\[0.3em]\omega_y\\[0.3em]\omega_z\end{bmatrix}\)
• \(I_{xx}=I_{yy}=I_0\)

लम्बवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,

• \(I_{xx}+I_{yy}=I_{zz}=I_0+I_0=2I_0\)
• \(\omega=\omega_0(\hat j+\hat k)\)

आव्यूह समीकरण में \(I\) और \(\omega\) के मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\begin{bmatrix}I_0 & 0 & 0 \\ 0 &I_0 & 0 \\[0.3em] 0 & 0 & 2I_0\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0\\[0.3em]\omega_0\\[0.3em]\omega_0\end{bmatrix}\)

ऊपर दिए गए आव्यूहों के गुणन से, हमें प्राप्त होता है

• \(\begin{bmatrix}L_x\\[0.3em]L_y\\[0.3em]L_z\end{bmatrix}\)\(=\)\(\begin{bmatrix}0\\[0.3em]I_0\omega_0\\[0.3em]2I_0\omega_0\end{bmatrix}\)
• \(\overrightarrow{L}=\overrightarrow{L_0}\hat j+2\overrightarrow{L_0}\hat k\)

यह कोणीय संवेग का परिमाण है। कोणीय संवेग की दिशा \((\hat j +\hat 2k)\) है।

संप्रत्यय:

हम यहाँ केप्लर के नियम का उपयोग कर रहे हैं जो बताता है कि सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रों को प्रसर्प करता है।

• \(\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A} {T}=constant\)

व्याख्या:

केप्लर के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,

• \(\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A} {T}=constant\)
• \(A_1=\frac {\pi ab}{2}+2\times\frac{1}{2}\times b\times c\)

उत्केन्द्रता(e)\(=\frac {c}{a}\)=>\(c=ea\)

• \(A_1=\frac {\pi ab}{2}+eba=ab(\frac {\pi} {2}+e)\)
• \(A_2=\pi ab-ab(\frac {\pi}{2}+e)=ab(\frac {\pi} {2}-e)\)

अब,

• \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{A_1}{A_2}\)
• \(\frac{T_1}{T_2}=\frac {ab(\frac {\pi}{2}+e)} {ab(\frac {\pi}{2}-e)}=\frac {(\frac {\pi}{2}+e)} {(\frac {\pi}{2}-e)}\)
• \(T_1=\frac {\frac{\pi }{2}+e}{\pi}, T_2=\frac {\frac{\pi }{2}-e}{\pi}\)
• \(T_1-T_2=\frac{2e}{\pi}=\frac {2\times0.0167\times 365}{3.14}\approx3.9 days.\)

व्याख्या:

• दिए गए रूपांतरण \(X=\frac{α p}{x}\) और \(P = βx²\) को हम विहित रूपांतरणों की आवश्यकताओं के विरुद्ध जांचेंगे।
• अन्य आवश्यकताओं के अलावा, मुख्य आवश्यकता यह है कि प्वासों ब्रैकेट {X, P} = 1 होना चाहिए।
• आंशिक अवकलजों के संदर्भ में, प्वासों ब्रैकेट को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \({X, P} = (\frac{∂X}{∂x})(\frac{∂P}{∂p}) - (\frac{∂X}{∂p})(\frac{∂P}{∂x})\)
• समस्या कथन से X और P को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: \({X, P} = (\frac{∂(αp/x)}{∂x})(\frac{∂(βx²)}{∂p}) - (\frac{∂(αp/x)}{∂p})(\frac{∂(βx²)}{∂x})\)
• आंशिक अवकलजों की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है:\({X, P} = (\frac{-αp}{x²})(0) - (\frac{α}{x})(2βx) = -2αβ \)
• उपरोक्त समीकरण को 1 पर सेट करने पर: \(-2αβ = 1\)
• अंत में, \(1+2αβ = 0\)

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)

L^' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))

\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = ​​{d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)

⇒\(\dot{y} = c_1\)

Similarly \(\dot{x} = c_2\)

The correct answer is option (2).

व्याख्या:

हम पहले ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग सदिश लिखेंगे और त्रिज्यीय वेग और त्रिज्यीय त्वरण लिखेंगे और अवकलन करके हमें वांछित हल प्राप्त होगा।

दिया गया है -\(r=r_0 e^{β t} \text { और } \frac{d \theta}{d t}=ω\) _________1

ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग त्रिज्यीय और अनुप्रस्थ वेग के योग द्वारा दिया जाता है।

\(v=v_r+v_t=\dot r \hat{r}+r\dot \theta \hat{\theta}\)

त्रिज्यीय वेग \(v_r=\dot r\)

त्रिज्यीय त्वरण \(a_r=(\ddot {r}-r\dot \theta^2)\)

अब, \(r=r_0 e^{β t} \) और \(\dot r=r_0 \beta e^{β t} \)

\(\frac{d v_r}{d t}=\)\(\beta ^2r_0 \beta e^{β t} \) => \(\frac{d v_r}{d t}\)\(>0\)

\(\ddot r=r_0 \beta^2 e^{β t} \) और \(\ddot \theta^2=\omega^2\)

\(a_r=\)\(\beta ^2r_0 \beta e^{β t} \) \(-r\omega^2\)\(=\)\(\beta ^2r_0 \ e^{β t} \)\(-r_0 \omega^2e^{β t}\)\(=\)\(r_0 \ e^{β t} (\beta^2-\omega^2)\)

यदि \(\beta=\omega\), \(a_r=0\) पैरामीटरों के कुछ विकल्पों के लिए।

इसलिए, सही उत्तर -\(\frac{d v_r}{d t}>0\) है हालाँकि, \(a_r=0\) पैरामीटरों के कुछ विकल्पों के लिए।

संप्रत्यय:

किसी निकाय का हैमिल्टनी उस निकाय की कुल ऊर्जा को निर्दिष्ट करता है—अर्थात, उसकी गतिज ऊर्जा (गति की) और उसकी स्थितिज ऊर्जा (स्थिति की) का योग—गतिशीलता के पूर्व अध्ययनों में व्युत्पन्न लग्रांजी फलन और प्रत्येक कण की स्थिति और संवेग के पदों में।

परिकलन:

H = q1p1 - q2p2 + \(aq_1^2\) , जहाँ a > 0 एक अचर है।

f = (q₁q₂ + λp₁p₂)

\({df \over dt}\) = [f,H] + \({\partial f \over \partial t }\)

\({\partial f \over \partial t }\) = 0 ⇒ \({df \over dt}\) = [f,H] = 0

[f,H] = \([{\partial f \over \partial q_1}{\partial H \over \partial p_1}-{\partial f \over \partial p_1}{\partial H \over \partial q_1}]+[{\partial f \over \partial q_2}{\partial H \over \partial p_2}-{\partial f \over \partial p_2}{\partial H \over \partial q_2}]= 0\)

q₂ . q₁ - λ p₂ (p₁ + 2aq₁) + q₁(-q₂) - λ p₁(-p₂) = 0

∴ λ = 0

सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

हम हैमिल्टोनियन और लैग्रेंजियन के संबंध का उपयोग करेंगे जो निम्न द्वारा दिया गया है

• \(H=\sum p_i \dot{q_i}-L\)
• दो-कण प्रणाली के लिए, हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं \(H=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-L\)

व्याख्या:

दिया गया है, \(H=p_1p_2+q_1q_2\)

• \(H=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-L\)
• \(H=p_1p_2+q_1q_2\) (दिया गया है)

H का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,

• \(L=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-p_1p_2-q_1q_2\)--------------------------------1
• हैमिल्टन समीकरणों का उपयोग करते हुए, \(\dot p=\frac{-\partial H}{\partial q}, \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}\)
• \(\dot q_1=\frac {\partial H}{\partial p_1}=p_2\) और \(\dot q_2=\frac {\partial H}{\partial p_2}=p_1\)
• लैग्रेंजियन का मान प्राप्त करने के लिए समीकरण 1 में \(p_1\) और \(p_2\) का मान रखें
• \(L=p_1\dot{q_1}+p_2\dot {q_2}-p_1p_2-q_1q_2\) \(=\)\(L=\dot q_2\dot{q_1}+\dot q_1\dot {q_2}-\dot q_1\dot q_2-q_1q_2\)
• \(L=\dot q_2 \dot q_1-q_1q_2\)

इसलिए, सही उत्तर \(L=\dot q_2 \dot q_1-q_1q_2\) है।

संप्रत्यय:

हम पहले दी गई स्थिति के लिए लैग्रेंजियन लिखेंगे, फिर हम सामान्य नोड्स के लिए समीकरण का उपयोग करेंगे जो \(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\) द्वारा दिया गया है।

व्याख्या:

दिया गया है m दो समान द्रव्यमान हैं, k स्प्रिंग नियतांक है और \(x_1\) और \(x_2\) क्रमशः पहले और दूसरे स्प्रिंग के विस्थापन हैं।

• \(T=\frac {1}{2}mx_1^2+\frac{1}{2}mx_2^2\)
• \(V=\frac {1}{2}k[x_1-0]^2+\frac{1}{2}[x_2-x_1]^2\)
• \(V=\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}kx_2^2-kx_1x_2\)
• \(V=kx_1^2+\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{kx_1x_2}{2}-\frac{kx_1 x_2}{2}\)
• आव्यूह का उपयोग करके हम \(V\) और \(T\) के संचालकों को इस प्रकार लिख सकते हैं,
• \(\hat T=\begin{bmatrix} \frac{m}{2} & 0 \\[0.3em] 0 & \frac{m}{2} \\[0.3em] \end{bmatrix} \) और \(\hat V=\begin{bmatrix} k & \frac{-k}{2} \\[0.3em] \frac{-k}{2} & \frac{k}{2} \\[0.3em] \end{bmatrix} \)
• सामान्य विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात प्राप्त करने के लिए समीकरण-\(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\) में ये मान रखें,
• \(|\hat V-\omega^2\hat T|=0\)
• \(k|\begin{bmatrix} (1-\frac{\omega^2}{2}) & \frac{-1}{2} \\[0.3em] \frac{-1}{2} &( \frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}) \\[0.3em] \end{bmatrix} |=0\)
• \(\det \begin{bmatrix} (1-\frac{\omega^2}{2}) & \frac{-1}{2} \\[0.3em] \frac{-1}{2} & (\frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}) \\[0.3em] \end{bmatrix} =0\)
• \((1-\frac{\omega ^2}{2})(\frac{1}{2}-\frac {\omega^2}{2})=0\)
• \(\frac{1}{2}-\frac{\omega^2}{2}-\frac {\omega^2}{4}+\frac{\omega^4}{4}-\frac{1}{4}=0\)
• \(2-2\omega^2-\omega^2+\omega^4-1=0 \)
• \(\omega^4-3\omega^2+1=0\)
• उपरोक्त समीकरण का हल \(\omega^2=\frac {3\pm \sqrt5}{2}\) है
• \(\therefore \omega_+=\sqrt \frac{3+\sqrt 5}{2}, \omega_-=\sqrt\frac{3-\sqrt {5}}{2}\)
• दोनों आवृत्तियों का अनुपात \(=\frac {\omega_-}{\omega_+}=\frac{\sqrt {3-\sqrt 5}}{\sqrt{3+\sqrt 5}}\)

इसलिए, सही उत्तर \(=\frac {\omega_-}{\omega_+}=\frac{\sqrt {3-\sqrt 5}}{\sqrt{3+\sqrt 5}}\) है।