ΔABC में यदि sin2 A + sin2 B = sin2 C और \(l (AB) =10\) है, तो ΔABC के क्षेत्रफल का अधिकतम मान क्या है?

संकल्पना:

ΔABC में, साइन नियम

\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {c}{sin\;C} \)

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times base \;\times height \)

गणना:

दिया गया है, ΔABC में यदि sin2 A + sin2 B = sin2 C और 

l(AB) = 10 ⇒ c = 10 है। 

⇒ a2 + b2 = c2

पाइथागोरस प्रमेय सत्यापित है। 

\(\rm \angle C = 90^\circ\)

इसलिए, ΔABC समकोण त्रिभुज है।

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times base \;\times height \)

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times a \times b\)....(1)

साइन नियम से, हमारे पास निम्न हैं 

\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {c}{sin\;C} \)

⇒\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {10}{sin\; 90^\circ} \)

⇒\(\rm \dfrac {a}{sin\; A} = \dfrac {b}{sin\; B} = \dfrac {10}{1} \)

⇒\(\rm a = 10\;sin\;A\) and \(\rm b = 10\;sin\;B\)

समीकरण (1) निम्न हो जाता है, 

\(\rm A (ΔABC) = \dfrac{1}{2}\times 10 \;sin\; A \times 10\;sin\; B \)

⇒\(\rm A (ΔABC) = 50 \times sin\; A \times sin\; B \) ....(2)

चूँकि, \(\rm \angle C = 90^\circ\) और त्रिभुज के सभी कोण का योग 180º है। 

\(\rm \angle (A+B) = 90^\circ\)

⇒Max (\(\rm sin\; A \times sin\; B\)) = \(\rm \dfrac 1 2\)

समीकरण (2) निम्न हो जाता है, 

\(\rm A (ΔABC) = 50 \times \dfrac 1 2 \)

\(\rm A (ΔABC) = 25 \)