यदि आव्यूह $\left[\begin{array}{lll}5& 8& 6\\ 3& 2& 4\\ 1& 7& 9\end{array}\right]$ को A + B के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ A सममित और B विषम-सममित हो, तो B का मान क्या है?

व्याख्या:

A + B = $\left[\begin{array}{lll}5& 8& 6\\ 3& 2& 4\\ 1& 7& 9\end{array}\right]$, जहाँ A सममित है और B विषम-सममित है। 

तब B का रूप $\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right]$ और A का रूप $\left[\begin{array}{ccc}d& e& f\\ e& g& h\\ f& h& i\end{array}\right]$होगा। 

इसलिए, (1) गलत है क्योंकि विषम-सममित आव्यूह का विकर्ण आव्यूह सदैव 0 होता है।

अब, A + B = $\left[\begin{array}{ccc}d& a+e& b+f\\ -a+e& g& c+h\\ -b+f& -c+h& i\end{array}\right]$

इसलिए, $\left[\begin{array}{ccc}d& a+e& b+f\\ -a+e& g& c+h\\ -b+f& -c+h& i\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}5& 8& 6\\ 3& 2& 4\\ 1& 7& 9\end{array}\right]$

तुलना करने पर,

a + e = 8 और -a + e = 3

इन्हें जोड़ने पर हमें e = 11/2 प्राप्त होता है। 

और इन्हें घटाने पर हमें a = 5/2 प्राप्त होता है। 

b + f = 6, -b + f = 1 

इन्हें हल करने पर हमें f = 7/2 और b = 5/2 प्राप्त होता है। 

साथ ही, c + h = 4, - c + h = 7 

हल करने पर हमें h = 11/2, c = -3/2  प्राप्त होता है। 

अतः हमें B = $\left[\begin{array}{ccc}0& 5/2& 5/2\\ -5/2& 0& -3/2\\ -5/2& 3/2& 0\end{array}\right]$प्राप्त होता है। 

अतः विकल्प (2) सत्य है। 

अब विकल्प (3) के लिए -

A + B = $\left[\begin{array}{lll}5& 8& 6\\ 3& 2& 4\\ 1& 7& 9\end{array}\right]$, जहाँ A सममित है और B विषम-सममित है। 

इसलिए माना B $\left[\begin{array}{ccc}0& -a& -b\\ a& 0& -c\\ b& c& 0\end{array}\right]$ के रूप में और A $\left[\begin{array}{ccc}d& e& f\\ e& g& h\\ f& h& i\end{array}\right]$ के रूप में होगा।

अब, A + B = $\left[\begin{array}{ccc}d& -a+e& -b+f\\ a+e& g& -c+h\\ b+f& c+h& i\end{array}\right]$

इसलिए, $\left[\begin{array}{ccc}d& -a+e& -b+f\\ a+e& g& -c+h\\ b+f& c+h& i\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}5& 8& 6\\ 3& 2& 4\\ 1& 7& 9\end{array}\right]$

तुलना करने पर 

-a + e = 8 और a + e = 3

इन्हें जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं, e = 11/2

और इन्हें घटाने पर हम प्राप्त करते हैं, a = -5/2

-b + f = 6, b + f = 1 

इन्हें हल करने पर हम प्राप्त करते हैं, f = 7/2 और b = -5/2

साथ ही, -c + h = 4, c + h = 7 

हल करने पर हम प्राप्त करते हैं, h = 11/2, c = 3/2

अतः हम प्राप्त करते हैं, B = $\left[\begin{array}{ccc}0& 5/2& 5/2\\ -5/2& 0& -3/2\\ -5/2& 3/2& 0\end{array}\right]$

अतः विकल्प (3) सही नहीं है।